📦 分数阶微积分及其在分数阶量子力学中的应用 - 免费下载

本文主要研究分数阶微积分及其在分数阶量子力学中的应用，共由四章组成，第一章简要介绍分数阶微分及其应用，以及文中将用到的一些基本知识；第二章和第三章研究由空间分数阶薛定谔方程所描述的空间分数阶量子体系；在最后一章中，我们给出由时空分数阶薛定谔方程所描述的时空分数阶量子体系的一些特性。

第一章首先介绍分数阶微积分的历史及其发展情况，然后给出几种常用的以及本文中会用到的分数阶算子，例如，Ricmann-lioville（称R-L），Caputo和Riesz分数阶算子，此外，对两类特殊函数和它们的基本性质也进行了叙述，这些特殊函数常常是很多分数阶微分方程的基本解，这两类特殊函数分别是Mittag-effer 面函数（包括Mitlag-Lefle 函数、包含两参数、三参数以及四参数的广义Mittag-Lefter 数），还有Fox H-函数，应用数学以及统计学中的几乎所有特殊函数，例如：Mittag-Leffer 面数、广义超几何函数、广义贝塞尔函数、Mejer的G函数等等，都是FoxH-函数的参数取特殊值时的表达式，在本章的最后一节中，我们较详细的介绍了外数阶微积分在当前非线性科学中复杂系统的各个领域中的应用.

第二章主要研究线性势场、5势阱以及Coulomb势场中粒子所满足的一维空间分数阶薛定谔方程，借助于傅立叶变换，我们给出动量表象下的空间分数阶萨定谔方程，再利用Mellin变换及其逆变换，得出粒子在线性势场中的波函数及其能级，粒子波函数由H函数表示，利用H函数的零点，可以计算粒子的能级.6势阱中粒子的被函数同样由H函数表示，我们发现同整数阶量子力学情形类似，6势阱中只对偶字称态的粒子起作用且粒子只有一个能级，奇字称态的粒子不受该势阱作用，仍然像自由粒子一样运动.研究粒子在Coulomb势场的运动时，给出了粒子波函数的积分形式，并且证明了Laskin的文献[Phys.Rev.E 66，056108（2002）中给出的粒子能级满足一个关于H函数的无穷极限的等式，本章的所有结果都包含标准量子力学中的情形作为特殊情况.

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