📄 保险公司赔付及破产的随机模拟与分析2.htm
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//双击鼠标滚动屏幕的代码
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//更改字体大小
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<TD colSpan=2 height=24>作者：佚名 文章来源：不详 点击数：
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更新时间：2005-2-28</TD></TR>
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<TD id=fontzoom style="WORD-BREAK: break-all" vAlign=top colSpan=2
height=600>表1是在t=180及360时概率Pr｛Y(t)=n｝的部分理论值和模拟值。理论值用(2.2)式计算，模拟值是在同样参数下进行1000次模拟所得频数。理论值和模拟值是非常接近的。 <BR>§3.破产模型<BR>人们所关心的是保险公司在每一时期的破产概率及最终破产概率，经典的破产模型通常假定保险公司是按照单位时间常数速率收到保费，本文对此略加推广，考虑保费收入是一个Poisson过程，且理赔额是独立指数分布的情形。为此做如下假设：<BR>(i)在时期［0,t］内收到保费的次数｛M(t),t0｝是速率为λ的Poisson过程(M(0)=0)；［0，t］时期内的理赔次数｛N(t),t0｝是速率为μ的Poisson过程(N(0)=0)，两个过程相互独立，且显然应当有λ》μ。<BR>(ii)每次的保费收入为常数c(c＞0),而第k次的理赔额为Xk,｛Xk,k≥1｝是相互独立随机变量并与｛N(t),t≥0｝独立，且Xk,k≥1服从参数为v的相同指数分布，即k≥1<BR><BR><BR><BR>(3.1)<BR><BR>在上述假定之下，获利过程｛S(t),t≥0｝为<BR><BR><BR><BR>(3.2)<BR><BR>为了保证保险公司的稳定经营，通常假设E［S(t)］＞0，即在单位时间内，保费收入大于理赔额：cλ＞μ／v。<BR><BR><BR>设保险公司的初始资本为u,于是破产时间为<BR><BR><BR><BR>保险公司最终破产的概率为<BR><BR>Ψ(u)=Pr｛Tu＜∞｝<BR><BR>容易验证，由(3.2)式定义的获利过程S(t)具有以下性质：<BR>(i)S(0)=0,P－a.s.(ii)｛S(t),t≥0｝具有平稳独立增量。<BR>(iii)E［S(t)］=(cλ－μ／v)t＞0.(iv)存在正数r，使得E［e－rs(t)］＜∞<BR>其中的性质(iii)需要用到.由性质(iv)可知，存在g(.)使<BR><BR><BR><BR>(3.3)<BR><BR>为了得出破产概率，我们需引用如下定理［1］［2］<BR>定理最终破产概率满足不等式<BR><BR>Ψ(u)≤e－Ru<BR><BR>(3.4)<BR><BR>其中R=sup｛r｜g(r)≤0,r＞0｝<BR><BR>(3.5)<BR><BR>利用该定理及前文中的假设和性质，可以推出g(r)的具体表示，事实上，由性质(i),(ii)和(3.2)有<BR><BR>由于｛M(t)｝是参数为λ的Poisson过程，应有<BR><BR><BR><BR>同样由｛N(t)｝是参数为μ的Poisson过程，并由(3.1)及｛N(t)｝与｛Xk｝相互独立，得<BR><BR><BR><BR>推导中用到指数分布随机变量的矩母函数.综合上述即知，(3.3)式中的g(r)由下式给出：<BR><BR><BR><BR>(3.6)<BR><BR>显然g(0)=0,g(v)=+∞，且对充分小△r∈(0，v)有g(△r)＜0,因此必存在r*∈(0,v)使g(r*)=0,且有.因此对于本文所述情形，(3.5)式定义的R恰是(3.6)给出函数g(r)=0的正解(即R=r?).<BR>例2保单到达速率λ及理赔发生速率μ取值同例1，假设每张保单价格c=1.理赔额所服从指数分布的参数为v，准备金为u.表2中给出了总时间长度T0=7300天(20年)的随机模拟结果，其中b=1／v=E［Xk］(k≥1)是平均理赔额，表中所列是v取不同值、初始准备金不同时的理论破产概率上界，以* * *号标记的行是通过1000次随机模拟得到的破产概率。<BR><BR>表2最终破产概率的理论上界和模拟结果<BR> <BR><BR>v×103 b=1／v R×103 u=b u=2b u=3b u=4b u=5b u=6b u=7b u=8b u=9b u=10b <BR>.5263<BR> 1900<BR> .02631<BR>*** .9512<BR>.833 .9049<BR>.773 .8607<BR>.076 .8188<BR>.633 .7788<BR>.576 .7409<BR>.501 .7049<BR>.455 .6704<BR>.382 .6377<BR>.339 .6066<BR>.304 <BR>.5556<BR> 1800<BR> .05541<BR>*** .9049<BR>.793 .8188<BR>.675 .7409<BR>.607 .6704<BR>.525 .6067<BR>.471 .5490<BR>.396 .4967<BR>.357 .4495<BR>.319 .4067<BR>.279 .3680<BR>.235 <BR>.5882<BR> 1700<BR> .08821<BR>*** .8607<BR>.716 .7409<BR>.620 .6377<BR>.514 .5489<BR>.458 .4724<BR>.391 .4066<BR>.337 .3500<BR>.265 .3013<BR>.219 .2593<BR>.175 .2232<BR>.176 <BR>.6250<BR> 1600<BR> .12497<BR>*** .8190<BR>.654 .6706<BR>.556 .5493<BR>.444 .4499<BR>.366 .3685<BR>.317 .3018<BR>.215 .2471<BR>.199 .2024<BR>.165 .1658<BR>.107 .1358<BR>.107 <BR>.6667<BR> 1500<BR> .16663<BR>*** .7788<BR>.604 .6065<BR>.467 .4723<BR>.355 .3678<BR>.283 .2864<BR>.229 .2231<BR>.168 .1737<BR>.129 .1353<BR>.121 .1054<BR>.097 .0820<BR>.071 <BR>.7129<BR> 1400<BR> .21423<BR>*** .7409<BR>.511 .5489<BR>.413 .4067<BR>.305 .3013<BR>.221 .2233<BR>.162 .1654<BR>.113 .1226<BR>091 .0908<BR>.089 .0673<BR>.056 .0498<BR>.046 <BR>.7692<BR> 1300<BR> .26916<BR>*** .7047<BR>.460 .4966<BR>.334 .3500<BR>.222 .2466<BR>.172 .1738<BR>.123 .1225<BR>.080 .0863<BR>.060 .0608<BR>.051 .0429<BR>.028 .0302<BR>.012 <BR>.8333<BR> 1200<BR> .33325<BR>*** .6704<BR>.424 .4495<BR>.296 .3013<BR>.186 .2020<BR>.119 .1354<BR>.092 .0908<BR>.064 .0609<BR>.035 .0408<BR>.020 .0274<BR>.020 .0183<BR>.011 <BR>.9091<BR> 1100<BR> .40899<BR>*** .6377<BR>.381 .4067<BR>.248 .2593<BR>.152 .1654<BR>.095 .1055<BR>.074 .0672<BR>.038 .0429<BR>.027 .0273<BR>.014 .0174<BR>.005 .0111<BR>.006 <BR>1.0000<BR> 1000<BR> .49987<BR>*** .6066<BR>.320 .3680<BR>.185 .2232<BR>.118 .1354<BR>.056 .0821<BR>.041 .0498<BR>.027 .0302<BR>.018 .0183<BR>.014 .0111<BR>.050 .0067<BR>.020 <BR><BR>我们看到：<BR>1.破产概率的模拟值都小于理论破产概率上界，说明(3.4)确实为破产概率上界。<BR>2.当v确定时，无论理论值或是模拟值，破产概率都随着初始准备金的增加而减小，这与保险公司的实际运作情况是相符的，表明具有充分准备金的重要性。<BR>3.当参数v增大时，平均理赔额b减小，这时R的值随之增大，即破产概率上限减小，随机模拟的结果也表明破产概率随着平均理赔额的减小而减小，这表明合理厘定理赔额对于保险公司正常经营是至关重要的。<BR>表3给出了破产时间分布的模拟结果，1，2，…，20表示等间隔(1年)的时间区间。我们看到，破产出现在经营初期的概率是较大的，特别当准备金较少而理赔额又较大时更是如此。而随着经营时间增加，出现破产的概率减小。而由E［S(t)］=(cλ－μ／v)t＞0，可知当t→∞时，E［S(t)］→∞，这说明，随着t增大，获利也增大，从而保险人司在无限远的时间(长期稳定经营)，破产概率为0。 <BR>表3破产时间频数分布的模拟结果<BR> <BR><BR>v×103 b=1／v u 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 <BR>1.0000<BR>.7143<BR>.5556 1000<BR>1400<BR>1800 3000<BR>4200<BR>5400 93<BR>155<BR>200 14<BR>62<BR>94 5<BR>34<BR>67 2<BR>16<BR>52 3<BR>8<BR>30 1<BR>14<BR>30 0<BR>6<BR>22
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