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微积分、高等数学和数学分析的差别

  • 资源大小:7 K
  • 上传时间: 2022-06-24
  • 上传用户:xsr1983
  • 资源积分:2 下载积分
  • 标      签: 微积分 高等数学

资 源 简 介

数学分析对于数学专业的学生是迈进大学大门后,需要修的第一门课,也是最基础最重要的一门课程。但对于非数学专业的朋友们是个陌生的概念,如果身边有人问我数学分析学什么?我会毫不犹豫地告诉他们就是微积分,那么似乎所有人都会接着提一个问题:那和我们学的微积分有什么差异?为什么我们学一学期你们要学一年半到两年啊?囧……这个问题就不容易回答了,于是我只能应付说学得细了,但其实并非仅仅如此。

对这个问题我在学习数学分析的过程中是不能说清楚的,正因为如此,起先学分析完全是乱学,没有重点没有次序的模仿,其结果就是感觉自己学到的东西好比是一条细线拴着好多个大秤症,只要有一点断开,整个知识系统顿时倾覆。我也一直在思考这个问题,但直到在北师大跟着王昆扬老师学了一学期实变函数论之后,我才意识到数分与高数真正的区别在于何处。

先从微积分说起,在国内微积分这门课程大致是供文科、经济类学生选修的,其知识结构非常清晰,主要内容就是要说清两件事:第一件介绍两种运算,求导与求不定积分,并且说明它们互为逆运算。第二件介绍基础的微分学和积分学,并且给出它们之间的联系—Newton-Leibniz公式。这里需要强调的是,求不定积分作为求导数的逆运算属于微分学而不属于积分学,真正属于积分学的是Riemann定积分。不定积分与定积分虽然在字面上只差一字,但从数学定义来看却有本质的区别,不定积分是找一个函数的原函数,而Riemann定积分则是求Riemann和的极限,事实上它们之间毫无关系,既存在着没有原函数但Riemann可积的函数,也存在着有原函数但Riemann不可积的函数。但无论如何Newton-Leibniz 公式好比一座桥梁沟通了不定积分(微分学)和定积分(积分学),这也是Newton-Leibniz公式被称为微积分基本定理的原因。因此我们可以看出,微积分的核心内容就是学习两种新运算,了解两样新概念,熟悉一条基本定理而已。


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