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<title>关于</title>
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<td width="21" height="488" rowspan="3"> </td>
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<p style="line-height: 150%" align="left"><font face="楷体_GB2312" size="5"><b>
关于《任意阶幻方的统一构造》论文及程序</b></font><p style="line-height: 150%" align="left">
依据《任意阶幻方的统一构造》论文编制的Magic Square Pro V3.07幻方统一构造器为免费软件，欢迎使用与传播，并请保持附件的完整。根据免费软件惯例，作者不对您使用本软件的后果承担任何责任。如果您对论文及程序进行引用，请注明来源，作者享有《任意阶幻方的统一构造》论文及程序的成果权。上千阶的幻方存为cnRen.txt文件时，长度将达到数M到数十M，1000阶大约6M、2000阶大约30M、3000阶近70M（另有3000阶
以上版本），在P3以上机器中文件的形成过程将在一分钟到数
十分钟不等（如果机器配置好，2000阶的可在几分钟以内产生），如果您无耐心等待，请按下Ctrl+Alt+Del组合键中断程序执行。cnRen.txt文件中幻方的每一个数据都使用“，”号隔开，当您读（录）数据时，请确认其前后都是有“，”号的，而不是一个数据在换行时被劈开的！
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幻方也称纵横图、魔方、魔阵，它是科学的结晶与吉祥的象征，发源于我国古代的洛书——九宫图。公元前一世纪，西汉宣帝时的博士戴德在他的政治礼仪著作《大戴礼 · 明堂篇》中就有“二、九、四、七、五、三、六、一、八”的洛书九宫数记载。洛书被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一。同时，洛书以其高度抽象的内涵，对我国古代政治伦理、数学、天文气象、哲学、医学、宗教等等都产生了重要影响。在远古传说中，于治国安邦上也具有积极的寓意！包括洛书在内的幻方自古以来在世界各国都被作为驱邪避凶的吉祥物。（这一点，在1975年上海人民出版社出版的自然辩证法丛书《自然科学大事年表》中，也作了特别的述说：“公元前一世纪，《大戴礼》记载，中国古代有象征吉祥的河图洛书纵横图，即为九宫算，被认为是现代‘组合数学’最古老的发现”，并附了全书唯一的插图！） <br>
2500年前，孔子在他研究《易经》的著作《系词上传》中记载了：“河出图，洛出书，圣人则之。”最早将数字与洛书相连的记载是2300年前的《庄子 · 天运》，它认为：“天有六极五常，帝王顺之则治，逆之则凶。九洛之事，治成德备，监照下土，天下戴之，此谓上皇。”明代数学家程大位在《算法统宗》中也曾发出“数何肇？其肇自图、书乎？伏羲得之以画卦，大禹得之以序畴，列圣得之以开物。”的感叹，大意是说，数起源于远古时代黄河出现的河图与洛水出现的洛书，伏羲依靠河图画出八卦，大禹按照洛书划分九州，并制定治理天下的九类大法，圣人们根据它们演绎出各种治国安邦的良策，对人类社会与自然界的认识也得到步步深化。大禹从洛书中数的相互制约，均衡统一得到启发而制定国家的法律体系，使得天下一统，归于大治，这是借鉴思维的开端。这种活化思维的方式已成为科学灵感的来源之一。 <br>
从洛书发端的幻方在数千年后的今天更加生机盎然，被称为具有永恒魅力的数学问题。十三世纪，我国南宋数学家杨辉在世界上首先开展了对幻方的系统研究，欧洲十四世纪也开始了这方面的工作。著名数学家费尔玛、欧拉都进行过幻方研究，如今，幻方仍然是组合数学的研究课题之一，经过一代代数学家与数学爱好者的共同努力，幻方与它的变体所蕴含的各种神奇的科学性质正逐步得到揭示。目前，它已在组合分析、实验设计、图论、数论、群、对策论、纺织、工艺美术、程序设计、人工智能等领域得到广泛应用。1977年，4阶幻方还作为人类的特殊语言被美国旅行者1号、2号飞船携入太空，向广袤的宇宙中可能存在的外星人传达人类的文明信息与美好祝愿！ <br>
幻方的一般定义是这样的：将从1到<span lang="EN-US" style="font-size:12.0pt;line-height:150%">N<sup>2</sup></span>的自然数排列成纵横各有<span lang="EN-US" style="font-size:12.0pt;line-height:150%">N</span>个数的方阵，使每行、每列及两条对角线上的<span lang="EN-US" style="font-size:12.0pt;line-height:150%">N</span>个数的和都等于<span lang="EN-US" style="font-size:12.0pt;line-height:150%">N</span>(<span lang="EN-US" style="font-size:12.0pt;line-height:150%">N<sup>2</sup></span>+1)/2，这样的方阵称为<span lang="EN-US" style="font-size:12.0pt;line-height:150%">N</span>阶幻方。<br>
幻方洛书是我们祖先对人类的伟大贡献，幻方的研究已有数千年的历史，至今仍是组合数学的研究课题之一（见《中国大百科全书》〈数学卷〉“纵横图”辞条）。但是：<br>
1、目前已有的各种构造方法， 都不是用同一原理（及方法）包容从3阶开始直至任意阶的幻方构造。所见的“构造方法”可分下列几类：①奇数阶幻方构造；②双偶数阶幻方构造；③单偶数阶幻方构造；④偶数阶幻方构造（②＋③）。尚未有奇数阶与偶数阶幻方的一体化统一构造！<br>
2、再好的方法，只要有一个例外，在数学上也不能称其为统一。接近统一的经典方法是由一个正交拉丁方构造同阶幻方（类似拙文定理1可以作出非常简单的证明），但是，此方法不能构造6阶幻方，这是因为6阶正交拉丁方并不存在——即欧拉的36军官问题无解（印度数学家玻斯等人已在50年代证明，除N=2，N=6外，N阶正交拉丁方均存在）。<br>
3、拙文受《易经》（洛书之说最早也见其上）的启发，伏羲64卦方位图中的阴阳对称，太极图的阴阳鱼阴中有阳、阳中有阴，阴阳中心对称、互补等等，结合数学理论，找到了一种在对称行、列中互易N/2对元素（或等同于在对称行、列中互易N/2对元素值）的统一原理，它是对于一个自然数方阵（或其它拙文定义的原方阵）采用任何构造方法构造幻方都必须遵循的——即是幻方构造充要条件（见拙文定理4），同时，还找到了切实可行的统一构造方法（见拙文定理5及半N变换法）。由此可以看出，在披露幻方的最早著作《易经》中就已经包含了任意阶幻方统一构造的思想基础。<br>
4、拙文建立的幻方模型是广义的，普通的自然数幻方只是包含在其中的一类。<br>
5、就象成对平移火柴棍一样，从一种构造方案可以轻易得到若干种不同构的方案，只要这种平移符合拙文定理5。<br>
6、拙文所采用的数学工具不算复杂，从建立模型到逐步的递进推导（如定理3到定理4，再到定理5），比较适合大、中学生及数学爱好者在数学学习中作为探索借鉴。通过它可以轻易获得众多的幻方构造算法，所以也适合于计算机软件教学中使用，这与常在计算机语言教学中使用的只能用于奇数阶的德拉鲁布算法（亦称卢培法）相比，不但扩大了应用范围，也增加了算法的灵活性。<br>
7、幻方统一构造理论及C语言版的程序完成于1996年。其中的偶数阶部分完成于1993年，并在《数学通讯》（1993年8月《任意阶幻方的优化构造及证明》）上发表，提出了任意阶幻方的一个构造定理。但是如上所说，其中的奇数阶与偶数阶的方法是不统一的，不过，文中的数学原理探讨为统一构造的实现迈出了第一步。统一构造在原方阵上采用了上文的模型，但按线性代数习惯交换了对第一对角线、第二对角线的定义，对k、t的称呼也进行了修改——这些做法并不影响上文的正确性。就是说按上文的定义读上文是完全正确的，亦无任何不妥。<br>
8、在传说中，大禹根据第一个幻方洛书划分九州、 制定九类大法，于是，天下一统，归于大治！而今，香港在历经百年沧桑之后回归祖国的怀抱，七子之首澳门也携四百年风雨与母亲团聚，翻过历史上沉重屈辱的一页，中华民族完成了政治上的腾飞，迎来了繁荣昌盛的春天！ 21世纪必将成为中国经济腾飞的世纪，成为实现国家统一，迎来中华民族伟大复兴的世纪。在这一刻，对幻方构造的统一，也有几分积极的寓意！<br>
完成了统一构造理论及程序之后，笔者在原则上采用这一理论进行了十阶幻方三维画中画《百年梦归图》及其套图与相关网站的开发。应该说这套基于科学，而又包含大量巧合的作品充分表达了华夏儿女对过去百年历史的回顾与对新世纪的憧憬和豪迈，是千年跨越、世纪跨越时的一个上佳纪念物。1997年6月香港各界庆祝回归委员会称其“实在很有新意”，1999年12月此图参加了天津市文化局等单位举办的迎接澳门回归电脑美术作品展，2000年4月28日7-9时（龙年龙月龙日龙时）以此图为核心的《龙颂》网站开通，2001年CCTV央视国际网站春节晚会特辑“2001喜庆世纪之春”对《百年梦归图》套图进行了作品展示。它们实实在在参加了中国人民的世纪跨越纪念活动。<br>
如今，《龙颂》之中的“北京条约”、“天津条约”、“卢沟桥事变”等大量网页已分别成为最著名的搜索引擎网站http://www.google.com的相关条目搜索首页头条）（2003年4月检索结果）。笔者清楚地知道，自己做的网页内容还欠翔实（虽然还有大量绝好的非电子版的历史资料，却限于时间等原因，不能及时做成网页，丰富网站内容），但“上承五千年文化，在一张奇妙的10阶幻方三维画中画中水乳交融百科知识，以图文视听，精气神韵演绎中华百年梦归历史，展望
中华民族的伟大复兴”这种趣味生动，内涵深刻的形式得到了不少有识之士的赞同。欢迎朋友们访问《龙颂》网站
，提出宝贵意见，并以各种方式支持它的建设：<br>http://longsong.yeah.net（或在各大搜索引擎搜“龙颂”或“百年梦归图”进入）<br>
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任初农 2003/5/31<br>
<a href="http://longsong.yeah.net"><img border="0" src="zhuye.gif" width="314" height="229" alt="欢迎访问《龙颂》网站！"></a>
<a href="mailto:邮件地址：cnren@163.com"><br>
电子邮箱：cnren@163.com<br></a><a href="http://longsong.yeah.net">龙颂网站：http://longsong.yeah.net</a> <br>
通讯地址：天津市和平区福安大街新文化花园新丽居2号楼D座诺迪亚公司任初农<br>邮政编码：300021<br>
联系电话：022-27231616-211
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