2005-0411.tex

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\usepackage{booktabs} % 做三线表的上下两条粗线用

\setcounter{page}{435}

\begin{document}
\cntitle{ {鲁棒逆奈奎斯特方法中\\\vskip 0.3\baselineskip 鲁棒\ {\bf
Gershgorin} 带的近似估计}
\thanks{收稿日期\ 2005-05-13 \quad 收修改稿日期\
2006-05-8}
\thanks{Received May 13, 2005; in revised form May 8, 2006}
\thanks{ 国家自然科学基金(60234030),
国家杰出青年科学基金项目(60225015),
高等学校优秀青年教师教学科研奖励计划项目资助}
\thanks{Supported by National Natural Science Foundation of P.\,R.\,China (60234030),
 National Distinguished Young Scholars Fund of China (60225015),
  Ministry of Education of China (TRAPOYT Project) }
\thanks{1. 国防科技大学机电工程与自动化学院自动控制系\quad 长沙\quad
410073}\thanks{1. Department of Automatic Control, College of
Mechatronics and Automation, National University of Defense
Technology, Changsha\quad 410073}
\thanks{
DOI: 10.1360/aas-007-0435}}

\cnauthor{高大远$^{\scriptscriptstyle1}$\hspace{1em}沈\
辉$^{\scriptscriptstyle1}$\hspace{1em}董国华$^{\scriptscriptstyle1}$\hspace{1em}胡德文$^{\scriptscriptstyle1}$}

\cnabstract{针对多输入多输出线性系统的鲁棒逆奈奎斯特阵列分析,提出一种保守性较小
的鲁棒Gershgorin带近似估计方法.首先给出一个保守性较小的鲁棒对角优势
性引理,基于此引理,对具有参数不确定性的传递函数矩阵,推导了鲁棒Gershgorin
带的近似估计方法,降低了估计结果的保守性.最后给出了仿真验证.}
\cnkeyword{逆奈奎斯特阵列,鲁棒Gershgorin带,鲁 棒对角优势性,解耦控制}
\cncl{TP13}

\entitle{An Estimation of Robust Gershgorin\\\vskip 0.1\baselineskip
Bands in Robust Inverse Nyquist Array\\\vskip 0.1\baselineskip
Method} \enauthor{GAO Da-Yuan$^1$\qquad SHEN Hui$^1$\qquad DONG
Guo-Hua$^1$\\\small HU De-Wen$^1$}

\enabstract{In this paper, a method of estimating the width of the robust Gershgorin
bands with less conservation is proposed. A lemma of robust diagonal dominance with less
conservation is given first. Based on this lemma, the estimation method is derived for
the transfer function matrix with uncertain parameters. The estimation obtained through
this method is less conservative. Finally, an example is presented to illustrate the
method. } \enkeyword{Inverse Nyquist array, robust Gershgorin bands, robust diagonal
dominance, decoupling control} \maketitle

\pagestyle{aasheadings}

%这一章为引言,无需写标题.

逆奈奎斯特阵列(Inverse Nyquist array, INA)方法是线性多变量系统的
控制方法之一,由Rosenbrock提出\,\!$^{[1]}$,其基本思想是\,\!$^{[2]}$:
在被控对象$G(s)$前或后引入预补偿矩阵$K_1(s)$,使传递函数矩阵成为对角优势矩阵,
然后针对每个通道分别设计控制器$K_2(s)$,得到总的控制器$K(s)=K_1(s)K_2(s)$.
由于使用了Gershgorin带等图形工具,此方法具有便于设计、易于工程实现、稳定性容易判定等优点,因此得到
广泛应用,如导弹自动驾驶仪设计\,\!$^{[3]}$等.但是,它的鲁
棒性较差\,\!$^{[4]}$,其原因是模型参数不确定易导致传递函数矩阵对
角优势性丧失,从而使INA方法无效. Arkun等\,\!$^{[5]}$系统地提出了
鲁棒逆奈奎斯特阵列(Robust inverse Nyquist array, RINA)方法,其思路
是在设计补偿器时就考虑参数不确定性的影响,使对角优势性在存在参数不
确定时也能保持. Gao等\,\!$^{[6]}$用数值方法研究了参数不确定性对
对角优势性的影响,并给出2阶和3阶方阵鲁棒稳定性的经验公式. Nwokah和
Nordgren等\,\!$^{[7-8]}$将INA方法与定量反馈理论(QFT)结合,以提高
INA方法的鲁棒性.鲁棒性问题的解决,使得RINA方法得到广泛应用,如航空
发动机控制\,\!$^{[8]}$、控制电路设计\,\!$^{[9]}$等.然而一般来说,
基于RINA方法设计的控制器比较保守,这是因为在估计鲁棒Gershgorin带时所
得结果一般较为保守,将各个元素的不确定性所导致的Gershgorin带的宽度变化
估计得较大. Chen等\,\!$^{[10]}$针对由参数辨识带来的参数统计不确定性,
在近似估计鲁棒Gershgorin带时使用了各元素不确定性之间的互相关信息,
得到了保守性较小的估计,并研究了相应的RINA方法,在此估计方法中使用了2-范数,
而鲁棒Gershgorin带的概念是用1-范数进行度量,这样不可避免地也带来了放大.

本文针对上述问题,提出一种保守性较小的鲁棒Gershgorin带估计方法.首先
给出一个所需条件更弱的鲁棒对角优势性引理,放松了对保持鲁棒对角优势性
的条件限制.然后针对有界的参数误差情况,近似估计鲁棒Gershgorin带的宽度.
估计过程中,直接应用1-范数而不是2-范数,减少了放大环节,并且利用了各元素
之间的互相关信息,此方法显著降低了RINA方法的保守性.最后针对一个多变量系统进行仿真.

\section{鲁棒对角优势性引理}

\subsection{不确定性描述}

考虑带有加性不确定性的传递函数矩阵
\begin{displaymath}
G_{\rm{p}} (s) = G_{\rm{m}} (s) + E(s)
\end{displaymath}
其中, $G_{\rm{m}}
(s)$是被控对象的标称传递函数矩阵模型,它近似刻划了系统
的动态特性；$G_{\rm{p}}(s)$是具有不确定性的真实对象的传递函数模型；$E(s)$
是不确定性(误差)传递函数矩阵.在许多实际应用中,传递函数矩阵可写
为~$G(s,{\bf\Theta})$, 其中${\bf\Theta} \in R^p$是参数,
${\bf\Theta}_0$是${\bf\Theta}$的标称值,此时有
\begin{displaymath}
  E(s) = G(s,{\bf\Theta} ) - G(s,{\bf\Theta} _0 )
\end{displaymath}

假设参数误差有上界：$\left\| {{\bf\Theta}  - {\bf\Theta} _0 }
\right\|_2  \le c_{\bf\Theta}$,
$c_{\bf\Theta}>0$,本文研究参数误差导致的传递函数矩阵Gershgorin带的变化.

\subsection{鲁棒对角优势性}

关于参数变化时的矩阵鲁棒对角优势性,定义如下：

{\hei 定义} {\bf 1.} 复数域上的$m\times m$矩阵$A({\bf\Theta}
)=\left[{a_{ij}({\bf\Theta} )}\right]$, ${\bf\Theta}\in
R^p$为受到扰动的参数,
${\bf\Theta}_0$为${\bf\Theta}$的标称值,设${\bf\Theta}  - {\bf\Theta}
_0\in E_c $, $E_c$为有界闭区域.若对$\forall {\bf\Theta} :{\bf\Theta}
- {\bf\Theta} _0 \in E_c$,有
\begin{equation}
  \left| {a_{ii} ({\bf\Theta} )} \right| > \sum\limits_{\scriptstyle j = 1 \atop
  \scriptstyle (j \ne i)}^m {\left| {a_{ij} ({\bf\Theta} )} \right|}\quad i = 1,2, \cdots m
  \label{e1}
\end{equation}
则称$A$为鲁棒行对角优势矩阵.同样可定义鲁棒列对角优势矩阵.

通过定义判断一个矩阵是否为鲁棒对角优势矩阵需要对每一种参数
取值情况进行判断,这是不可能的.而如果已知当参数变化时不等式(1)右边的变化范围,
则判定变得容易.文[5]假设参数变化时每个元素的误差界已知,给出了下面的判定不等式
\begin{equation}
  \left| {a_{ii} ({\bf\Theta} _0 )} \right| > \sum\limits_{\scriptstyle j = 1 \atop
  \scriptstyle (j \ne i)}^m {\left| {a_{ij} ({\bf\Theta} _0 )} \right|}  +
  \sum\limits_{j = 1}^m {\left| {a_{ij} ({\bf\Theta} ) - a_{ij} ({\bf\Theta} _0 )} \right|}
  \label{e2}
\end{equation}

在一个矩阵中,各元素通常不是相互独立的,如果已知不等式的行(列)元
素整体的变化界,则可得到下面引理.

{\hei 引理} {\bf 1.} 复数域上的$m\times m$矩阵$A({\bf\Theta}
)=\left[{a_{ij}({\bf\Theta} )}\right]$, ${\bf\Theta}\in
R^p$为受到扰动的参数,
${\bf\Theta}_0$为${\bf\Theta}$的标称值.定义$d_i ({\bf\Theta} ) =
\sum\limits_{\scriptstyle j = 1 \atop
  \scriptstyle (j \ne i)}^m {\left| {a_{ij} ({\bf\Theta} )} \right|},$
若对$\forall {\bf\Theta} :{\bf\Theta}  - {\bf\Theta} _0 \in E_c $,有
\begin{align}
&\left| {a_{ii} ({\bf\Theta} _0 )} \right| > d_i ({\bf\Theta} _0 ) +
\big|\left[ {d_i ({\bf\Theta} )
- d_i ({\bf\Theta} _0 )} \right]- \nonumber\\
&  \left[ {\left| {a_{ii} ({\bf\Theta} )} \right| - \left| {a_{ii}
({\bf\Theta} _0 )}
 \right|} \right] \big|\ \ i = 1,2, \cdots m \nonumber
\end{align}
则$A$是鲁棒行对角优势矩阵.

{\hei 证明.} {\setlength\arraycolsep{2pt}
\begin{eqnarray*}
\left| {a_{ii} ({\bf\Theta} )} \right| &=&   \left[ {\left| {a_{ii}
({\bf\Theta} )} \right| - \left| {a_{ii} ({\bf\Theta} _0 )} \right|}
\right]+\left| {a_{ii} ({\bf\Theta} _0 )} \right|\ge
\\
 && \left[ {\left| {a_{ii} ({\bf\Theta} )} \right| - \left| {a_{ii} ({\bf\Theta} _0
)} \right|} \right]+d_i ({\bf\Theta} _0 )+
\\
&& \big| {\left[ {d_i ({\bf\Theta} ) - d_i ({\bf\Theta} _0 )}
\right]
  - \left[ {\left| {a_{ii} ({\bf\Theta} )} \right| - \left| {a_{ii} ({\bf\Theta} _0 )} \right|}
\right]} \big|\ge
\\
&& \left[ {\left|{a_{ii}({\bf\Theta} )} \right| - \left| {a_{ii}
({\bf\Theta} _0 )} \right|} \right]+d_i ({\bf\Theta} _0 )+
\\
&& \left[ {d_i ({\bf\Theta} ) - d_i ({\bf\Theta} _0 )} \right] -
 \left[ {\left| {a_{ii} ({\bf\Theta} )} \right| - \left| {a_{ii} ({\bf\Theta} _0 )} \right|} \right]=
\\
&  &d_i ({\bf\Theta} ) = \sum\limits_{\scriptstyle j = 1 \atop
\scriptstyle (j \ne i)}^m {\left| {a_{ij} ({\bf\Theta} )} \right|}
\end{eqnarray*}}
鲁棒列对角优势性同样可证.\hfill$\Box$

将式(2)右边第二项与式(3)右边第二项比较,可以看出后者小于前者.一个简单
的几何解释如图1所示.式(3)直接使用长度的差(三角形两边长度之差)作为对矩
阵元素偏差的估计；而式(2)将元素变化前后之差的长度(三角形第三边的长度)视为
元素不确定的估计,而因为三角形两边之差小与第三边,因此相比较而言,引理1所
用到的不确定性范围较小.

\vskip3mm
{\centering

\vbox{\centerline{\psfig{figure=fig1.eps,width=7cm}}

{\small
图1\quad 引理1的几何解释\\
Fig.\,1\quad Geometrical illustration of Lemma 1 }}} \vskip3mm

基于引理1中对元素不确定性的估计方法,针对具有不确定元素的矩阵,可以得出新的鲁
棒Gershgorin定理：

{\hei 定理} {\bf 1} ({\hei 鲁棒}{\bf Gershgorin}{\hei 定理}){\bf .}
复数域上的$m\times m$矩阵$A({\bf\Theta} )= \left[{a_{ij}({\bf\Theta}
)}\right]$, ${\bf\Theta}\in R^p$为受到扰动的 参数,
${\bf\Theta}_0$为${\bf\Theta}$的标称值,对于$\forall {\bf\Theta}
:{\bf\Theta} - {\bf\Theta} _0  \in E_c $, $E_c$为有界闭区域,
$A({\bf\Theta} )$的特征值落在下面$m$个圆的并集中
\begin{displaymath}
\left| {\lambda \left( {A({\bf\Theta} )} \right) - a_{ii}
({\bf\Theta} _0 )} \right| \le R_{0i} + \Delta R_i,\quad i = 1,2,
\cdots m
\end{displaymath}
其中
\begin{displaymath}
R_{0i}  = \sum\limits_{\scriptstyle j = 1 \hfill \atop
  \scriptstyle j \ne i \hfill}^m {\left| {a_{ij} ({\bf\Theta} _0 )} \right|}
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\Delta R_i  = \big| {\left[ {d_i ({\bf\Theta} ) - d_i ({\bf\Theta}
_0 )} \right] - \left[ {\left| {a_{ii} ({\bf\Theta} )} \right| -
\left| {a_{ii} ({\bf\Theta} _0 )} \right|} \right]} \big|
\end{displaymath}
或者在下面$m$个圆的并集中
\begin{displaymath}
\left| {\lambda \left( {A({\bf\Theta} )} \right) - a_{ll}
({\bf\Theta} _0 )} \right| \le R_{0l}
 + \Delta R_l ,\quad l = 1,2, \cdots m
\end{displaymath}
其中
\begin{displaymath}
R_{0l}  = \sum\limits_{\scriptstyle k = 1 \hfill \atop
  \scriptstyle k \ne l \hfill}^m {\left| {a_{kl} ({\bf\Theta} _0 )} \right|}
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\Delta R_l  = \big| {\left[ {d_l ({\bf\Theta} ) - d_l ({\bf\Theta}
_0 )} \right]
  - \left[ {\left| {a_{ll} ({\bf\Theta} )} \right| - \left| {a_{ll} ({\bf\Theta} _0 )}
   \right|} \right]} \big|
\end{displaymath}

上面定理中, $\Delta R_i(\Delta
R_l)$与${\bf\Theta}$有关.设对于$\forall{\bf\Theta}:{\bf\Theta}-{\bf\Theta}_0\in
E_c$, $\Delta R_i(\Delta R_l)$有上界,记为$\Delta R_i^*(\Delta R_l^*
)$.对于矩阵$A({\bf\Theta} )$,以$a_{ii}({\bf\Theta}_0)$ 为圆心,
$R_{0i}+\Delta
R_i^*$为半径在复平面上画圆,此圆称为矩阵$A({\bf\Theta})$的第$i$行的鲁棒行Gershgorin圆,同样可作出鲁棒列Gershgorin圆.

由引理1和定理1可以知道,如果矩阵$A({\bf\Theta})$是鲁棒对角优势的,则它的所有鲁棒行(列)
Gershgorin圆均不包含原点,反之亦然.这是判断一个矩阵是否为鲁棒对角优势的图形判据.

\section{鲁棒\ {\bf Gershgorin} 带近似估计}

\subsection{一般矩阵的鲁棒\ {\bf Gershgorin} 圆估计}

从定理1可知,矩阵$A({\bf\Theta})$的鲁棒Gershgorin圆半径可看成由两部分叠加而成,一部分是参
数不变时,矩阵$A({\bf\Theta}_0)$的Gershgorin圆半径$R_{0i}$,另一部分是参数变化所引起的
Gershgorin圆半径的变化$\Delta R_i^*$.
$R_{0i}$是已知的,如果能估计出$\Delta R_i^*$,
则矩阵$A({\bf\Theta})$的鲁棒Gershgorin圆半径即可估计出来.对于参数误差有界的
情况,设$\left\|{{\bf\Theta}-{\bf\Theta}_0}\right\|_2\le
c_{\bf\Theta}$,令
\begin{displaymath}
 a_{ij} ({\bf\Theta} ) = x_{ij} ({\bf\Theta} ) + jy_{ij} ({\bf\Theta} )
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
r_i ({\bf\Theta} )  = d_i ({\bf\Theta} ) - \left| {a_{ii}
({\bf\Theta} )} \right|
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\nabla x_{ij}  = \frac{{\partial x_{ij} ({\bf\Theta} )}}{{\partial
{\bf\Theta} ^{\rm T} }}, \qquad \nabla y_{ij}  = \frac{{\partial
y_{ij} ({\bf\Theta} )}}{{\partial {\bf\Theta} ^{\rm T}}}
\end{displaymath}
则
\begin{align*}
&\Delta r_i  = r_i ({\bf\Theta} ) - r_i ({\bf\Theta} _0 )\approx\\
  &\left. {\frac{{\partial r_i ({\bf\Theta} )}}{{\partial {\bf\Theta}^{\rm T} }}} \right|_{{\bf\Theta} _0 }
  \left( {{\bf\Theta}  - {\bf\Theta} _0 } \right)\buildrel\Delta \over =
  \\