📄 求网络的最小费用最大流.htm
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<HTML><HEAD><TITLE>求网络的最小费用最大流</TITLE>
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<TABLE height=5124 cellSpacing=0 cellPadding=0 width=585 align=center
border=0><TBODY>
<TR>
<TD width=585 height=33>
<P><A href="http://vip.6to23.com/yunyan8/shu/file/SHAI.HTM">首页</A>|<A
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<TR>
<TD width=585 height=38>
<P align=center><FONT size=5><B><FONT
color=#3366ff>求网络的最小费用最大流</FONT></B></FONT></P></TD></TR>
<TR>
<TD width=585 height=5053><FONT
color=#3366ff>求网络的最小费用最大流，弧旁的数字是容量(运费)。<BR><IMG height=128
src="求网络的最小费用最大流.files/1.jpg"
width=300><BR>一．Ford和Fulkerson迭加算法.<BR>基本思路：把各条弧上单位流量的费用看成某种长度,用求解最短路问题的方法确定一条自V1至Vn的最短路;在将这条最短路作为可扩充路,用求解最大流问题的方法将其上的流量增至最大可能值;而这条最短路上的流量增加后,其上各条弧的单位流量的费用要重新确定,如此多次迭代,最终得到最小费用最大流.<BR>迭加算法：</FONT><BR>1)
给定目标流量F或∞,给定最小费用的初始可行流{fij}=0<BR>2) 若V(f)=F,停止,f为最小费用流;否则转(3).<BR>3)
构造{fij}
相应的新的费用有向图W(fij),在W(fij)寻找Vs到Vt的最小费用有向路P(最短路),沿P增加流f的流量直到F,转(2);若不存在从Vs到Vt的最小费用的有向路P,停止.f就是最小费用最大流.<BR>具体解题步骤：<BR>设图中双线所示路径为最短路径，费用有向图为W（fij）．<BR><BR>在图(a)中给出零流
f,在图(b)中找到最小费用有向路,修改图(a)中的可行流,δ=min{4,3,5}=3,得图(c),再做出(c)的调整容量图,再构造相应的新的最小费用有向路得图(d),
修改图(c)中的可行流,
δ=min{1,1,2,2}=1,得图(e),以此类推,一直得到图(h),在图(h)中以无最小费用有向路,停止,经计算:<BR>图(h)中
最小费用=1*4+3*3+2*4+4*1+1*1+4*2+1*1+3*1=38<BR>图(g)中 最大流=5
<P>C语言程序如下(运行通过):<BR>/*Ford和Fulkerson迭加算法*/<BR>#include"stdio.h"<BR>void
main()<BR>{int
a,b,i,j,k,p,n,B[10][10],C[10][10],D[10][10],P[10][10][10];<BR>printf("please
input n:\n");<BR>scanf("%d",&n);<BR>printf("please input
C[%d][%d],B[%d][%d]:\n",n,n,n,n);<BR>for(i=0;i<=n;i++)<BR>for(j=0;j<=n;j++)<BR>scanf("%7d,%7d",&C[i][j],&B[i][j]);
//输入各点(i,j)之间的容量C[i][j]和运费B[i][j]<BR>for(i=0;i<=n;i++)<BR>for(j=0;j<=n;j++)<BR>{D[i][j]=B[i][j];<BR>for(k=0;k<=n;k++)<BR>P[i][j][k]=0;<BR>if(D[i][j]<100)
//注：100表示Vi到Vj之间无可行路<BR>{P[i][j][i]=1;P[i][j][j]=1;}<BR>}<BR>for(k=0;k<=n;k++)<BR>for(i=0;i<=n;i++)<BR>for(j=0;j<=n;j++)<BR>if(D[i][k]+D[k][j]<D[i][j])<BR>{D[i][j]=D[i][k]+D[k][j];<BR>for(p=0;p<=n;p++)<BR>P[i][j][p]=P[i][k][p]||P[k][j][p];<BR>}
//调用FLOYD算法<BR>printf("D[%d][%d]:\n",n,n);<BR>for(i=0;i<=n;i++)<BR>{for(j=0;j<=n;j++)<BR>printf("%7d",D[i][j]);<BR>printf("\n");<BR>}
//由表D中的数值确定V0到V5的最短路<BR>a=C[1][3];b=B[1][3]*D[0][5];<BR>printf("a=%d,b=%d\n",a,b);<BR>B[1][3]=100;
//将容量已满的路改为不可行路<BR>for(i=0;i<=n;i++)<BR>for(j=0;j<=n;j++)<BR>{D[i][j]=B[i][j];<BR>for(k=0;k<=n;k++)<BR>P[i][j][k]=0;<BR>if(D[i][j]<100)<BR>{P[i][j][i]=1;P[i][j][j]=1;}<BR>}<BR>for(k=0;k<=n;k++)<BR>for(i=0;i<=n;i++)<BR>for(j=0;j<=n;j++)<BR>if(D[i][k]+D[k][j]<D[i][j])<BR>{D[i][j]=D[i][k]+D[k][j];<BR>for(p=0;p<=n;p++)<BR>P[i][j][p]=P[i][k][p]||P[k][j][p];<BR>}
//调用FLOYD算法<BR>printf("D[%d][%d]:\n",n,n);<BR>for(i=0;i<=n;i++)<BR>{for(j=0;j<=n;j++)<BR>printf("%7d",D[i][j]);<BR>printf("\n");<BR>}
//由表D中的数值确定V0到V5的新最短路<BR>a=a+C[1][2];b=b+D[0][5];<BR>printf("a=%d,b=%d\n",a,b);<BR>B[0][1]=100;B[1][2]=100;B[4][3]=100;
//将容量已满的路改为不可行路<BR>for(i=0;i<=n;i++)<BR>for(j=0;j<=n;j++)<BR>{D[i][j]=B[i][j];<BR>for(k=0;k<=n;k++)<BR>P[i][j][k]=0;<BR>if(D[i][j]<100)<BR>{P[i][j][i]=1;P[i][j][j]=1;}<BR>}<BR>for(k=0;k<=n;k++)<BR>for(i=0;i<=n;i++)<BR>for(j=0;j<=n;j++)<BR>if(D[i][k]+D[k][j]<D[i][j])<BR>{D[i][j]=D[i][k]+D[k][j];<BR>for(p=0;p<=n;p++)<BR>P[i][j][p]=P[i][k][p]||P[k][j][p];<BR>}
//调用FLOYD算法<BR>printf("D[%d][%d]:\n",n,n);<BR>for(i=0;i<=n;i++)<BR>{for(j=0;j<=n;j++)<BR>printf("%7d",D[i][j]);<BR>printf("\n");<BR>}
//由表D中的数值确定V0到V5的新最短路<BR>a=a+C[2][4]-C[4][3];b=b+D[0][5];<BR>printf("a=%d,b=%d\n",a,b);<BR>B[2][4]=100;
//将容量已满的路改为不可行路<BR>for(i=0;i<=n;i++)<BR>for(j=0;j<=n;j++)<BR>{D[i][j]=B[i][j];<BR>for(k=0;k<=n;k++)<BR>P[i][j][k]=0;<BR>if(D[i][j]<100)<BR>{P[i][j][i]=1;P[i][j][j]=1;}<BR>}<BR>for(k=0;k<=n;k++)<BR>for(i=0;i<=n;i++)<BR>for(j=0;j<=n;j++)<BR>if(D[i][k]+D[k][j]<D[i][j])<BR>{D[i][j]=D[i][k]+D[k][j];<BR>for(p=0;p<=n;p++)<BR>P[i][j][p]=P[i][k][p]||P[k][j][p];<BR>}
//调用FLOYD算法<BR>printf("D[%d][%d]:\n",n,n);<BR>for(i=0;i<=n;i++)<BR>{for(j=0;j<=n;j++)<BR>printf("%7d",D[i][j]);<BR>printf("\n");<BR>}
//检验有无V0到V5的新最短路<BR>}</P>
<P><BR>运行结果:<BR>please input n:<BR>5<BR>please input
C[5][5],B[5][5]:<BR>0,0 4,1 5,3 0,100 0,100 0,100<BR>0,100 0,0 1,1 3,3
0,100 0,100<BR>0,100 0,100 0,0 0,100 2,4 0,100<BR>0,100 0,100 0,100 0,0
0,100 5,2<BR>0,100 0,100 0,100 1,1 0,0 2,4<BR>0,100 0,100 0,100 0,100
0,100 0,0<BR>D[5][5]:<BR>0 1 2 4 6 6<BR>100 0 1 3 5 5<BR>100 100 0 5 4
7<BR>100 100 100 0 100 2<BR>100 100 100 1 0 3<BR>100 100 100 100 100
0<BR>a=3,b=18<BR>D[5][5]:<BR>0 1 2 7 6 9<BR>100 0 1 6 5 8<BR>100 100 0 5 4
7<BR>100 100 100 0 100 2<BR>100 100 100 1 0 3<BR>100 100 100 100 100
0<BR>a=4,b=27<BR>D[5][5]:<BR>0 100 3 100 7 11<BR>100 0 100 100 100
100<BR>100 100 0 100 4 8<BR>100 100 100 0 100 2<BR>100 100 100 100 0
4<BR>100 100 100 100 100 0<BR>a=5,b=38<BR>D[5][5]:<BR>0 100 3 100 100
100<BR>100 0 100 100 100 100<BR>100 100 0 100 100 100<BR>100 100 100 0 100
2<BR>100 100 100 100 0 4<BR>100 100 100 100 100
0<BR>//注：100表示Vi到Vj之间无可行路</P>
<P> </P>
<P><FONT color=#3333ff>二．圈算法：<BR>1)
利用Ford和Fulkson标号算法找出流量为F(<=最大流)的流f.<BR>2) 构造f对应的调整容量的流网络N'(f).<BR>3)
搜索N'(f)中的负费用有向图C(Floyd算法),若没有则停止,否则转(4).<BR>4)
在C上找出最大的循环流,并加到N上去,同时修改N'(F)中C的容量,转(3).<BR>具体解题步骤:</FONT><BR></P>
<P>利用Ford和Fulkson标号算法,得网络的最大流F=5,见图(a),由图(a)构造相应的调整容量的流网络(b),图(b)中不存在负费用有向图,故停止．经计算:<BR>图(b)中
最小费用= 4*1+3*1+1*1+3*3+4*2+1*1+4*1+2*4=38<BR>图(a)中 最大流为F=5</P>
<P> </P>
<P>C语言程序如下(运行通过):<BR>/*圈算法*/<BR>#include"stdio.h"<BR>int min(int x,int
y)<BR>{if(x<y) return(x);<BR>else return(y);<BR>}<BR>void
main()<BR>{int
a=0,b=0,i,j,k,p,n,t,A[10][10],P[10][10],B[10][10],C[10][10],D[10][10];<BR>printf("please
input n:\n");<BR>scanf("%d",&n);<BR>printf("please input
C[%d][%d],B[%d][%d]:\n",n,n,n,n);<BR>for(i=0;i<=n;i++)<BR>for(j=0;j<=n;j++)<BR>scanf("%7d,%7d",&C[i][j],&B[i][j]);
//输入各点(i,j)之间的容量C[i][j]和运费B[i][j]<BR>for(i=0;i<=n;i++)<BR>for(j=0;j<=n;j++)<BR>{A[i][j]=C[i][j];D[i][j]=0;P[i][j]=B[i][j];}<BR>for(i=n;i>1;i--)<BR>for(j=i-1;j>0;j--)<BR>for(k=j-1;k>=0;k--)<BR>if(A[j][i]!=0&&A[k][j]!=0)<BR>D[k][j]=min(A[j][i],A[k][j]);<BR>printf("D[%d][%d]:\n",n,n);<BR>for(i=0;i<=n;i++)<BR>{for(j=0;j<=n;j++)<BR>printf("%7d",D[i][j]);<BR>printf("\n");<BR>}<BR>for(i=0;i<n-1;i++)<BR>for(j=i+1;j<n;j++)<BR>for(k=j+1;k<=n;k++)<BR>if(D[i][j]!=0&&D[j][k]!=0)<BR>if(D[i][j]+D[j][k]==C[i][j])<BR>{A[i][j]=0;A[j][k]=0;A[j-i][k-j]=0;<BR>P[i][j]=100;P[j][k]=100;P[j-i][k-j]=0;<BR>a=a+C[i][j];<BR>b=b+B[i][j]*C[i][j]+B[j][k]*C[j][k]+B[j-i][k-j]*C[j-i][k-j];<BR>for(p=k+1;p<=n;p++)<BR>if(C[i][j]<C[k][p])<BR>{b=b+B[k][p]*C[i][j];<BR>A[k][p]=C[k][p]-C[i][j];<BR>}<BR>for(p=k-j+1;p<=n;p++)<BR>if(C[j-i][k-j]<C[k-j][p])<BR>{b=b+B[k-j][p]*C[j-i][k-j]+B[4][3]*C[4][3];<BR>A[k-j][p]=C[k-j][p]-C[j-i][k-j];<BR>}<BR>A[4][3]=0;<BR>}<BR>printf("a=%d,b=%d\n",a,b);<BR>for(i=0;i<=n;i++)<BR>for(j=0;j<=n;j++)<BR>D[i][j]=0;<BR>for(i=n;i>1;i--)<BR>for(j=i-1;j>0;j--)<BR>for(k=j-1;k>=0;k--)<BR>if(A[j][i]!=0&&A[k][j]!=0)<BR>D[k][j]=min(A[j][i],A[k][j]);<BR>printf("D[%d][%d]:\n",n,n);<BR>for(i=0;i<=n;i++)<BR>{for(j=0;j<=n;j++)<BR>printf("%7d",D[i][j]);<BR>printf("\n");<BR>}<BR>for(i=0;i<n-1;i++)<BR>for(j=i+1;j<n;j++)<BR>for(k=j+1;k<=n;k++)<BR>if(D[i][j]!=0&&D[j][k]!=0)<BR>if(D[i][j]==D[j][k])<BR>for(p=k+1;p<=n;p++)<BR>{t=min(min(A[i][j],A[j][k]),min(A[j][k],A[k][p]));<BR>a=a+t;<BR>b=b+t*(B[i][j]+B[j][k]+B[k][p]);<BR>}<BR>printf("a=%d,b=%d\n",a,b);<BR>}</P>
<P><BR>运行结果:<BR>please input n:<BR>5<BR>please input
C[5][5],B[5][5]:<BR>0,0 4,1 5,3 0,100 0,100 0,100<BR>0,100 0,0 1,1 3,3
0,100 0,100<BR>0,100 0,100 0,0 0,100 2,4 0,100<BR>0,100 0,100 0,100 0,0
0,100 5,2<BR>0,100 0,100 0,100 1,1 0,0 2,4<BR>0,100 0,100 0,100 0,100
0,100 0,0<BR>D[5][5]:<BR>0 1 2 0 0 0<BR>0 0 1 3 0 0<BR>0 0 0 0 2 0<BR>0 0
0 0 0 0<BR>0 0 0 0 0 0<BR>0 0 0 0 0 0<BR>a=4,b=27<BR>D[5][5]:<BR>0 0 1 0 0
0<BR>0 0 0 0 0 0<BR>0 0 0 0 1 0<BR>0 0 0 0 0 0<BR>0 0 0 0 0 0<BR>0 0 0 0 0
0<BR>a=5,b=38<BR>//注：100表示Vi到Vj之间无可行路</P></TD></TR></TBODY></TABLE></BODY></HTML>
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