📄 ch7_3_1.htm
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<html>
<head>
<title> 线性回归 </title>
</head>
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<font COLOR="#0000FF">
<h1>7.3.1 线性回归</h1>
</font>
<hr>
<p>我们以一简单数据组来说明什么是线性回归。假设有一组数据型态为
<font FACE="Times New Roman"><i>y=y(x)</i></font>，其中 </p>
<p><font FACE="Times New Roman"><i>x</i>={0, 1, 2, 3, 4, 5}, <i>y</i>={0, 20, 60, 68, 77,
110}</font> </p>
<p>如果我们要以一个最简单的方程式来近似这组数据，则非一阶的线性方程式莫属。先将这组数据绘图如下
<br>
<br>
</p>
<p>图中的斜线是我们随意假设一阶线性方程式 <font FACE="Times New Roman"><i>y=20x</i></font>，用以代表这些数据的一个方程式。以下将上述绘图的
<font FACE="Times New Roman">MATLAB </font>指令列出，并计算这个线性方程式的
<font FACE="Times New Roman">y </font>值与原数据 <font FACE="Times New Roman">y </font>值间误差平方的总合。
</p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> x=[0 1 2 3 4 5];</font> </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> y=[0 20 60 68 77 110];</font> </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> y1=20*x; % </font><font COLOR="#FF0000">一阶线性方程式的 </font><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">y1 </font><font COLOR="#FF0000">值</font> </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> sum_sq = sum(y-y1).^2); % </font><font COLOR="#FF0000">误差平方总合为 </font><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">573</font>
</p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> axis([-1,6,-20,120])</font> </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> plot(x,y1,x,y,'o'), title('Linear
estimate'), grid<br>
</font></p>
<p>如此任意的假设一个线性方程式并无根据，如果换成其它人来设定就可能采用不同的线性方程式；所以我们
须要有比较精确方式决定理想的线性方程式。我们可以要求误差平方的总合为最小，做为决定理想的线性方
程式的准则，这样的方法就称为最小平方误差(least squares error)或是线性回归。MATLAB的<font COLOR="#FF0000">polyfit</font>函数提供了
从一阶到高阶多项式的回归法，其语法为<font COLOR="#FF0000">polyfit(x,y,n)</font>，其中<font COLOR="#FF0000">x,y</font>为输入数据组<font COLOR="#FF0000">n</font>为多项式的阶数，n=1就是一阶
的线性回归法。<font COLOR="#FF0000">polyfit</font>函数所建立的多项式可以写成
</p>
<p><a NAME="work"><img SRC="../img7/img00009.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img7/img00009.gif" WIDTH="237" HEIGHT="27"></a> </p>
<p>从<font COLOR="#FF0000">polyfit</font>函数得到的输出值就是上述的各项系数<img SRC="../img7/img00010.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img7/img00010.gif" WIDTH="108" HEIGHT="25">，以一阶线性回归为例n=1，所以只有<img SRC="../img7/img00011.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img7/img00011.gif" WIDTH="37" HEIGHT="25">
二个输出值。如果指令为<font COLOR="#FF0000">coef=polyfit(x,y,n)</font>，则coef(1)=
<img SRC="../img7/img00012.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img7/img00012.gif" WIDTH="17" HEIGHT="25">, coef(2)=<img SRC="../img7/img00013.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img7/img00013.gif" WIDTH="16" HEIGHT="25">,...,coef(n+1)=
<img SRC="../img7/img00014.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img7/img00014.gif" WIDTH="18" HEIGHT="24">。注意上式对n 阶的多
项式会有 n+1 项的系数。我们来看以下的线性回归的示范： </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> x=[0 1 2 3 4 5];</font> </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> y=[0 20 60 68 77 110];</font> </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> coef=polyfit(x,y,1); % coef </font><font COLOR="#FF0000">代表线性回归的二个输出值</font> </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> a0=coef(1); a1=coef(2);</font> </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> ybest=a1*x+a0; % </font><font COLOR="#FF0000">由线性回归产生的一阶方程式</font> </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> sum_sq=sum(y-ybest).^2); % </font><font COLOR="#FF0000">误差平方总合为 </font><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">356.82</font>
</p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> axis([-1,6,-20,120])</font> </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> plot(x,ybest,x,y,'o'),
title('Linear regression estimate'), grid<br>
</font></p>
<hr>
<a HREF="ch7_3.htm" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/ch7_3.htm">
<p><img SRC="../img1/lastpage.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img/lastpage.gif" BORDER="0" WIDTH="42" HEIGHT="42"></a> <a HREF="ch7_3_2.htm" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/ch7_3_2.htm"><img SRC="../img1/nextpage.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img/nextpage.gif" BORDER="0" HSPACE="10" WIDTH="42" HEIGHT="42"></a> <a HREF="../index.html" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/index.html"><img SRC="../img1/outline.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img/outline.gif" BORDER="0" HSPACE="6" WIDTH="42" HEIGHT="42"></a><br>
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