📄 3_7.htm
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<html><head><meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=gb2312"><title>§7 反演</title><meta name="GENERATOR" content="Microsoft FrontPage 3.0"><link rel="stylesheet" href="../style.css"></head><body><p align="center"><font size="5"><b>§7 反演</b></font></p><p>基本想法：{a<sub>n</sub>} 易算，{b<sub>n</sub>}难算，{a<sub>n</sub>}可用｛b<sub>n</sub>｝表示，利用反演，将{b<sub>n</sub>}用{a<sub>n</sub>}表示．</p><p><b>1.二项式反演</b></p><p><b>[引理]</b><img src="3_7_1.gif" align="middle" width="217" height="48"><br><b>[证]</b> <br><img src="3_7_2.gif" width="202" height="146"><br></p><p><b>[定理]</b><img src="3_7_3.gif" align="middle" width="285" height="48"><br><img src="3_7_4.gif" width="321" height="200"></p><p><b>[推论]</b><img src="3_7_5.gif" align="middle" width="260" height="48"><br><b>[证]</b> 在定理中b<sub>k</sub>处用(－1)<sup>k</sup>b<sub>k</sub>代入，即可．</p><p><b>[例]</b><br><img src="3_7_6.gif" width="186" height="245"> </p><p><b>2. Mǒbíus反演</b></p><p><b>[定义]</b><br><img src="3_7_7.gif" width="302" height="82"></p><p>如 μ( 30) = μ( 2·3·5 ) = (－1)<sup>3</sup><br> μ( 12) = 0； </p><p><b>[定理]</b><img src="3_7_8.gif" align="middle" width="221" height="50"><br><img src="3_7_9.gif" width="334" height="173"></p><p><b>[推论]</b><br><img src="3_7_10.gif" width="246" height="225"> </p><p><b>[定理]</b> ( Mǒbíus反演定理 )设 f ( n )和g ( n )是定义在正整数集合上的两个函数．<br><img src="3_7_11.gif" width="318" height="121"><br><b>[证]</b>"→"，设(M<sub>1</sub>)成立,则：<br><img src="3_7_12.gif" width="262" height="248"><br>"←"，设(M<sub>2</sub>)成立，则：<br><img src="3_7_13.gif" width="246" height="189"></p><p><b>[例]</b> 圆排列问题．<br>设 a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>···a<sub>n</sub> 是一个<b>圆排列</b>，即 a<sub>2</sub>a<sub>3</sub>···a<sub>n</sub>a<sub>1</sub> , ··· , a<sub>n</sub>a<sub>1</sub> ···a<sub>n－1</sub>，看作是相同的。为了加以区别，必要时把原先的排列称为<b>线排列</b>。一个圆排列在 n 个位置断开形成的 n 个线排列在元素可重复的情况下，未必都不相同。<br> 例如，d｜n时，由不重复的a<sub>1</sub>a<sub>2</sub> ···a<sub>d</sub>重复 n ／d次构成的圆排列:(a<sub>1</sub>a<sub>2</sub> ···a<sub>d</sub>)···(a<sub>1</sub>a<sub>2</sub> ···a<sub>d</sub>)只能形成 d 个不同的线排列。<br> 若一个圆排列可由一个长度为 k 的线排列重复若干次形成，则这样的 k 中最小者成为该<b>圆排列的周期</b>。 一个圆排列中元素的个数（重复出现的按其重复次数计）称为<b>它的长度</b>.<br> 设集合｛1 , 2 , ··· , m｝中元素形成的长度与周期都是 d 的圆排列的个数为M(d)。<br> 设 n 是一给定的正整数。若 d ｜ n ，每个长度与周期都是 d的圆排列可在 d 个位置上断开， 重复 n / d 次形成d个长度为 n 的可重排列。因此有<br><img src="3_7_14.gif" width="253" height="177"></p><p><b>[例]</b> m={1,2},n=7,则：<br><img src="3_7_15.gif"></p></body></html>⌨️ 快捷键说明
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