📄 ex3.htm
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<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.0 Transitional//EN"><!-- saved from url=(0051)http://course.webc.com.cn/courseware/math/3/ex3.htm --><HTML><HEAD><TITLE>第三章习题</TITLE><META content="text/html; charset=gb2312" http-equiv=Content-Type><META content="MSHTML 5.00.2614.3500" name=GENERATOR><LINK href="ex3.files/style.css" rel=stylesheet></HEAD><BODY><P><B>1.某甲参加一种会议，会上有6位朋友，某甲和其中每人在会上各相遇12次，每二人各相遇6次，每三人各相遇3次，每五人各相遇2次，每六人各相遇一次，1人也没有遇见的有5次，问某甲共参加了几次会议</B></P><P><B>解:</B> 设A<SUB>i</SUB>为甲与第i个朋友相遇的会议 集，i＝1，…，6．则<BR><IMG align=center height=72 src="ex3.files/ex3_1.gif" width=329><BR>故甲参加的会议数为:28+5=33.</P><P><B>2.求从1到500的整数中被3和5整除但不被7整除的数的个数.</B></P><P><B>解:</B> 设A<SUB>3</SUB>：被3整除的数的集合<BR>A<SUB>5</SUB>：被5整除的数的集合<BR>A<SUB>7</SUB>：被7整除的数的集合<BR>所以<BR><IMG align=center height=105 src="ex3.files/ex3_2.gif" width=232></P><P><B>3. n个代表参加会议，试证其中至少有2人各自的朋友数相等。</B></P><P><B>解:</B>每个人的朋友数只能取0，1，…，n－1．但若有人的朋友数为0，即此人和其 他人都不认识，则其他人的最大取数不超过n－2．故这n个人的朋友数的实际取数只 有n－1种可能．<IMG align=center height=45 src="ex3.files/ex3_3.gif" width=74>，所以至少有２人的朋友数相等． </P><P><B>4. 试给出下列等式的组合意义.</B><BR><IMG height=149 src="ex3.files/ex3_4_1.gif" width=421></P><P><B>解:</B></P><P><IMG height=274 src="ex3.files/ex3_4_2.gif" width=508><BR><IMG height=410 src="ex3.files/ex3_4_3.gif" width=526><BR><IMG height=293 src="ex3.files/ex3_4_4.gif" width=426><BR></P><P><B>5.设有三个7位的二进制数：a<SUB>1</SUB>a<SUB>2</SUB>a<SUB>3</SUB>a<SUB>4</SUB>a<SUB>5</SUB>a<SUB>6</SUB>a<SUB>7</SUB>，b<SUB>1</SUB>b<SUB>2</SUB>b<SUB>3</SUB>b<SUB>4</SUB>b<SUB>5</SUB>b<SUB>6</SUB>b<SUB>7</SUB>， c<SUB>1</SUB>c<SUB>2</SUB>c<SUB>3</SUB>c<SUB>4</SUB>c<SUB>5</SUB>c<SUB>6</SUB>c<SUB>7</SUB>．试证存在 整数i和j，1≤i≤j≤7，使得下列之一必定成立：a<SUB>i</SUB>=a<SUB>j</SUB>=b<SUB>i</SUB>=b<SUB>j</SUB>， a<SUB>i</SUB>=a<SUB>j</SUB>=c<SUB>i</SUB>=c<SUB>j</SUB>，a<SUB>i</SUB>=a<SUB>j</SUB>=c<SUB>i</SUB>=c<SUB>j</SUB>． </B></P><P><B>证：</B> 显然，每列中必有两数字相同，共有<IMG align=center height=48 src="ex3.files/ex3_5_1.gif" width=28>种模式， 有０或１两种选择．故共有<IMG align=center height=48 src="ex3.files/ex3_5_1.gif" width=28>·2种选择．<IMG align=center height=48 src="ex3.files/ex3_5_1.gif" width=28>·2=6．现有7列， <IMG align=center height=45 src="ex3.files/ex3_5_2.gif" width=54>．即必有２列在相同的两行选择相同的数字，即有一矩形，四角的数字相等． </P><P><B>6. 在边长为1的正方形内任取5个点试证其中至少有两点，其间距离小于<IMG align=center height=41 src="ex3.files/ex3_6_1.gif" width=37> </B></P><DIV align=left><TABLE border=1 height=2 width=109> <TBODY> <TR> <TD height=2 width=76> <P> </P></TD> <TD height=2 width=109> </TD></TR> <TR> <TD height=2 width=76> <P> </P></TD> <TD height=2 width=109> <P> </P></TD></TR></TBODY></TABLE></DIV><P><B>证：</B> 把１×１正方形分成四个(1/2)×(1/2)的正方形． 如上图.则这５点中必有两点落在同一个小正方形内．而小正方 形内的任两点的距离都小于<IMG align=center height=41 src="ex3.files/ex3_6_1.gif" width=37>．</P><P><B>7．在边长为1的等边三角形内任取5个点试证其中至少有两点，期间距离小于1/2．</B></P><P><B>证：</B><IMG align=center height=91 src="ex3.files/ex3_7.gif" width=113><BR>把边长为１的三角形分成四个边长为1/2的三角形，如上图：则这５点中必有两点落在 同一个小三角形中．小三角形中任意两点间的距离都小于1/2．</P><P><B>8. 任取11个整数，求证其中至少有两个数它们的差是10的倍数。</B></P><P><B>证：</B>整数的个位数的可能取值为０，１，…，９．共１０种可能．11个整数中必有 ２个数的个位数相同，即这两个数之差能被１０整除．</P><P><B>9. 把从1到326的326个整数任意分为5个部分，试证其中有一部分至少有一个数是某两个数之和， 或是另一个数的两倍。</B></P><P><B>证：</B> 用反证法。设存在划分 P<SUB>1</SUB>∪P<SUB>2</SUB>∪P<SUB>3</SUB>∪P<SUB>4</SUB>∪P<SUB>5</SUB>＝[1，326]， P<SUB>i</SUB>中没有数是两数之差．<IMG align=center height=45 src="ex3.files/ex3_9.gif" width=78>，则有一P<SUB>i</SUB>中至少有66个数， A＝{ a<SUB>1</SUB> ,…,a<SUB>66</SUB>} ，a<SUB>1</SUB>＜a<SUB>2</SUB>＜···＜a<SUB>66</SUB> ， 以下按书上174页的例题证明可得．</P><P><B>10. A、B、C三种材料用作产品I、II、III的原料，但要求I禁止用B、C作原料，II不能用B作原料， III不允许用A作原料，问有多少种安排方案？（假定每种材料只做一种产品的原料）</B></P><P><B>解：</B>按题意可得如下的带禁区的棋盘,其中有阴影的表示禁区．<BR><IMG height=122 src="ex3.files/ex3_10_1.gif" width=135><BR>棋盘多项式为：<BR>R(<IMG align=center height=34 src="ex3.files/ex3_10_2.gif" width=45>)=R(<IMG align=center height=14 src="ex3.files/ex3_10_3.gif" width=17>)R(<IMG align=center height=21 src="ex3.files/ex3_10_4.gif" width=25>)<BR>=(1+x)(1+3x+x<SUP>2</SUP> )<BR>=1+4x+4x + x <SUP>3</SUP><BR>故方案数＝3!－4·2!+4 ·1!－1 ·0!＝1 </P><P><B>11. n个球放到m个盒子中去，n＜(m/2)(m－1)，试证其中必有两个盒子有相同的球数。</B></P><P><B>解：</B>设m个盒子的球的个数是a<SUB>1</SUB>,…,a<SUB>m</SUB>， 各不相等，且有0≤a<SUB>1</SUB>＜a<SUB>2</SUB>＜···＜a<SUB>m</SUB>．则有 a<SUB>2</SUB>≥1、a<SUB>m</SUB>≥m－1，故<BR><IMG align=center height=45 src="ex3.files/ex3_11.gif" width=38>≥1+2+…+m－1＝(m/2)(m－1) ， 与n＜(m/2)(m－1)相矛盾！ 所以必有两个盒子的球数相等．</P><P><B>12. n各单位各派两名代表去出席一会议。2<SUP>n</SUP>位代表围一圆桌坐下。试问：<BR>（1）各单位代表并排坐着的方案是多少？<BR>（2）各单位的两人互不相邻的方案数又是多少？</B></P><P><B>解：</B><IMG align=top height=165 src="ex3.files/ex3_12.gif" width=434></P><P><B>13. 一书架有m层，分别放置m类不同种类的书，每层n册。先将书架上的图书全部取出清理。清理过程要求不打乱所有的类别。试问:<BR>（1）m类书全不在各自原来层次上的方案数有多少？<BR>（2）每层的n本书都不在原来位置上的方案数等于多少？<BR>（3）m层书都不在原来层次，每层n本书也不在原来位置上的方案数又有多少？</B></P><P><B>解：</B><IMG align=top height=149 src="ex3.files/ex3_13.gif" width=218></P><P><B>14．m+1行<IMG align=center height=50 src="ex3.files/ex3_14_1.gif" width=101>列的格子同m种颜色着色，每格着一种颜色，其中必有一个4角同色的矩形。</B></P><P><B>证 </B>每列有(m+1)行，只有m种颜色，故一列中必有两格同色．同色的２个格子的行 号有<IMG align=center height=48 src="ex3.files/ex3_14_2.gif" width=52>种取法．有m种色，故有m<IMG align=center height=48 src="ex3.files/ex3_14_2.gif" width=52> 种同色模式，现有m<IMG align=center height=48 src="ex3.files/ex3_14_2.gif" width=52> +1列，必有两列的同色模式相同．即由这两列的对应行上有 ４个格子同色，正好是一个矩形的４个角上的格子．得证． </P><P><B>15. 两名教师分别对6名学生同时进行两门课程的面试（每名教师各管一门课程）每名学生每门面试的时间都是半个小时，共有多少不同的面试顺序？</B></P><P><B>解 </B>第一门课的顺序有6!种；<BR> 第二门课的顺序有： D<SUB>6</SUB>＝6! ( (1/2!)－(1/3!)＋(1/4!)－(1/5!)＋(1/6!) )＝265;<BR>故总顺序有6!×265种． </P><P><B>16.在平面直角坐标系中至少任去多少个整点（两个坐标系都是整数）才能保证其中存在3个构成三角形（包含3点在一条直线上）的面积是整数（可以为0）．</B></P><P><B>解 </B>任一点的坐标（a , b）只有如下４种可能：(奇数，偶数)、(奇数，奇数)、 (偶数，奇数)、(偶数，偶数)。因而5个点中必有两个点模2的格式一样．设 2｜(x<SUB>1</SUB>－x<SUB>2</SUB>)，2｜(y<SUB>1</SUB>－y<SUB>2</SUB>)即x<SUB>1</SUB>－x<SUB>2</SUB>＝2k ， y<SUB>1</SUB>－y<SUB>2</SUB>＝２<I>l</I>，则三角形面积<BR><IMG height=74 src="ex3.files/ex3_16.gif" width=364><BR>是整数． </P><P><B>17. 在平面直角坐标系中至少任去多少个整点才能保证存在3个点构成的三角形的重心是整点？</B></P><P><B>解 </B>设(x，y)是整点，每个分量模3后有 如下表的结果：<BR><IMG src="ex3.files/ex3_17_1.gif"><BR>若有３个点模３后的结果落在上表中的同 一格中，则这３个点的重心是整点．<BR>若有３点占满一行，则３点重心是整点；<BR> 有３点占满一列，则３点重心是整点；<BR>若存在一组均匀分布，则有3点重心是整点．<BR>由上表可知，若只有8个点，也不能保证有３点的重心是整点．（因为若每个格子都有 ２点，则只占有４个格子，无法保证上面的要求）<BR> 下面假设存在９个点，其中任３点的 重心都不是整点．则这9个点，至少占有<IMG align=center src="ex3.files/ex3_17_2.gif">＝5个格子（因 为每格中最多有2个点，否则有3个点的重 心为整点），每行最多有２格，又<IMG align=center src="ex3.files/ex3_17_3.gif">=3， 所以每行都有点． 同理，每列都有点． 不妨设第一行2点，第二行2点，第三行1点 前2 行有两种模式：<IMG align=center src="ex3.files/ex3_17_4.gif">或<IMG align=center src="ex3.files/ex3_17_5.gif"><BR>这样第三行的点无论在哪一列都构成占满一列或构成一组均匀分布．满足前面说的 三点重心是整点的情况．<BR>故 9个点能保证其中存在３个点的重心是 整点． </P></BODY></HTML>⌨️ 快捷键说明
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