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<title>智力问题（软件工程师面试）</title>
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<table border="0"><tr><td height="5"></td></tr></table>

<table width="96%" border="0" cellspacing="1" cellpadding="6" align="center" bgcolor="#BDC0C8">
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        <tr> 
          <td align="center" bgcolor="#FFFFFF">
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        <tr> 
          <td id=qq_595911 style="word-break:break-all;line-height:150%"> 
            <br><font color=000000>
            一、 在一个与外界不往来的村庄中，住了三个人。这三个人都不能说话，但都很聪明。这村庄人的头发，不是黑色就是红色。 这村庄也没有任何可经由反射而看到自己的物体（如：镜子，湖水）所以这三人都无法得知自己头发的颜色。 　　 <BR>这村庄有个习俗：知道自己头发的颜色后再自杀，可以快乐的上天堂；若猜错自己头发颜色就自杀，那就会痛苦地下地狱。 这三个人都很想上天堂，但都苦于无法得知自己的发色而迟迟无法进行。 这三人每天中午都会在广场上聚集，彼此相望，希望能得知自己的头发颜色。 这种困境一直到一个外地人的介入而打破。 　　 <BR><BR>有一天，一个外地人进入了这村庄，在广场碰到了这三人， 随口说了一句话：「你们三人至少有一个是红头发。」说完便离开村庄了。 当天三人听完这句话，都纷纷回家苦思。 第二天中午，三人依旧一起在广场见面。第二天晚上回去，就有两人自杀成功。 第三天中午，只剩一个人到广场。此人回去后也自杀成功了。 　　 <BR><BR>请问：这三人的头发分别为什么颜色？ （说明理由）<BR><BR>二、 <BR><BR>（一） 玛丽莲问题<BR>玛丽莲问题是咳嗽兄昨天介绍的一个有趣的智力游戏（他用来类比一个有人认为不太有趣的话题）：<BR><BR>有三扇门可供选择，其中一扇门后面是汽车，另两扇门后面是山羊。你当然想选中汽车。主持人让你随便选。比如，你选中了一号门。于是，主持人打开了后面是山羊的一扇门，比如是三号门。现在主持人问你：“为了以较大的概率选中汽车，你是坚持选一号门，还是愿意换选二号门？”<BR><BR>这道题目的标准答案是换选二号门。我当时对这个答案提出了疑问，认为在条件概率形式下，当三号门后面出现山羊时，一号和二号门后面是车的概率仍然均等。深圳兄同意这个意见；咳嗽兄、长戟兄则分别从相对论和散文及童话故事对“换”的答案给予了证明。但一直到无限兄提出一个翻牌模型，才使我开始看到“换”的方案背后的正确逻辑。<BR><BR>（二） 条件概率：全概率和贝叶斯公式解<BR>游戏开始，设P(X)为A、B、C三道门后面有车的概率，则P(A)=P(B)=P&copy;=1/3<BR>假定：游戏者任选了一道门A，而主持人（HOST）打开一道后面是羊的门，事实上有两种情况。<BR><BR>1． 主持人了解所有门后面的东东，他一定要打开一扇“羊”门<BR>如果车在A门后面，主持人有B、C两种选择，打开C门（“羊”门）的概率为<BR>P(Host opens C|A) = 1/2<BR>如果车在B门后面，主持人没有选择，只能打开C门 <BR>P(Host opens C|B) = 1<BR>如果车在C门后面，主持人一样没得选择，绝对不能开C门 <BR>P(Host opens C|C) = 0<BR><BR>所以，主持人打开C门的概率为<BR>P(Host opens C) = P(A)*P(H.o. C|A) + P(B)*P(H.o. C|B) + P&copy;*P(H.o. C|C)<BR>= 1/6 + 1/3+ 0 = 1/2<BR><BR>根据贝叶斯公式，在主持人打开C门的条件下，A、B两门后面是车的概率分别为<BR>P(A|Host opens C) = P(A)*P(Host opens C|A) / P(Host opens C)<BR>= (1/6) / (1/2)<BR>= 1/3<BR>P(B|Host opens C) = P(B)*P(Host opens C|B) / P(Host opens C)<BR>= (1/3) / (1/2)<BR>= 2/3<BR>这就是为什么要换二号门的原因。<BR><BR>2． 主持人和游戏者一样蒙在鼓里，他是碰巧打开一扇“羊”门，那么<BR>如果车在A门后面，主持人有B、C两种选择，打开C门的概率为<BR>P(Host opens C|A) = 1/2<BR>如果车在B门后面，主持人一样有B、C两种选择，打开C门的概率还是<BR>P(Host opens C|B) = 1/2<BR>如果车在C门后面，主持人还是有B、C两种选择，只是打开C门不可能看到羊<BR>P(Host opens C|C) = 0<BR><BR>所以，主持人打开C门见到羊的概率为<BR>P(Host opens C) = P(A)*P(H.o. C|A) + P(B)*P(H.o. C|B) + P&copy;*P(H.o. C|C)<BR>= 1/6 + 1/6+ 0 = 1/3<BR><BR>根据贝叶斯公式，在主持人打开C门见到羊的条件下，A、B两门后面是车的概率分别为<BR>P(A|Host opens C) = P(A)*P(Host opens C|A) / P(Host opens C)<BR>= (1/6) / (1/3)<BR>= 1/2<BR>P(B|Host opens C) = P(B)*P(Host opens C|B) / P(Host opens C)<BR>= (1/6) / (1/3)<BR>= 1/2<BR>在这种情况下，用一个简单的条件概率式P(A|C.sheep)一样可以得出1/2的结果。这就是“不换”的原因。遗憾的是，从游戏的设置来看，主持人不知情的可能性很小。<BR><BR>（三） 另一种思路，玛丽莲问题的拓展<BR>在三道门的玛丽莲问题中，对游戏者的策略进行观察，他要赢得汽车，可以通过如下途径：<BR>1．第一次选错，主持人打开一道门之后换选<BR>第一次选错的概率为2/3，然后，换选选对的概率为100%，就是说，第一次选择之后再换选，得奖得概率为2/3*100%=2/3<BR>2．第一次选对，主持人打开一道门之后不换。<BR>第一次选对的概率为1/3，不换则得奖率100%。1/3*100%=1/3就是“不换”策略的胜算。<BR><BR>这个方法可以推广到三道门以上的玛丽莲问题拓展，譬如，在四道门的游戏里，主持人依次打开两扇“羊门”，每一次游戏者都有权选择“换”或者“不换”。游戏共有三个步骤，步骤一是“初选”，在步骤二和步骤三，分别有“不换——不换”、“不换——换”、“换——不换”和“换——换”四种策略组合，中奖可能分别为：<BR>1/4<BR>3/4<BR>(3/4)*(1/2)=3/8<BR>1/4（换两次之后换回初选的得奖率）+(3/4)*(1/2)(换两次之后不换回初选)=5/8<BR>可见，选择“不换——换”得策略最有利。<BR>由此可以推广到N道门的游戏中，游戏者最有利的对策是一直坚持不换，直到只剩两扇门还没有打开时再换。<BR><BR>上述证明参考自芝加哥大学（UCHICAGO）网页上的解法。感谢长戟、深圳、咳嗽兄的帮助，尤其感谢无限兄的指点。无论如何，（看起来是）用数学解决一个逻辑上很容易混淆的疑问，是一件愉快的事情。<BR> <BR></font> <br>
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<td bgcolor="ffffff"><font color=red>分类：
            
            <a href="art.asp?cat_id=11" target="_blank"><font color="#009900">综合类</font></a> 
            日期：2006-8-13  查看：42</font></td>       
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