📄 ch5_3_3.htm
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<HTML>
<HEAD>
<TITLE> 矩阵分解 </TITLE>
</HEAD>
<BODY BACKGROUND="bg0000.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img/bg0000.gif">
<FONT COLOR="#0000FF">
<H1>5.3.3 矩阵分解</H1>
</FONT>
<HR>
<P>
矩阵分解<FONT FACE="Times New Roman"> (decomposition, factorization)</FONT>是多半将矩阵拆解为数个三角形矩阵<FONT FACE="Times New Roman">(triangular matrix)</FONT>，依使用目的的不同
，可分为三种矩阵分解法：<FONT FACE="Times New Roman">1)</FONT>三角分解法<FONT FACE="Times New Roman"> (Triangular Factorization)</FONT>，<FONT FACE="Times New Roman">2)QR</FONT>
分解法<FONT FACE="Times New Roman"> (QR Factorization)</FONT>，<FONT FACE="Times New Roman">3)</FONT>奇异值分
解法<FONT FACE="Times New Roman"> (Singular Value
Decompostion)</FONT>。<BR>
<P>
<U>(1) 三角分解法<BR>
</U>
<P>
三角分解法是将原正方<FONT FACE="Times New Roman"> (square) </FONT>矩阵分解成一个上三角形矩阵 或是排列<FONT FACE="Times New Roman">(permuted) </FONT>的上三角形矩阵 和一个
下三角形矩阵，这样的分解法又称为<FONT FACE="Times New Roman">LU</FONT>分解法。它的用途主要在简化一个大矩阵的行列式值的计算过程，求
反矩阵，和求解联立方程组。不过要注意这种分解法所得到的上下三角形矩阵并非唯一，还可找到数个不同
的一对上下三角形矩阵，此两三角形矩阵相乘也会得到原矩阵。
<BR>
<P>
我们举以下二个矩阵为例：
<P>
<IMG SRC="img00027.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img5/img00027.gif">
<P>
利用三角分解法可将<FONT FACE="Times New Roman">A</FONT>和<FONT FACE="Times New Roman">B</FONT>二矩阵分别拆解为上下三角形矩阵
<P>
<IMG SRC="img00028-1.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img5/img00028.gif">
<P>
注意<FONT FACE="Times New Roman">B</FONT>分解的矩阵得到的第一个矩阵<FONT FACE="Times New Roman">[LB]</FONT>是排列的下三角形矩阵，如果第二、三列互换，则此变成完全的下
三角形矩阵。
<BR>
<P>
以<FONT FACE="Times New Roman">MATLAB</FONT>函数计算上述的<FONT FACE="Times New Roman">LU</FONT>分解法，其语法为<FONT FACE="Times New Roman"></FONT><FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">[L,U]=lu(A)</FONT>，其中<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">L</FONT>代表下三角形矩阵<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">U</FONT>代表上三角形矩阵。
我们来看一个例子。
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">>> A = [1 2 -1,
-2 -5 3; -1 -3 0]; B=[1 3 2; -2 -6 1; 2 5 7];</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">>> [L1,U1] =
lu(A); [L2,U2] = lu(B);</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">>> L1; U1</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">L1 = % </FONT><FONT COLOR=#FF0000>注意这个矩阵</FONT><FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">L1</FONT><FONT COLOR=#FF0000>和之前的</FONT><FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">[LA]</FONT><FONT COLOR=#FF0000>不相同</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000> </FONT><FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">-0.5
1 0</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman"> 1 0 0</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman"> 0.5 1 1</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">U1 = % </FONT><FONT COLOR=#FF0000>注意这个矩阵</FONT><FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">U1</FONT><FONT COLOR=#FF0000>和之前的</FONT><FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">[UA]</FONT><FONT COLOR=#FF0000>不相同</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000> </FONT><FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">-2
-5 3</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman"> 0 -0.5 0.5</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman"> 0 0 -2</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">>> L2; U2</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">L2 = % </FONT><FONT COLOR=#FF0000>注意这个矩阵</FONT><FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">L2</FONT><FONT COLOR=#FF0000>和之前的</FONT><FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">[LB]</FONT><FONT COLOR=#FF0000>不相同</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000> </FONT><FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">-0.5
0 1</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman"> 1 0 0</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman"> -1 1 0</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">U2 = % </FONT><FONT COLOR=#FF0000>注意这个矩阵</FONT><FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">U2</FONT><FONT COLOR=#FF0000>和之前的</FONT><FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">[UB]</FONT><FONT COLOR=#FF0000>不相同</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000> </FONT><FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">-2
-6 1</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman"> 0 -1 8</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman"> 0 0 2.5<BR>
</FONT>
<P>
<U>(2) QR分解法<BR>
</U>
<P>
QR分解法是将矩阵分解成一个正规正交矩阵与上三角形矩阵。还记得先前我们介绍的正规正交矩阵Q满足<IMG SRC="img00029-1.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img5/img00029.gif">的条件吗！所以称为QR分解法与此正规正交矩阵的通用符号Q有关。
<BR>
<P>
MATLAB以<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">qr</FONT>函数来执行<FONT FACE="Times New Roman">QR</FONT>分解法，
其语法为<FONT COLOR=#FF0000>[Q,R]=qr(A)</FONT>，其中<FONT COLOR=#FF0000>Q</FONT>代表正规正交矩阵，而<FONT COLOR=#FF0000 >R</FONT>代表上三角形矩
阵。此外，原矩阵<FONT COLOR=#FF0000>A</FONT>不必为正方矩阵；如果矩阵<FONT COLOR=#FF0000>A</FONT>大小为<IMG SRC="img00030.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img5/img00030.gif">，则矩阵<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">Q</FONT>大小为<IMG SRC="img00031.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img5/img00031.gif">，矩阵<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">R</FONT>大小为<IMG SRC="img00032.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img5/img00032.gif">。
<BR>
<U>(3) 奇异值分解法</U>
<P>
奇异值分解<FONT FACE="Times New Roman"> (sigular value decomposition,SVD) </FONT>是另一种正交矩阵分解法；<FONT FACE="Times New Roman">SVD</FONT>是最可靠的分解法，但是它比<FONT FACE="Times New Roman">QR</FONT>
分解法要花上近十倍的计算时间。<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">[U,S,V]=svd(A)</FONT>，其中<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">U</FONT>和<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">V</FONT>代表二个相互正交矩阵，而<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">S</FONT>代表一对角矩阵。
和<FONT FACE="Times New Roman">QR</FONT>分解法相同者，
原矩阵<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">A</FONT>不必为正方矩阵。
<P>
使用<FONT FACE="Times New Roman">SVD</FONT>分解法的用途是解最小平方误差法和数据压缩。<P><HR>
<A HREF="ch5_3_2.htm" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/ch5_3_2.htm"><IMG SRC="lastpage.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img/lastpage.gif" BORDER=0></A>
<A HREF="ch6.htm" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/ch6.htm"><IMG SRC="nextpage-1.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img/nextpage.gif" BORDER=0 HSPACE=10></A>
<A HREF="index.html" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/index.html"><IMG SRC="outline-1.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img/outline.gif" BORDER=0 HSPACE=6></A><BR>
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