📄 十个利用矩阵乘法解决的经典题目.htm
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<H1 class=ContentTitle><STRONG>十个利用矩阵乘法解决的经典题目</STRONG></H1>
<H2 class=ContentAuthor>作者:matrix67 日期:2007-08-04</H2></DIV>
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id=logPanel> 好像目前还没有这方面题目的总结。这几天连续看到四个问这类题目的人，今天在这里简单写一下。这里我们不介绍其它有关矩阵的知识，只介绍矩阵乘法和相关性质。<BR> 不要以为数学中的矩阵也是黑色屏幕上不断变化的绿色字符。在数学中，一个矩阵说穿了就是一个二维数组。一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵，得到的结果是一个n行p列的矩阵，其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵第j列上的m个数对应相乘后所有m个乘积的和。比如，下面的算式表示一个2行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵，其结果是一个2行3列的矩阵。其中，结果的那个4等于2*2+0*1：<BR>
<IMG alt="" src="十个利用矩阵乘法解决的经典题目.files/200708041.gif"
border=0><BR> 下面的算式则是一个1 x 3的矩阵乘以3 x 2的矩阵，得到一个1 x
2的矩阵：<BR> <IMG alt=""
src="十个利用矩阵乘法解决的经典题目.files/200708042.gif"
border=0><BR><BR> 矩阵乘法的两个重要性质：一，矩阵乘法<STRONG>不满足</STRONG>交换律；二，矩阵乘法满足结合律。为什么矩阵乘法不满足交换律呢？废话，交换过来后两个矩阵有可能根本不能相乘。为什么它又满足结合律呢？仔细想想你会发现这也是废话。假设你有三个矩阵A、B、C，那么(AB)C和A(BC)的结果的第i行第j列上的数都等于所有A(ik)*B(kl)*C(lj)的和（枚举所有的k和l）。<BR><BR><STRONG>经典题目1
给定n个点，m个操作，构造O(m+n)的算法输出m个操作后各点的位置。操作有平移、缩放、翻转和旋转</STRONG><BR> 这里的操作是对所有点同时进行的。其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转（两种情况），旋转则以原点为中心。如果对每个点分别进行模拟，那么m个操作总共耗时O(mn)。利用矩阵乘法可以在O(m)的时间里把所有操作合并为一个矩阵，然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置，总共耗时O(m+n)。假设初始时某个点的坐标为x和y，下面5个矩阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作。预先把所有m个操作所对应的矩阵全部乘起来，再乘以(x,y,1)，即可一步得出最终点的位置。<BR>
<IMG alt="" src="十个利用矩阵乘法解决的经典题目.files/200708043.gif"
border=0><BR><BR><STRONG>经典题目2 给定矩阵A，请快速计算出A^n（n个A相乘）的结果，输出的每个数都mod
p。</STRONG><BR> 由于矩阵乘法具有结合律，因此A^4 = A * A * A * A = (A*A)
* (A*A) = A^2 * A^2。我们可以得到这样的结论：当n为偶数时，A^n = A^(n/2) * A^(n/2)；当n为奇数时，A^n =
A^(n/2) * A^(n/2) * A
（其中n/2取整）。这就告诉我们，计算A^n也可以使用二分快速求幂的方法。例如，为了算出A^25的值，我们只需要递归地计算出A^12、A^6、A^3的值即可。根据<A
href="http://www.matrix67.com/blog/article.asp?id=282"
target=_blank>这里</A>的一些结果，我们可以在计算过程中不断取模，避免高精度运算。<BR><BR><STRONG>经典题目3 <A
href="http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3233"
target=_blank>POJ3233</A></STRONG> (感谢<A
href="http://hi.baidu.com/rangemq/blog/item/cd0b9534a57f6ab6d1a2d32b.html"
target=_blank>rmq</A>)<BR> 题目大意：给定矩阵A，求A + A^2 + A^3 +
... + A^k的结果（两个矩阵相加就是对应位置分别相加）。输出的数据mod
m。k<=10^9。<BR> 这道题两次二分，相当经典。首先我们知道，A^i可以二分求出。然后我们需要对整个题目的数据规模k进行二分。比如，当k=6时，有：<BR> A
+ A^2 + A^3 + A^4 + A^5 + A^6 =<U>(A + A^2 + A^3)</U> + A^3*<U>(A + A^2 +
A^3)</U><BR> 应用这个式子后，规模k减小了一半。我们二分求出A^3后再递归地计算A + A^2 +
A^3，即可得到原问题的答案。<BR><BR><STRONG>经典题目4 <A
href="http://www.vijos.cn/Problem_Show.asp?id=1049"
target=_blank>VOJ1049</A></STRONG><BR> 题目大意：顺次给出m个置换，反复使用这m个置换对初始序列进行操作，问k次置换后的序列。m<=10,
k<2^31。<BR> 首先将这m个置换“合并”起来（算出这m个置换的乘积），然后接下来我们需要执行这个置换k/m次（取整，若有余数则剩下几步模拟即可）。注意任意一个置换都可以表示成矩阵的形式。例如，将1
2 3 4置换为3 1 2 4，相当于下面的矩阵乘法：<BR> <IMG alt=""
src="十个利用矩阵乘法解决的经典题目.files/200708044.gif"
border=0><BR> 置换k/m次就相当于在前面乘以k/m个这样的矩阵。我们可以二分计算出该矩阵的k/m次方，再乘以初始序列即可。做出来了别忙着高兴，得意之时就是你灭亡之日，别忘了最后可能还有几个置换需要模拟。<BR><BR><STRONG>经典题目5
《算法艺术与信息学竞赛》207页（2.1代数方法和模型，[例题5]细菌，版次不同可能页码有偏差）</STRONG><BR> 大家自己去看看吧，书上讲得很详细。解题方法和上一题类似，都是用矩阵来表示操作，然后二分求最终状态。<BR><BR><STRONG>经典题目6
给定n和p，求第n个Fibonacci数mod
p的值，n不超过2^31</STRONG><BR> 根据前面的一些思路，现在我们需要构造一个2 x
2的矩阵，使得它乘以(a,b)得到的结果是(b,a+b)。每多乘一次这个矩阵，这两个数就会多迭代一次。那么，我们把这个2 x
2的矩阵自乘n次，再乘以(0,1)就可以得到第n个Fibonacci数了。不用多想，这个2 x
2的矩阵很容易构造出来：<BR> <IMG alt=""
src="十个利用矩阵乘法解决的经典题目.files/200708045.gif" border=0><BR><BR><STRONG>经典题目7 <A
href="http://www.vijos.cn/Problem_Show.asp?id=1067"
target=_blank>VOJ1067</A></STRONG><BR> 我们可以用上面的方法二分求出任何一个线性递推式的第n项，其对应矩阵的构造方法为：在右上角的(n-1)*(n-1)的小矩阵中的主对角线上填1，矩阵第n行填对应的系数，其它地方都填0。例如，我们可以用下面的矩阵乘法来二分计算f(n)
= 4f(n-1) - 3f(n-2) + 2f(n-4)的第k项：<BR> <IMG alt=""
src="十个利用矩阵乘法解决的经典题目.files/200708046.gif"
border=0><BR> 利用矩阵乘法求解线性递推关系的题目我能编出一卡车来。这里给出的例题是系数全为1的情况。<BR><BR><STRONG>经典题目8
给定一个有向图，问从A点恰好走k步（允许重复经过边）到达B点的方案数mod
p的值</STRONG><BR> 把给定的图转为邻接矩阵，即A(i,j)=1当且仅当存在一条边i->j。令C=A*A，那么C(i,j)=ΣA(i,k)*A(k,j)，实际上就等于从点i到点j恰好经过2条边的路径数（枚举k为中转点）。类似地，C*A的第i行第j列就表示从i到j经过3条边的路径数。同理，如果要求经过k步的路径数，我们只需要二分求出A^k即可。<BR><BR><STRONG>经典题目9
用1 x 2的多米诺骨牌填满M x N的矩形有多少种方案，M<=5，N<2^31，输出答案mod
p的结果</STRONG><BR> <IMG alt=""
src="十个利用矩阵乘法解决的经典题目.files/200708047.gif"
border=0><BR> 我们以M=3为例进行讲解。假设我们把这个矩形横着放在电脑屏幕上，从右往左一列一列地进行填充。其中前n-2列已经填满了，第n-1列参差不齐。现在我们要做的事情是把第n-1列也填满，将状态转移到第n列上去。由于第n-1列的状态不一样（有8种不同的状态），因此我们需要分情况进行讨论。在图中，我把转移前8种不同的状态放在左边，转移后8种不同的状态放在右边，左边的某种状态可以转移到右边的某种状态就在它们之间连一根线。注意为了保证方案不重复，状态转移时我们不允许在第n-1列竖着放一个多米诺骨牌（例如左边第2种状态不能转移到右边第4种状态），否则这将与另一种转移前的状态重复。把这8种状态的转移关系画成一个有向图，那么问题就变成了这样：从状态111出发，恰好经过n步回到这个状态有多少种方案。比如，n=2时有3种方案，111->011->111、111->110->111和111->000->111，这与用多米诺骨牌覆盖3x2矩形的方案一一对应。这样这个题目就转化为了我们前面的例题8。<BR> 后面我写了一份此题的源代码。你可以再次看到位运算的相关应用。<BR><BR><STRONG>经典题目10
<A href="http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2778"
target=_blank>POJ2778</A></STRONG><BR> 题目大意是，检测所有可能的n位DNA串有多少个DNA串中不含有指定的病毒片段。合法的DNA只能由ACTG四个字符构成。题目将给出10个以内的病毒片段，每个片段长度不超过10。数据规模n<=2
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