📄 ch7_1_1.htm
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<html>
<head>
<title> 一维内插 </title>
</head>
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<font COLOR="#0000FF">
<h1>7.1.1 一维内插</h1>
</font>
<hr>
<p>线性内插是假设在二个已知数据中的变化为线性关系，因此可由已知二点的座标(<i>a,
b</i>)去计算通过这二点的 斜线，公式如下： </p>
<p><img SRC="../img7/img00006.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img7/img00006.gif" WIDTH="228" HEIGHT="42"> </p>
<p>其中 <font FACE="Times New Roman"><i>a<b<c</i> </font>在上式的 <font FACE="Times New Roman"><i>b</i> </font>点即是代表要内插的点，<font FACE="Times New Roman"><i>f(b)</i> </font>则是要计算的内插函数值。下图即是一个以二种内插
法的比较 </p>
<p>\<font FACE="Times New Roman">pcxfile[12cm,5cm]{fig9_1.pcx}</font> </p>
<p>\caption{线性式与 spline 函数的曲线契合}<br>
</p>
<p>线性内插是最简单的内插方法，但其适用范围很小；如果原来数据的函数<i>f</i>有极大的变化，假设其数据点之
间为线性变化并不合理。所以我们可以用二次、三次方程式或是另一种称为spline函数来近似原来数据的函
数。MATLAB的一维内插函数是<font COLOR="#FF0000">interp1</font>，其语法为<font COLOR="#FF0000">interp1(x,y,xi)</font>,<font COLOR="#FF0000">interp1(x,y,xi,'method')</font>；其中的<font COLOR="#FF0000">x</font>,<font COLOR="#FF0000">y</font>是原已知的 数据的<i>x,y</i>值，而<font COLOR="#FF0000">xi</font>则是要内插的数据点，另外<font COLOR="#FF0000">method</font>可以设定内插方法有
<font COLOR="#FF0000">linear</font>,<font COLOR="#FF0000">cubic</font>,<font COLOR="#FF0000">spline</font>，分别是一次、三 次方程式和spline函数，其中预设方法是<font COLOR="#FF0000">linear</font>。如果数据的变化较大，以 <font COLOR="#FF0000">spline</font>函数内插所形成的曲线最平滑
，所以效果最好。而三次方程式所得到的内插曲线平滑度，则介于线性与<font COLOR="#FF0000">spline</font>函数之间。<br>
</p>
<p>我们以下面的例子说明。假设有一个汽车引擎在定转速下，温度与时间（单位为sec）的三次量测值如下</p>
<table BORDER="1">
<tr>
<td WIDTH="66"><p align="center">time</td>
<td WIDTH="72"><p align="center">temp1 </td>
<td WIDTH="80"><p align="center">temp2</td>
<td WIDTH="72"><p align="center">temp3 </td>
</tr>
<tr>
<td WIDTH="66"><p align="center">0</td>
<td WIDTH="72"><p align="center">0 </td>
<td WIDTH="80"><p align="center">0</td>
<td WIDTH="72"><p align="center">0 </td>
</tr>
<tr>
<td WIDTH="66"><p align="center">1</td>
<td WIDTH="72"><p align="center">20 </td>
<td WIDTH="80"><p align="center">110</td>
<td WIDTH="72"><p align="center">176 </td>
</tr>
<tr>
<td WIDTH="66"><p align="center">2</td>
<td WIDTH="72"><p align="center">60 </td>
<td WIDTH="80"><p align="center">180</td>
<td WIDTH="72"><p align="center">220 </td>
</tr>
<tr>
<td WIDTH="66"><p align="center">3</td>
<td WIDTH="72"><p align="center">68 </td>
<td WIDTH="80"><p align="center">240</td>
<td WIDTH="72"><p align="center">349 </td>
</tr>
<tr>
<td WIDTH="66"><p align="center">4</td>
<td WIDTH="72"><p align="center">77 </td>
<td WIDTH="80"><p align="center">310</td>
<td WIDTH="72"><p align="center">450 </td>
</tr>
<tr>
<td WIDTH="66"><p align="center">5</td>
<td WIDTH="72"><p align="center">110 </td>
<td WIDTH="80"><p align="center">405</td>
<td WIDTH="72"><p align="center">503 </td>
</tr>
</table>
<p>其中温度的数据从 <font FACE="Times New Roman">20<sup>o</sup>C</font>变化到 <font FACE="Times New Roman">503<sup>o</sup>C</font>，如果要估计在<font FACE="Times New Roman">t=2.6, 4.9 sec </font>的温度，可以下列指令计算 </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> x=[0 1 2 3 4 5]'; % </font><font COLOR="#FF0000">键入时间</font> </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> y=[0 20 60 68 77 110]'; % </font><font COLOR="#FF0000">键入第一组时间</font> </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> y1=interp1(x,y,2.6) % </font><font COLOR="#FF0000">要内插的数据点为 </font><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">2.6</font> </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">y1 = % </font><font COLOR="#FF0000">对应
</font><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">2.6 </font><font COLOR="#FF0000">的函数值为
</font><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">64.8</font> </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">64.8</font> </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> y1=interp1(x,y,[2.6 4.9]) % </font><font COLOR="#FF0000">内插数据点为 </font><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">2.6,
4.9</font><font COLOR="#FF0000">，注意用</font><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">[ ]</font><font COLOR="#FF0000">将多个内插点放在其中</font>
</p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">y1 = </font></p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">64.8</font> </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">106.7 </font></p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> y1=interp1(x,y,2.6,'cubic') % </font><font COLOR="#FF0000">以三次方程式对数据点 </font><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">2.6 </font><font COLOR="#FF0000">作内插</font> </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">y1 = % </font><font COLOR="#FF0000">对应
</font><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">2.6 </font><font COLOR="#FF0000">的函数值为
</font><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">66.264</font> </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">66.264</font> </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> y1=interp1(x,y,2.6,'spline') % </font><font COLOR="#FF0000">以</font><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">spline</font><font COLOR="#FF0000">函数对数据点 </font><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">2.6
</font><font COLOR="#FF0000">作内插</font> </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">y1 = % </font><font COLOR="#FF0000">对应
</font><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">2.6 </font><font COLOR="#FF0000">的函数值为
</font><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">66.368</font> </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">66.368<br>
</font></p>
<p>以下的例子还配合绘图功能，用以比较不同内插方法的差异。 </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> h=1:12;</font> </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> temp=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25
27 24]; % </font><font COLOR="#FF0000">这组温度数据变化较大</font> </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> plot(h,temp,'--',h,temp,'+') % </font><font COLOR="#FF0000">将线性内插结果绘图</font> </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> h_3=1:0.1:12 % </font><font COLOR="#FF0000">要每</font><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">0.1</font><font COLOR="#FF0000">小时估计一次温度值</font> </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> t_3=interp1(h,temp,h_3,'cubic') %
</font><font COLOR="#FF0000">以三次方程式做内插</font> </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> t_s=interp1(h,temp,h_3,'spline')
% </font><font COLOR="#FF0000">以</font><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">spline</font><font COLOR="#FF0000">函数做内插</font> </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> hold on</font> </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> subplot(1,2,1)</font> </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>>
plot(h,temp,'--',h,temp,'+',h_3,t_3) % </font><font COLOR="#FF0000">将线性及三次方程式内插绘图</font>
</p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> subplot(1,2,2)</font> </p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>>
plot(h,temp,'--',h,temp,'+',h_3,t_s) % </font><font COLOR="#FF0000">将线性方程式及</font><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">spline</font><font COLOR="#FF0000">内插绘图</font>
</p>
<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> hold off<br>
</font></p>
<hr>
<a HREF="ch7_1.htm" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/ch7_1.htm">
<p><img SRC="../img1/lastpage.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img/lastpage.gif" BORDER="0" WIDTH="42" HEIGHT="42"></a> <a HREF="ch7_1_2.htm" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/ch7_1_2.htm"><img SRC="../img1/nextpage.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img/nextpage.gif" BORDER="0" HSPACE="10" WIDTH="42" HEIGHT="42"></a> <a HREF="../index.html" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/index.html"><img SRC="../img1/outline.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img/outline.gif" BORDER="0" HSPACE="6" WIDTH="42" HEIGHT="42"></a><br>
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