📄 4_2.htm
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<html><head><title>Untitled Document</title><meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=gb2312"><link rel="stylesheet" href="../style.css"></head><body bgcolor="#FFFFFF"><h1>4.2 置换群</h1><p>置换群是最重要的有限群，所有的有限群都可以用之表示。</p><p><b>[置换]</b>[1,n]到自身的1-1变换。n阶置换。[1,n]目标集。<img width=120 height=51 src="./4_2/image002.gif" align="middle">, a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>…a<sub>n</sub>是[1,n]中元的一个排列。n阶置换共有n!个，同一置换用这样的表示可有n!个表示法。例如 P<sub>1</sub>=<img width=96 height=48 src="./4_2/image004.gif" align="middle">=<img width=96 height=48 src="./4_2/image006.gif" align="middle">，n阶置换又可看作[1,n]上的一元运算，一元函数。</p><p><b>[置换乘法]</b>P<sub>1</sub>=<img width=96 height=48 src="./4_2/image004.gif" align="middle">,P<sub>2</sub>=<img width=97 height=48 src="./4_2/image008.gif" align="middle">,P<sub>1</sub>P<sub>2</sub>=<img width=96 height=48 src="./4_2/image004.gif" align="middle"><img width=96 height=47 src="./4_2/image010.gif" align="middle">=<img width=96 height=48 src="./4_2/image012.gif" align="middle"><br>注意：既然先做P<sub>1</sub>的置换，再做P<sub>2</sub>的置换就规定了若作为运算符或函数符应是后置的。这与一般习惯的前置不一样。</p><p>一般而言，对[1,n]上的n阶置换，i[1,n]要写成(i)P<sub>1</sub>P<sub>2</sub>，而不是P<sub>1</sub>P<sub>2</sub>(i). (i)P有时写成i<br>在上面例中，<img width=64 height=38 src="./4_2/image018.gif" align="bottom">,<img width=65 height=38 src="./4_2/image020.gif" align="bottom">,<img width=68 height=38 src="./4_2/image022.gif" align="bottom">,<img width=67 height=38 src="./4_2/image024.gif" align="bottom">.也可写(1)P<sub>1</sub>P<sub>2</sub>=2,(2)P<sub>1</sub>P<sub>2</sub>=4,(3)P<sub>1</sub>P<sub>2</sub>=3,(4)P<sub>1</sub>P<sub>2</sub>=1.<br>P<sub>2</sub>P<sub>1</sub>=<img width=97 height=48 src="./4_2/image008.gif" align="middle"><img width=96 height=48 src="./4_2/image014.gif" align="middle">=<img width=97 height=48 src="./4_2/image016.gif" align="middle">≠P<sub>1</sub>P<sub>2</sub>.</p><p>(1)<b>[置换群]</b>[1,n]上的所有n阶置换在上面的乘法定义下是一个群。<br>(a)封闭性 <img width=356 height=51 src="./4_2/image026.gif" align="middle"><br>(b)可结合性 <img width=554 height=35 src="./4_2/image028.gif" align="middle"><br>(c)有单位元 e=<img width=96 height=48 src="./4_2/image030.gif" align="middle"><br>(d) <img width=257 height=53 src="./4_2/image032.gif" align="middle"></p><p>(2)<b>[例]</b>等边三角形的运动群。绕中心转动120<sup>。</sup>，不动，绕对称轴翻转。<br>P<sub>1</sub>=<img width=69 height=48 src="./4_2/image034.gif" align="middle">,P<sub>2</sub>=<img width=73 height=48 src="./4_2/image036.gif" align="middle">,P<sub>3</sub>=<img width=73 height=48 src="./4_2/image038.gif" align="middle">,P<sub>4</sub>=<img width=71 height=48 src="./4_2/image040.gif" align="middle">,P<sub>5</sub>=<img width=72 height=48 src="./4_2/image042.gif" align="middle">,P<sub>6</sub>=<img width=73 height=48 src="./4_2/image044.gif" align="middle">。<br>[1,n]上的所有置换(共n!个)构成一个群，称为对称群，记做S<sub>n</sub>.<br>注意：一般说[1,n]上的一个置换群，不一定是指S<sub>n</sub>.但一定是S<sub>n</sub>的某一个子群。</p><p>任一n阶群同构于一个n个文字的置换群。<br>设G={a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,…,a<sub>n</sub>},指定G中任一元a<sub>i</sub>, 任意a<sub>j</sub>∈G，P<sub>i</sub>：a<sub>j</sub>→a<sub>j</sub>a<sub>i</sub>，则P<sub>i</sub>是G上的一个置换，即以G为目标集。P<sub>i</sub>=<img width=123 height=53 src="./ex4/image002.gif" align="middle">，<br>G的右正则表示f：a<sub>i</sub>→<img width=40 height=51 src="./ex4/image004.gif" align="middle">=P<sub>i</sub>。f是单射：a<sub>i</sub>≠a<sub>j</sub>，则P<sub>i</sub>≠P<sub>j</sub><br>f(a<sub>i</sub>a<sub>j</sub>)=<img width=188 height=51 src="./ex4/image006.gif" align="middle">=<img width=123 height=53 src="./ex4/image002.gif" align="middle"><img width=200 height=51 src="./ex4/image008.gif" align="middle">=f(a<sub>i</sub>)f(a<sub>j</sub>)<br>令P={P<sub>i</sub>=<img width=40 height=51 src="./ex4/image004.gif" align="middle">|a,a<sub>i</sub>∈G},则P≈G</p></body></html>⌨️ 快捷键说明
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