📄 1_3.htm
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<html><head><title>Untitled Document</title><meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=gb2312"><link rel="stylesheet" href="../style.css"></head><body bgcolor="#FFFFFF"><h1>1.3 Stirling近似公式</h1><p>组合计数的渐进值问题是组合论的一个研究方向。 </p><p>Stirling公式给出一个求n!的近似公式，它对从事计算和理论分析都是有意义的。 </p><h4>1)Wallis公式 </h4><p>令<sub><img src="1_3pic/image002.gif" width="104" height="36" align="middle"></sub>,显然<img src="1_3pic/image004.gif" width="45" height="24" align="middle">,</p><p>I<sub>1</sub>=1.k≥2时，</p><p>I<sub>k</sub><img width=292 height=75src="1_3pic/image006.gif" align="top"></p><p> =(k－1)(I<sub>k-2</sub>－I<sub>k</sub>) </p><p>故<img src="1_3pic/image008.gif" width="93" height="41" align="middle"><sub>(1-3-1)</sub></p><p>令<img src="1_3pic/image010.gif" width="225" height="51" align="middle"></p><p>由(1-3-1)，<img src="1_3pic/image012.gif" width="172" height="88" align="middle"> (1-3-2)</p><p>当x∈(0,π/2)时， sin<sup>k+1</sup>x<sin<sup>k</sup>x 因而I<sub>2k+1</sub><I<sub>2k</sub><I<sub>2k-1</sub>, k=1,2,…。</p><p>由(1-3-2),<img src="1_3pic/image014.gif" width="233" height="44" align="middle"> ,</p><p> <img src="1_3pic/image018.gif" width="281" height="75" align="top"> </p><p>所以，<img src="1_3pic/image021.gif" width="181" height="52" align="middle"></p><p> <img src="1_3pic/image023.gif" width="199" height="52" align="top"></p><p><img src="1_3pic/image026.gif" width="183" height="53" align="middle">(1-10-3)</p><h4>2)stirling公式</h4><h4><img src="1_3pic/pic1.gif" width="335" height="175"></h4><p>令<img src="1_3pic/image028.gif" width="293" height="35" align="middle">(1-3-4) </p><p><img src="1_3pic/image030.gif" width="343" height="24" align="top"> (1-3-5) </p><p>t<sub>n</sub>的几何意义是由x轴,x=n,以及连接(1,0), (2,ln2),…,(n－1,ln(n－1)),(n,lnn)诸点而成的折线围成的面积。</p><p>T<sub>n</sub>=1/8+ln2+…+ln(n－1)+(lnn)/2 (1-3-6) </p><p>T<sub>n</sub>是由三部分面积之和构成的。一是曲线y=lnx在x=k点的切线和x轴,以及x=k－1/2,x=k－1/2包围的梯形，当k分别为2,3,…,n-1时的面积之和；一是由y=lnx在x=1点的切线，x=3/2线，以及x轴围城的梯形；另一是由y=lnn,x=n－1/2,x=n及x轴包围的矩形面积。因而有t<sub>n</sub><A<sub>n</sub><T<sub>n</sub> (1-3-7)</p><p>0<A<sub>n</sub>－t<sub>n</sub><T<sub>n</sub>－t<sub>n</sub>=1/8</p><p>令b<sub>n</sub>=A<sub>n</sub>－t<sub>n</sub>.序列b<sub>1</sub>,b<sub>2</sub>,…是单调增，而且有上界，故有极限，<br> 令<img width=26 height=29src="1_3pic/image032.gif" align="middle">b<sub>n</sub>=b<sub>1</sub> 由(1-3-4),(1-3-5)<br> 得 b<sub>n</sub>=nlnn－n+1－ln(n!)+(lnn)/2=lnn<sup>n</sup>－n+1－ln(n!)+(ln<img src="1_3pic/image034.gif" width="25" height="24" align="middle">)/2 </p><p>ln(n!)=1－b<sub>n</sub>+lnn<sup>n</sup>－ln<img src="1_3pic/image034.gif" width="25" height="24" align="middle">－lne<sup>n</sup> <br> ∴n!=<img src="1_3pic/image038.gif" width="31" height="21" align="bottom"><img src="1_3pic/image034.gif" width="25" height="24" align="bottom"><img src="1_3pic/image036.gif" width="31" height="25" align="bottom"> (1-3-8) </p><p>令β<sub>n</sub>=<img src="1_3pic/image038.gif" width="31" height="21" align="middle"> ,<img width=26 height=29src="1_3pic/image032.gif" align="top">β<sub>n</sub>=β.<br> 将(1-3-8)代入(1-3-3),整理得 β=<img src="1_3pic/image042.gif" width="36" height="24">.<br> 所以 n! ~ <img src="1_3pic/image040.gif" width="41" height="24" align="middle"><img src="1_3pic/image036.gif" width="31" height="25" align="middle"></p> </body></html>⌨️ 快捷键说明
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