📄 6_3.htm
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<html><head><meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=gb2312"><title>§6.3</title><meta name="GENERATOR" content="Microsoft FrontPage 3.0"></head><body><p align="center"><font size="4"><b>§6.3 一般提法和几何意义</b></font></p><p> 以上问题可归纳为一类问题：目标函数是线性函数， 约束条件是线性不等式，在满足约束条件的前提下求目标函数的最大值或最小值． 为简便起见，用矩阵表示．设<br> C＝( c<sub>1</sub> c<sub>2</sub> ···c<sub>n</sub>)，X＝( x<sub>1</sub> x<sub>2</sub> ···x<sub>n</sub>) ， A＝( a<sub>ij</sub> )<sub>m×n</sub>，b＝( b<sub>1</sub> b<sub>2</sub> ···b<sub>n</sub>) ． 线性规划可表示为：<br> max Z＝CX<br> AX≤b <br> X≥0.<br> 显然，maxZ＝－min(－Z)，而AX≤b与(－A)X≥－b等价． 所有满足约束条件的X的集合称为允许解域．允许解不存在，则允许解域为空集， 则线性规划问题无解；而允许解域存在，目标函数无上界，上述线性规划问题也无解． 允许解存在，而目标函数又有上界，则上述线性规划问题有解． </p><p><b>例４</b> maxZ＝x<sub>1</sub>+x<sub>2</sub>，<br> 2x<sub>1</sub> + 3x<sub>2</sub> ≤6，<br> 3x<sub>1</sub> + 2x<sub>2</sub> ≤6．<br> x<sub>1</sub>，x<sub>2</sub>≥0</p><p><b>解:</b> 如下图,目标函数在允许解域的顶点取得最大值。<br><img src="6_3_1.gif"><br></p><p><b>例５</b> Z＝3x<sub>1</sub>+2x<sub>2</sub>，求maxZ和minZ．约束条件如下：<br> x<sub>1</sub>＋x<sub>2</sub>≤6<br> x<sub>1</sub>－x<sub>2</sub>≤4<br> x<sub>1</sub>＋3x<sub>2</sub>≥6<br> 2x<sub>1</sub>＋x<sub>2</sub>≥4; x<sub>1</sub>，x<sub>2</sub>≥0.</p><p><b>解:</b> 如下图,目标函数在允许域的顶点取得最大值及最小值.<br><img src="6_3_2.gif"> </p><p><b>例6</b> Z＝2x<sub>1</sub>+2x<sub>2</sub>，求maxZ．约束条件如下<br> x<sub>1</sub>＋x<sub>2</sub>≤6<br> x<sub>1</sub>－x<sub>2</sub>≤4<br> x<sub>1</sub>＋3x<sub>2</sub>≥6<br> 2x<sub>1</sub>＋x<sub>2</sub>≥4 x<sub>1</sub>，x<sub>2</sub>≥0.</p><p><b>解:</b>如下图,在线段(0 , 6)－(5 , 1)上取得最大值．可见，最大值点不 一定是唯一的，但最大值若存在，则一定可在顶点上取得.<br><img src="6_3_3.gif"></p><p><b>例7</b> Z＝x<sub>1</sub>+x<sub>2</sub>，求maxZ和minZ．约束条件如下：<br> 2x<sub>1</sub>－x<sub>2</sub>≥－4<br> x<sub>1</sub>－x<sub>2</sub>≤4<br> x<sub>1</sub>＋3x<sub>2</sub>≥6<br> 2x<sub>1</sub>＋x<sub>2</sub>≥4 x<sub>1</sub>，x<sub>2</sub>≥0</p><p><b>解:</b>如下图:Z无上界,故maxZ不存在.<br><img src="6_3_4.gif"></p><p> 由以上的讨论可得：线性规划<br><b>无解的情况：</b>允许域为空集（约束条件相互矛盾）；允许域非空，求maxZ，但Z无 上界；有允许解而无最优解（求minZ，而Z无下界）.<br><b>有解的情况：</b>最优解唯一，在顶点取得；最优解不唯一，也可在顶点取得， 两个允许解间的连线都在允许解域内． </p></body></html>⌨️ 快捷键说明
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