📄 1_8.htm
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<html><head><title>Untitled Document</title><meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=gb2312"><link rel="stylesheet" href="../style.css"></head><body bgcolor="#FFFFFF"><h1>1.8若干等式及其组合意义</h1><p>组合意义或组合证明，含意强弱的不同。承认组合证明与其他证明有相同的“合法性”。</p><p><b>1.</b> C(n,r)=C(n,n-r) (1.7.1)</p><p> 从[1,n]去掉一个r子集，剩下一个(n-r)子集。由此建立C(n,r)与C(n,n-r)的一个一一对应。故C(n,r)=C(n,n-r) </p><p><b>2.</b> C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1) (1.7.2)</p><p> 从[1,n]取a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,…,a<sub>r</sub>.设1≤a<sub>1</sub>＜a<sub>2</sub>＜…＜a<sub>r</sub>≤n,对取法分类：a<sub>1</sub>=1,有C(n-1,r-1)种方案；a<sub>1</sub>>1,有C(n-1,r-1)种方案 共有C(n-1,r)+C(n-1,r-1)种方案，故C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1)</p><p>杨辉三角除了(0,0)点，都满足此递推式<img src="1_8pic/image002.gif" width="249" height="133" align="middle"></p><p>C(m+n,m)=C(m+n-1,m)+C(m+n-1,m-1)<br> {(0,0)→(m,n)}={(0,0)→(m,n-1)}∪{(0,0)→(m-1,n)}</p><p><b>3.</b><img src="1_8pic/image004.gif" width="319" height="48" align="middle"> (1.7.3)</p><p> [1]可从(7.2)推论，也可做一下组合证明。<br> 从[1,n+r+1]取a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>…a<sub>n</sub>a<sub>n+1</sub>，设a<sub>1</sub>＜a<sub>2</sub>＜…＜a<sub>n</sub> ＜a<sub>n+1</sub>，<br> 可按a<sub>1</sub>的取值分类：a<sub>1</sub>=1,2,3,…r,r+1.<br> a<sub>1</sub>=1,a<sub>2</sub>…a<sub>n+1</sub>取自[2,n+r+1] 有<img src="1_8pic/image006.gif" width="51" height="48" align="middle">种取法 </p><p> a<sub>1</sub>=2, a<sub>2</sub>…a<sub>n+1</sub>取自[3,n+r+1] 有<img src="1_8pic/image008.gif" width="71" height="48" align="middle">种取法. <br> ......<br> a<sub>1</sub>=r, a<sub>2</sub>…a<sub>n+1</sub>取自[r+1,n+r+1] 有<img src="1_8pic/image010.gif" width="48" height="48" align="middle">种取法 </p><p> a<sub>1</sub>=r+1, a<sub>2</sub>…a<sub>n+1</sub>取自[r+2,n+r+1] 有<img src="1_8pic/image012.gif" width="28" height="43" align="middle">种取法 </p><p>也可看做按含1不含1，含2不含2,…, 含r不含r的不断分类<br> [2]从(0,0)到(n+1,r),过且仅过一条带箭头的边,而过这些边的路径有(从下到上)<img src="1_8pic/image012.gif" width="28" height="43" align="middle">,<img src="1_8pic/image010.gif" width="48" height="48" align="middle">,...,<img src="1_8pic/image008.gif" width="71" height="48" align="middle">,<br> 故有<img src="1_8pic/image004.gif" width="319" height="48" align="middle"><br> <img src="1_8pic/pic1.gif" width="261" height="214"> </p><p>[3] 可重组合. [1,n+2]的C(n+2,r)模型 <img src="1_8pic/image014.gif" width="72" height="48" align="middle"><br> 不含1, 含1个1, 含2个1,…, 含r个1,<br> <img src="1_8pic/image016.gif" width="50" height="48" align="middle"> ,<img src="1_8pic/image018.gif" width="71" height="48" align="middle">,<img src="1_8pic/image020.gif" width="73" height="48" align="middle"> ,...,<img src="1_8pic/image022.gif" width="28" height="48" align="middle"> .</p><p><b>4.</b><img src="1_8pic/image024.gif" width="137" height="48" align="middle"> (1.7.4) </p><p>①选政治局,再选常委,n个中央委员选出l名政治局委员,再从其中选出r名常委</p><p> ②选常委,再选非常委政治局委员 </p><p>两种选法都无遗漏,无重复地给出可能的方案，应该相等。 </p><p><b>5.</b><img src="1_8pic/image026.gif" width="219" height="48" align="middle">, (1.7.5) </p><p>证1<img src="1_8pic/image028.gif" width="168" height="48" align="middle">,令x=y=1,得(1.7.5) </p><p>组合证1 [1,m]的所有方案.每一子集都可取k[1,m]或不取.这样有2<sup>m</sup>个方案.另可有0-子集(空集),1-子集,…,m-子集. <br> 组合证2 从(0,0)走m步有2<sup>m</sup>种走法,都落在直线x+y=m上,而到(m,0),(m-1,1),(m-2,2),…,(2,m-2),(1,m-1),(0,m)各点的走法各有<img src="1_8pic/image030.gif" width="32" height="48" align="middle">,<img src="1_8pic/image032.gif" width="32" height="48" align="middle">,<img src="1_8pic/image034.gif" width="32" height="48" align="middle">,…,<img src="1_8pic/image036.gif" width="52" height="48" align="middle">,<img src="1_8pic/image038.gif" width="32" height="48" align="middle">种</p><p><b>6.</b><img src="1_8pic/image040.gif" width="193" height="48" align="middle"> (1.7.6) </p><p>证1 在<img src="1_8pic/image042.gif" width="161" height="48" align="middle">中令x=1,y=-1即得. </p><p>证2 在[1,n]的所有组合中, 含1的组合←→不含1的组合.有1—1对应关系。在任一含1组合及与之对应的不含1组合中，必有一奇数个元的组合与一偶数个元的组合。将含奇数个元的组合做成集，将含偶数阁元的组合做成另一集。此二集的元数相等。 <img src="1_8pic/image044.gif" width="107" height="48"></p><p><b>7.</b><img src="1_8pic/image046.gif" width="297" height="48" align="middle">(1.7.7)即Vandermonde恒等式</p><p> 证1 从m个互异红球和n个互异蓝球中取r个球,按r个球中红球的个数分类. </p><p>组合证法: (0,0)到(m+n-r)点的路径.<br> <object classid="clsid:D27CDB6E-AE6D-11cf-96B8-444553540000" codebase="http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=4,0,2,0" width="220" height="200"> <param name=movie value="1_8pic/1-8-1.swf"> <param name=quality value=high> <embed src="1_8pic/1-8-1.swf" quality=high pluginspage="http://www.macromedia.com/shockwave/download/index.cgi?P1_Prod_Version=ShockwaveFlash" type="application/x-shockwave-flash" width="220" height="200"> </embed> </object> <br> <img src="1_8pic/image048.gif" width="386" height="48"></p><p><img src="1_8pic/image050.gif" width="157" height="48"></p><p><b>8.</b>在7.中令r=m≤n,再将<img src="1_8pic/image052.gif" width="32" height="48" align="middle">换成<img src="1_8pic/image054.gif" width="55" height="48" align="middle"> <br> 得<img src="1_8pic/image056.gif" width="282" height="48" align="middle"></p></body></html>⌨️ 快捷键说明
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