4_1.htm
来自「随着各行各业的发展和生产需要」· HTM 代码 · 共 43 行
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<html><head><title>Untitled Document</title><meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=gb2312"><link rel="stylesheet" href="../style.css"></head><body bgcolor="#FFFFFF"><h1>4.1 群的概念</h1><p><b>(1)群</b><br><b>[定义]</b>给定集合G和G上的二元运算·，满足下列条件称为群。<br>(a)封闭性：若a,b∈G,则存在c∈G,使得a·b=c.<br>(b)结合律成立：任意a,b,c∈G,有(a·b)·c=a·(b·c).<br>(c)有单位元：存在e∈G,任意a∈G.a·e=e·a=a.<br>(d)有逆元：任意a∈G,存在b∈G, a·b=b·a=e. b=a<sup>-1</sup>.<br>由于结合律成立，(a·b)·c=a·(b·c)可记做a·b·c.<br><b>[例]</b>证明对于a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,…,a<sub>n</sub>的乘积，结合律成立.a·a·…·a=a<sup>n</sup>(共n个a相乘).</p><p><b>(2)简单例子</b><br><b>[例]</b>G={1,-1}在普通乘法下是群。<br><b>[例]</b>G={0,1,2,…,n-1}在mod n的加法下是群.<br><b>[例]</b>二维欧氏空间所有刚体旋转T={T<sub>a</sub>}构成群。其中T<sub>a</sub>=<img width=108 height=48 src="./4_1/image002.gif" align="middle"><br>T<sub>b</sub>T<sub>a</sub>=<img width=107 height=48 src="./4_1/image004.gif" align="middle"><img width=108 height=48 src="./4_1/image002.gif" align="middle">=<img width=325 height=48 src="./4_1/image006.gif" align="middle">=<img width=169 height=48 src="./4_1/image008.gif" align="middle">=T<sub>a+b</sub><br>从而有(a)封闭性;<br>(b)结合律成立：(T<sub>α</sub>T<sub>β</sub>)T<sub>γ</sub> = T<sub>α</sub>(T<sub>β</sub>T<sub>γ</sub>) = T<sub>α</sub>T<sub>β</sub>T<sub>γ</sub>;<br>(c)有单位元： T<sub>0</sub>=<img width=51 height=48 src="./4_1/image010.gif" align="middle">;<br>(d)有逆元：T<sub>a</sub>=T<sub>-a</sub>=<img width=108 height=48 src="./4_1/image012.gif" align="middle"></p><p>前两例群元素的个数是有限的，所以是有限群；后一例群元素的个数是无限的，所以是无限群。<br>有限群G的元素个数叫做群的阶,记做|G|。<br>若群G的任意二元素a,b恒满足ab=ba。责称G为交换群，或Abel群。<br>设G是群,H是G的子集,若H在G原有的运算之下也是一个群,则称为G的一个子群。<br></p><p><b>基本性质</b><br>(a)单位元唯一 e<sub>1</sub>e<sub>2</sub>=e<sub>2</sub>=e<sub>1</sub><br>(b)消去律成立 ab=ac→b=c,ba=ca→b=c<br>(c)每个元的逆元唯一 aa<sup>-1</sup>=a<sup>-1</sup>a=e,ab=ba=e,aa<sup>-1</sup>=ab ,a<sup>-1</sup>=b<br>(d)(ab…c)<sup>-1</sup>=c<sup>-1</sup>…b<sup>-1</sup>a<sup>-1</sup>.c<sup>-1</sup>…b<sup>-1</sup>a<sup>-1</sup>ab…c=e<br>(e)G有限，a∈G，则存在最小正整数r，使得a<sup>r</sup>=e.且a<sup>-1</sup>=a<sup>r-1</sup>.<br><b>[证]</b>设|G|=g,则a,a<sup>2</sup>,…,a<sup>g</sup>,a<sup>g+1</sup>∈G,由鸽巢原理其中必有相同项。设a<sup>m</sup>=a<sup>l</sup>,1≤m＜l≤g+1,e=a<sup>l-m</sup>,1≤l-m≤g，令l-m=r.则有a<sup>r</sup>=a<sup>r-1</sup>a=e.即a<sup>-1</sup>=a<sup>r-1</sup>.既然有正整数r使得a<sup>r</sup>=e,其中必有最小者，不妨仍设为r.r称为a的阶。易见H={a,a<sup>2</sup>,…a<sup>r-1</sup>,a<sup>r</sup>=e}在原有运算下也是一个群。</p></body></html>⌨️ 快捷键说明
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