📄 4_3.htm
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<html><head><title>Untitled Document</title><meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=gb2312"><link rel="stylesheet" href="../style.css"></head><body bgcolor="#FFFFFF"><h1>4.3循环、奇循环与偶循环</h1><p>(a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>…a<sub>m</sub>)=<img width=163 height=51 src="./4_3/image002.gif" align="middle">称为置换的循环表示。</p><p>于是<img width=119 height=48 src="./4_3/image004.gif" align="middle">=(1 4 5 2 3),<img width=119 height=48 src="./4_3/image006.gif" align="middle">=(1 3 2)(4 5),<img width=119 height=48 src="./4_3/image008.gif" align="middle">=(1 5 4)(2)(3).</p>(a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>…a<sub>m</sub>)=(a<sub>2</sub>a<sub>3</sub>…a<sub>m</sub>a<sub>1</sub>)=…=(a<sub>m</sub>a<sub>1</sub>…a<sub>m-1</sub>)有m种表示方法。</p><p>若两个循环无共同文字，称为不相交的，不相交的循环相乘可交换。如(1 3 2)(4 5)=(4 5)(1 3 2).</p><p>若P=(a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>…a<sub>m</sub>),则P<sup>n</sup>=(1)(2)…(n)=e.</p><p><b>[定理]</b>任一置换可表成若干不相交循环的乘积。</p><p><b>[证]</b>对给定的任一置换P=<img width=117 height=51 src="./4_3/image010.gif" align="middle">，从1开始搜索<img width=287 height=27 src="./4_3/image012.gif" align="middle">得一循环<img width=84 height=25 src="./4_3/image014.gif" align="middle">,若<img width=84 height=25 src="./4_3/image014.gif" align="middle">包含了[1,n]的所有文字，则命题成立。否则在余下的文字中选一个，继续搜索,又得一循环。直到所有文字都属于某一循环为止。因不相交循环可交换，故除了各个循环的顺序外，任一置换都有唯一的循环表示。</p><p><b>[例]</b>一副扑克牌，一分为二，交错互相插入(洗牌)，这样操作一次相当于一个置换p。</p><p><img width=180 height=88 src="./4_3/image016.gif" align="middle"><br><img width=60 height=51 src="./4_3/image018.gif" align="middle">第i个位置被i<sup>p</sup>号牌占据.<br>p=(2 27 14 33 17 9 5 3)(4 28 40 46 49 25 13 7)(6 29 15 8 30 41 21 11)(10 31 16 34 43 22 37 19)(12 32 42 47 24 38 45 23)(18 35)(20 36 44 48 50 51 26 39)(52)<br>p<sup>8</sup>=e<br>2阶循环叫做对换。</p><p><b>[定理]</b>任一循环都可以表示为对换的积。(1 2 …n)=(1 2)(1 3)…(1 n)=(2 3)(2 4)…(2 n)(2 1)表示不唯一。sgn(p)∈{1,-1}.<br>(1)<img width=128 height=49 src="./4_3/image020.gif" align="middle"><br>(2)sgn(pq)=sgn(p)sgn(q)<br>(3)sgn((i,i+1))=-1, p=(i,i+1)<br>(4)sgn((l k))=-1 奇数个邻位对换。<br>故任一置换表示成对换的个数的奇偶性是唯一的置换分成两大类：奇置换与偶置换。循环长度减1的奇偶性即置换奇偶性。</p><p><b>[例]</b>0表示空格，任一变动都是与0做相邻的对换。</p><p>p=(0)(1 15)(2 14)(3 13)(4 12)(5 11)(6 10)(7 9)(8) 奇置换。0从右下角出发回到右下角，水平方向上，垂直方向上都做了偶数次对换。一个奇置换不会等于一个偶置换。<br><table><tr><td><table border=1><tr><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td></tr><tr><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td></tr><tr><td>9</td><td>10</td><td>11</td><td>12</td></tr><tr><td>13</td><td>14</td><td>15</td><td>0</td></tr></table></td><td>------------></td><td><table border=1 cellspace=0 cellspan=1><tr><td>15</td><td>14</td><td>13</td><td>12</td></tr><tr><td>11</td><td>10</td><td>9</td><td>8</td></tr><tr><td>7</td><td>6</td><td>5</td><td>4</td></tr><tr><td>3</td><td>2</td><td>1</td><td>0</td></tr></table></td></tr></table></p><p><b>[定理]</b>S<sub>n</sub>中所有偶置换构成一阶为(n!)/2的子群称为交错群，记做A<sub>n</sub>.</p><p><b>[证]</b><br>(1)封闭性<br>(2)单位元<br>(3)逆元 (i k)<sup>-1</sup>=(i k)<br>设p=(i<sub>1</sub> j<sub>1</sub>)(i<sub>2</sub> j<sub>2</sub>)…(i<sub>i</sub> j<sub>i</sub>),则p<sup>-1</sup>=(i<sub>i</sub> j<sub>i</sub>)…(i<sub>1</sub> j<sub>1</sub>)<br>令B<sub>n</sub>=S<sub>n</sub>-A<sub>n</sub>, |B<sub>n</sub>|+|A<sub>n</sub>|=n!,<br>则(i j) B<sub>n</sub>包含于A<sub>n</sub>|B<sub>n</sub>|≤|A<sub>n</sub>|，<br>(i j) B<sub>n</sub>包含于A<sub>n</sub> |A<sub>n</sub>|≤|B<sub>n</sub>|<br>∴|A<sub>n</sub>|=|B<sub>n</sub>|=(n!)/2</p></body></html>⌨️ 快捷键说明
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