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<html><head><meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=gb2312"><title>New Page 1</title><link rel="stylesheet" href="../style.css"></head><body><p> </p><p align="center"><big><big><strong>§1 &nbsp;容斥原理</strong></big></big></p><p><b>[例]&nbsp;&nbsp;&nbsp; </b>求<font color="#000000" size="4" FACE="Times New Roman">[1</font><fontcolor="#000000" size="4" FACE="宋体">,</font><font color="#000000" size="4"FACE="Times New Roman">20]</font><font color="#000000" size="4" FACE="宋体">中</font><fontcolor="#000000" size="4" FACE="Times New Roman">2</font><font color="#000000" size="4"FACE="宋体">或</font><font color="#000000" size="4" FACE="Times New Roman">3</font><fontcolor="#000000" size="4" FACE="宋体">的倍数的个数.</font></p><p><font face="宋体" color="#000000" size="3"><strong>[解]</strong>&nbsp;&nbsp; 2的倍数是:2,4,6,8,10,12,14,16,18,20。 一共10个</font></p><p><font face="宋体" color="#000000" size="3">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 3的倍数是:3,6,9,12,15,18。 &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 一共6个</font></p><p><font face="宋体" color="#000000" size="3">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 但答案不是10+6=16个,因为6,12,18被重复记数,应该减去,所以</font></p><p><font face="宋体" color="#000000" size="3">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 答案应为10+6-3=13个。</font></p><p><b><font size="4">容斥原理就是研究有限集合交或并的记数。</font></b></p><p><font size="4"><b>[DeMorgan定理]</b>在论域U,补集<img src="3_1_0.gif"width="16" height="21">中,</font><img src="3_1_1.gif" align="top" vspace="-15"width="149" height="25" alt="3_1.gif (577 bytes)">,有:<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <img src="3_1_2.gif" width="117" height="53" alt="3_1_2.gif (938 bytes)"></p><p><b>[证]:</b> (a)的证明:<br><img src="3_1_3.gif" width="496" height="208" alt="3_1_3.gif"></p><p><b>DeMorgan原理的推广:</b>设A1、A2、...An是U的子集 <br>则: <img src="3_1_4.gif" align="top" vspace="-15" width="278" height="53"> </p><p><b>[证]:</b>只证(a),N=2时,已经在上面证明过. 设定理对n是正确的,即假定:<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<img src="3_1_5.gif" align="top" vspace="-25" width="237"height="26">正确,</p><p><img src="3_1_6.gif" width="300" height="104"><br>即定理对n+1也是正确的.<br>综上所述,(a)式成立. </p></body></html>

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