timu.htm

随着各行各业的发展和生产需要

<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=41 
src="timu.files/timu.h15.gif" width=60></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; II 当n为奇数时&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
由I的讨论知，a<SUB>r</SUB>比a<SUB>r-3</SUB>多了a+b-c=1的三角形。&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 而这种三角形可知&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG 
border=0 height=35 src="timu.files/timu.h16.gif" width=69></P>
<P>当 <IMG border=0 height=35 src="timu.files/timu.h17.gif" width=29> 
能被2整除时，这种三角形有 <IMG border=0 height=35 src="timu.files/timu.h17.gif" width=29> 
个&nbsp;</P>
<P>当 <IMG border=0 height=35 src="timu.files/timu.h17.gif" width=29> 
不能被2整除时，这种三角形有<IMG border=0 height=35 src="timu.files/timu.h18.gif" 
width=29>个&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=46 
src="timu.files/timu.h19.gif" width=133></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; (2)</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=46 
src="timu.files/timu.h20.gif" width=244></P>
<P>　</P>
<P>　</P>
<P>26.&nbsp;</P>
<P>（a）证明边长为整数、最大边长为l的三角形的个数是&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
<IMG border=0 height=39 src="timu.files/timu.h12.gif" width=312></P>
<P>（b）设f<SUB>n</SUB>记边长不超过2n的三角形的个数，而g<SUB>n</SUB>记边长不超过2n+1的三角形的个数，求f<SUB>n</SUB>和g<SUB>n</SUB> 
的表达式。&nbsp;</P>
<P>解：...&nbsp;</P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; （a）l=1时，只有一种可能（即3边都是 长度为1）。&nbsp; 
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=35 
src="timu.files/timu.h21.gif" width=69></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; l=2时，有两种可能（即“1，2，2”、 “2，2，2”）。&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=35 
src="timu.files/timu.h22.gif" width=82></P>
<P>设三角形的3边边长为x、y、z， 且 <IMG border=0 height=18 src="timu.files/timu.h23.gif" 
width=130> 。</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; l=2k+1时&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
x+y=2k+2时，有k+1种方案，即“1，2k+1”、“2，2k”、...…、“k+1，k+1”。&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; x+y=2k+3时，有k种方案，即“2，2k+1”、“3，2k”、...…、“k+1，k+2”。&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; x+y=2k+4时，有k种方案，即“3，2k+1”、“4，2k”、...…、“k+2，k+2”。&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; … …&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; … …&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; x+y=4k+1时，有1种方案，即“2k，2k+1”。&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; x+y=4k+2时，有1种方案，即“2k+1，2k+1”。&nbsp;</P><P:COLORSCHEME 
colors="#000066,#FFFFFF,#000000,#FFCC66,#FF9900,#000044,#3366FF,#FFFF00">
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=111 
src="timu.files/timu.h24.gif" width=149></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; l=2k时&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; x+y=2k+1时，有k种方案，即“1，2k”、“2，2k-1”、...…、“k，k+1”。&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; x+y=2k+2时，有k种方案，即“2，2k”、“3，2k-1”、...…、“k+1，k+1”。&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; x+y=2k+3时，有k种方案，即“3，2k”、“4，2k”、...…、“k+2，k+2”。&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; … …&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; … …&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; x+y=4k-1时，有1种方案，即“2k-1，2k”。&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; x+y=4k时，有1种方案，即“2k，2k”。&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=111 
src="timu.files/timu.h25.gif" width=137></P>
<P>（b）</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=70 
src="timu.files/timu.h26.gif" width=167></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=38 
src="timu.files/timu.h27.gif" width=142></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=115 
src="timu.files/timu.h28.gif" width=224></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=102 
src="timu.files/timu.h29.gif" width=194></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=104 
src="timu.files/timu.h30.gif" width=180></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=124 
src="timu.files/timu.h31.gif" width=216></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=83 
src="timu.files/timu.h32.gif" width=151></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;</P>
<P>　</P>
<P>27. 设&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
<IMG border=0 height=124 src="timu.files/timu.h13.gif" width=203></P>
<P>（a）证明 a<SUB>n+1</SUB>=a<SUB>n</SUB>+b<SUB>n+1</SUB>, 
b<SUB>n+1</SUB>=a<SUB>n</SUB>+b<SUB>n</SUB></P>
<P>（b）求序列{a<SUB>n</SUB>}与{b<SUB>n</SUB>}的母函数。&nbsp;</P>
<P>（c）用Fibonacci数来表示a<SUB>n</SUB>与b<SUB>n</SUB>。&nbsp;</P>
<P>解：...&nbsp;</P>1）证明&nbsp; 
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=104 
src="timu.files/timu.h33.gif" width=240></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=83 
src="timu.files/timu.h34.gif" width=230></P>
<P>同理可证&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=20 
src="timu.files/timu.h35.gif" width=72></P>
<P>3）解</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=41 
src="timu.files/timu.h36.gif" width=120></P>
<P>　</P>
<P>　</P>
<P>28. 设 F<SUB>1</SUB>=F<SUB>2</SUB>=1, 
F<SUB>n</SUB>=F<SUB>n-1</SUB>+F<SUB>n-2</SUB></P>
<P>（a）证明&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
<IMG border=0 height=54 src="timu.files/timu.h14.gif" width=180></P>
<P>（b）证明F<SUB>m</SUB>|F<SUB>n</SUB>的充要条件是m|n。&nbsp;</P>
<P>（c）证明&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
<IMG border=0 height=80 src="timu.files/timu.h15.gif" width=172></P>
<P>（d）证明(F<SUB>m</SUB>,F<SUB>n</SUB>)=F<SUB>(m,n)</SUB>, 
(m,n)为m,n的最大公约数。&nbsp;</P>
<P>解：...&nbsp;</P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1）证明&nbsp; 
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 用数学归纳法&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; I k=2时 成立，即 <IMG border=0 height=20 
src="timu.files/timu.h37.gif" width=110></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; II 设k=m时成立 <IMG border=0 height=20 
src="timu.files/timu.h38.gif" width=134></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 则k=m+1时，&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 
height=105 src="timu.files/timu.h39.gif" width=203></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 用归纳假设 由I、II知题设成立。&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2）证明&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; F<SUB>m</SUB>与F<SUB>m-1</SUB>互素（自己证明）&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=81 
src="timu.files/timu.h40.gif" width=187></P>
<P>作了k次后 若n-km&lt;m</P>
<P>则上式</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG 
border=0 height=38 src="timu.files/timu.h41.gif" width=77></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 3）证明&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=102 
src="timu.files/timu.h42.gif" width=159></P>
<P>当n是偶数时，最后一次会出现F<SUB>0</SUB>=0项&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=41 
src="timu.files/timu.h43.gif" width=194></P>
<P>当n是奇数时，最后一次会出现F<SUB>1</SUB>=1项&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=41 
src="timu.files/timu.h44.gif" width=201></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 4）证明&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 用2）的结论&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=41 
src="timu.files/timu.h45.gif" width=134></P>
<P>下面证明是最大公约数&nbsp;</P>
<P>设F<SUB>(n,m)</SUB>不是最大公约数， F<SUB>N</SUB>是,</P>
<P>则 m|N, n|N 则 N=&lt;(n,m)与 N&gt;(n,m)矛盾&nbsp;</P>
<P>是最大公约数</P>
<P>　</P>
<P>　</P>
<P>29. 从1到n的自然数中选取k个不同且不相邻的数，设此选取的方案为f(n,k)。&nbsp;</P>
<P>（a）求f(n,k)的递推关系。&nbsp;</P>
<P>（b）用归纳法求f(n,k)。&nbsp;</P>
<P>（c）若设1与n算是相邻的数，并设在此假定下从1到n的自然数中选取k个不同且不相邻的k个数的方案数为g(n,k)，利用f(n,k)求g(n,k)。&nbsp;</P>
<P>解：...</P>（a）&nbsp; 
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=61 
src="timu.files/timu.h46.gif" width=195></P>
<P>（b）&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=61 
src="timu.files/timu.h47.gif" width=195></P>
<P>（c）</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=124 
src="timu.files/timu.h48.gif" width=181></P>
<P>&nbsp;</P>
<P>　</P>
<P>30. 设S<SUB>2</SUB>(n,k)是第二类Stirling数。</P>
<P>证明&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
<IMG border=0 height=36 src="timu.files/timu.h16.gif" width=150></P>
<P>证明：...&nbsp;</P>设与第n+1号球同盒的球有n-k个，这样，其他k个球就放入另外m-1个盒子， k=m-1,m,…,n。 
即从n个不同的球中取k个放入m-1个相同的盒子的方案有 
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=126 
src="timu.files/timu.h49.gif" width=211></P>
<P>　</P>
<P>　</P>
<P>31. 求下图中从A点出发到n点的路径数。&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
<IMG border=0 height=49 src="timu.files/timu.h17.gif" width=85></P>
<P>解：...&nbsp;</P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 把上方的点序列设为a<SUB>n</SUB> 
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;<SUB> </SUB>把下方的点序列设为b<SUB>n</SUB></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;<SUB> </SUB>可得第推关系&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=63 
src="timu.files/timu.h50.gif" width=201></P>
<P>特征方程为 <IMG border=0 height=18 src="timu.files/timu.h51.gif" width=79></P>
<P>解得&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=38 
src="timu.files/timu.h52.gif" width=61></P>
<P>代入初值可解</P>
<P>　</P>
<P>　</P>
<P>32. n位0,1符号串，求从左向右只在最后两位才出现0，0的符号串的数目。</P>
<P>&nbsp;解：...&nbsp;</P>设所求的串的个数为a<SUB>n</SUB>，相邻不同为0的串的个数为b<SUB>n</SUB> 
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=61 
src="timu.files/timu.h53.gif" width=113></P>
<P>特征方程为&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=18 
src="timu.files/timu.h54.gif" width=79></P>
<P>解得&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=61 
src="timu.files/timu.h55.gif" width=137></P>
<P>代入初值可解</P>
<P>　</P>
<P>　</P>
<P>33. 试证&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
<IMG border=0 height=56 src="timu.files/timu.h18.gif" width=79></P>
<P>证明：...</P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 用数学归纳法&nbsp; 
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; I n=2时&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=41 
src="timu.files/timu.h56.gif" width=90></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 成立&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; II 设n=k时成立即&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=45 
src="timu.files/timu.h57.gif" width=128></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 当n=k+1时&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=88 
src="timu.files/timu.h58.gif" width=191></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 由I、II知题设成立</P></BODY></HTML>