timu.htm

随着各行各业的发展和生产需要

<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=20 
src="timu.files/timu.h64.gif" width=88></P>
<P>解得a、b为2重根。 设&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=21 
src="timu.files/timu.h65.gif" width=165></P>
<P>分析上式结构可得：&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=133 
src="timu.files/timu.h66.gif" width=225></P>
<P>把n=2代入可解得：&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=29 
src="timu.files/timu.h67.gif" width=126></P>
<P>代入a<SUB>n</SUB></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=29 
src="timu.files/timu.h68.gif" width=199></P>
<P>可得方程组&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=45 
src="timu.files/timu.h69.gif" width=161></P>
<P>解得</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=74 
src="timu.files/timu.h70.gif" width=70></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=79 
src="timu.files/timu.h71.gif" width=221></P>
<P>　</P>
<P>　</P>
<P>14. 
在Hanoi塔问题中，在柱A上从上到下套着n个圆盘，其编号依次从1到n。现要将奇数编号与偶数编号的圆盘分别转移到柱B和柱C上。转移规则仍然是每次移动一个，始终保持上面的比下面的小。一共要移动多少次？&nbsp;</P>
<P>解：...&nbsp;</P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 设n为偶数&nbsp; 
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1）先把n-1个盘通过C移到B&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2）把第n个盘移到C&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 3）把n-3个盘通过C移到A&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 4）把第n-2个盘移到B&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 对n为奇数时上述四步仍然成立，但是B、C对调。&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=18 
src="timu.files/timu.h72.gif" width=231></P>
<P>其中k(1)=1,k(2)=2,k(3)=5</P>
<P>h(k)为Hanota数列。&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=43 
src="timu.files/timu.h73.gif" width=180></P>
<P>可得特征方程：&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=20 
src="timu.files/timu.h74.gif" width=97></P>
<P>解得&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=32 
src="timu.files/timu.h75.gif" width=132></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=35 
src="timu.files/timu.h76.gif" width=231></P>
<P>代入初值可解得</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=38 
src="timu.files/timu.h77.gif" width=97></P>
<P>　</P>
<P>15. 一书框中有m格，每格各放n册同类的书，不同格放的书类型不同。现取出整理后重新放回，但不打乱相同类。试问无一本放在原来位置的方案数应多少？</P>
<P>解：...&nbsp;</P>设m层中有k层不在原来的层上，m-k层在原有层上，但是每册都不在原来的位置。 
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=41 
src="timu.files/timu.h78.gif" width=160></P>
<P>　</P>
<P>　</P>
<P>16. 设一矩形ABCD,其中</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=35 
src="timu.files/timu.h8.gif" width=116></P>
<P>作C<SUB>1</SUB>B<SUB>1</SUB>使得AB<SUB>1</SUB>C<SUB>1</SUB>D是一正方形。试证矩形B<SUB>1</SUB>C<SUB>1</SUB>CD和ABCD相似。试证继续这过程可得一和原矩形相似的矩形序列。&nbsp;</P>
<P>解：...&nbsp;</P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 把AD看成1&nbsp; 
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 则AB为&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=38 
src="timu.files/timu.h79.gif" width=40></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=117 
src="timu.files/timu.h80.gif" width=161></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=19 
src="timu.files/timu.h81.gif" width=106></P>
<P>同理可得其他矩形相似</P>
<P>　</P>
<P>　</P>
<P>17. 平面上有两两相交，无三线共点的n条直线，试求这n条直线把平面分成多少个域？&nbsp;</P>
<P>解：...&nbsp;</P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
满足条件的n条直线把平面分成a<SUB>n</SUB>个域，其中n-1条直线分割成的域数为a<SUB>n-1</SUB>，第n条直线与这n条直线均相交。 
被分成n-1+1=n段。&nbsp; 
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 增加的域数为n。&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=20 
src="timu.files/timu.h82.gif" width=168></P>
<P>设&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=41 
src="timu.files/timu.h83.gif" width=121></P>
<P>解得</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=106 
src="timu.files/timu.h84.gif" width=96></P>
<P>　</P>
<P>　</P>
<P>18. 在一圆周上取n个点，过一对顶点可作一弦，不存在三弦共点的现象，求弦把圆分割成几部分？&nbsp;</P>
<P>解：...&nbsp;</P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
n-1个点把圆分为a<SUB>n-1</SUB>部分，加上第n个点则对于前n-1个点来说，每选取3个点都有3条弦构成一个三角形，而中间的一点和第n点的连线把中间点与第n点间的弦分为两个部分，增加了一个域。而对第n点与其他n-1点的连线有把第1、n-1、n点构成的三角形分为n个域。&nbsp; 

<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 所以地推关系为：&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=63 
src="timu.files/timu.h85.gif" width=203></P>
<P>可设&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=41 
src="timu.files/timu.h86.gif" width=236></P>
<P>代入初值可解得</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=147 
src="timu.files/timu.h87.gif" width=108></P>
<P>　</P>
<P>　</P>
<P>19. 求n位二进制数相邻两位不出现11的数的个数。&nbsp;</P>
<P>解：...&nbsp;</P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 设n-1位不出现11的个数为a<SUB>n-1</SUB> 
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;<SUB> </SUB>n-2位不出现11的个数为a<SUB>n-2</SUB>&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; n位不出现11的个数为a<SUB>n</SUB></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;<SUB> </SUB>则&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=41 
src="timu.files/timu.h88.gif" width=218></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 特征方程为&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=61 
src="timu.files/timu.h89.gif" width=149></P>
<P>设&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=21 
src="timu.files/timu.h90.gif" width=64></P>
<P>代入得</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=74 
src="timu.files/timu.h91.gif" width=77></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=38 
src="timu.files/timu.h92.gif" width=240></P>
<P>　</P>
<P>　</P>
<P>20. 在n个文字，长度为k的允许重复的排列中，不允许一个文字连续出现三次，求这样的排列的数目。&nbsp;</P>
<P>解：...&nbsp;</P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 设所求为a<SUB>k</SUB>则&nbsp; 
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=43 
src="timu.files/timu.h93.gif" width=182></P>
<P>特征方程为&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=20 
src="timu.files/timu.h94.gif" width=133></P>
<P>解得&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=38 
src="timu.files/timu.h95.gif" width=148></P>
<P>可设&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=21 
src="timu.files/timu.h96.gif" width=91></P>
<P>代入初值可解出A、B</P>
<P>　</P>
<P>21. 
求1<SUP>4</SUP>+2<SUP>4</SUP>+3<SUP>4</SUP>+<SUP>...</SUP>+n<SUP>4</SUP>的和。&nbsp;</P>
<P>解：...&nbsp;</P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 
height=21 src="timu.files/timu.h97.gif" width=155> 
<P>是n的4次方&nbsp;</P>
<P><IMG border=0 height=20 src="timu.files/timu.h98.gif" width=35> 
满足第推关系&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=41 
src="timu.files/timu.h99.gif" width=196></P>
<P>设&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=41 
src="timu.files/timu.h1.gif" width=245></P>
<P>代入可解得</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=147 
src="timu.files/timu.h2.gif" width=234></P>
<P>　</P>
<P>　</P>
<P>22. 求矩阵&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
<IMG border=0 height=124 src="timu.files/timu.h9.gif" width=317></P>
<P>解：...&nbsp;</P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 由矩阵的结构知&nbsp; 
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=45 
src="timu.files/timu.h3.gif" width=134></P>
<P>只要求出K(n)即可&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=90 
src="timu.files/timu.h4.gif" width=210></P>
<P>可解得</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=43 
src="timu.files/timu.h5.gif" width=112></P>
<P>　</P>
<P>　</P>
<P>23. 求</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=124 
src="timu.files/timu.h10.gif" width=327></P>
<P>&nbsp;解：...</P>只求&nbsp; 
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=38 
src="timu.files/timu.h6.gif" width=123>，</P>
<P>其他两式 同理可解。&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=43 
src="timu.files/timu.h7.gif" width=139></P>
<P>可设&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=41 
src="timu.files/timu.h8.gif" width=212></P>
<P>把初值代入可的方程组：&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=104 
src="timu.files/timu.h9.gif" width=208></P>
<P>解得：</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=147 
src="timu.files/timu.h10.gif" width=181></P>
<P>　</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>24. 
在一个平面上画一个圆，然后一条一条地画n条与圆相交的直线。当r是大于1的奇数时，第r条直线只与前r-1条直线之一在圆内相交。当r是偶数时，第r条直线与前r-1条直线在圆内部相交。如果无3条直线在圆内共点，这n条直线把圆分割成多少个不重叠的部分？&nbsp;</P>
<P>解：...&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 当r是奇数（&gt;1）时&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=19 
src="timu.files/timu.h11.gif" width=138></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 当r是偶数时</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=19 
src="timu.files/timu.h12.gif" width=181></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=70 
src="timu.files/timu.h13.gif" width=117></P>
<P>　</P>
<P>　</P>
<P>25. 用a<SUB>n</SUB>记具有整数边长周长为n的三角形的个数。&nbsp;</P>
<P>（a）证明&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
<IMG border=0 height=37 src="timu.files/timu.h11.gif" width=166></P>
<P>（b）求序列{a<SUB>n</SUB>}的普通形母函数。</P>
<P>解：...</P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; I 当n是偶数时&nbsp; 
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
对所有符合条件的a<SUB>r-3</SUB>来说，每边增加1各单位，则可构成符合条件的a<SUB>r</SUB>。&nbsp;</P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <IMG border=0 height=20 
src="timu.files/timu.h14.gif" width=60></P>
<P>&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
设短边为a、b，长边为c，则(a+b)-c&gt;=2即a+b-2&gt;c-1，对所有符合条件的a<SUB>r</SUB>来说，每边减少1各单位，则可构成符合条件的a<SUB>r-3</SUB></P>