📄 1_2.htm
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<html><head><meta http-equiv=Content-Type content="text/html; charset=GB2312"><title>Untitled Document</title><link rel="stylesheet" href="../style.css"></head><body><h1>1.2排列与组合</h1><p><b>[定义]</b>从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用<b><i>P</i>(n,r)</b>表示。排列的个数用<b>P(n,r)</b>表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为<b><spanclass=overline><i>P</i></span>(n,r)</b>,<b><span class=overline>P</span>(n,r)</b>。</p><p><b>[定义]</b>从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的<b>无重组合</b>。 <br> 组合的全体组成的集合用<b><i>C</i>(n,r)</b>表示，组合的个数用<b>C(n,r)</b>表示，对应于可重组合有记号<spanclass=overline><b><i>C</i></b></span><b>(n,r)</b>,<b><span class=overline>C</span>(n,r)</b>。</p><p>从n个中取r个的排列的典型例子是从n个不同的球中,取出r个,放入r个不同的盒子里,每盒1个。第1个盒子有n种选择，第2个有n-1种选择，……，第r个有n-r+1种选择。故有P(n,r)=n(n-1)……(n-r+1) 有时也用[n]<sub>r</sub>记n(n-1)……(n-r+1)</p><p>若球不同，盒子相同，则是从n个中取r个的组合的模型。若放入盒子后再将盒子标号区别，则又回到排列模型。每一个组合可有r!个标号方案。<br> 故有C(n,r)·r!=P(n,r),<br> C(n,r)=P(n,r)/r!=[n]<sub>r</sub>/r!=(<img src="1_2pic/image008.gif" width="11" height="19" align="middle">)=<img src="1_2pic/image010.gif" width="52" height="48" align="middle">, 易见<span class=overline>P</span>(n,r)=n<sup>r</sup></p><p><b>[例]</b>有5本不同的日文书，7本不同的英文书，10本不同的中文书。<br> 1)取2本不同文字的书；<br> 2)取2本相同文字的书；<br> 3)任取两本书<br> <b>[解]<br> </b>1)5×7+5×10+7×10=155;<br> 2)C(5,2)+C(7,2)+C(10,2)=10+21+45=76;<br> 3)155+76=231=<img width=80 height=48src="1_2pic/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1044" align="middle"></p> <p>求r<sub>1</sub>个1，r<sub>2</sub>个2，…，r<sub>t</sub>个t的排列数，设r<sub>1</sub>+r<sub>2</sub>+…+r<sub>t</sub>=n,设此排列数为P(n;r<sub>1</sub>,r<sub>2</sub>,…,r<sub>t</sub>),对1，2，…，t分别加下标，得到 P(n；r<sub>1</sub>,r<sub>2</sub>,…,r<sub>t</sub>)·r<sub>1</sub>!·r<sub>2</sub>!·…·r<sub>t</sub>! = n! ∴P(n；r<sub>1</sub>,r<sub>2</sub>,…,r<sub>t</sub>)=<img width=65 height=44src="1_2pic/image004.gif" align="middle">=<img width=65 height=51src="1_2pic/image006.gif" align="middle"> </p><p>从n个中取r个的圆排列的排列数为 P(n,r)/r , 2≤r≤n 以4个元素为例<br> <object classid="clsid:D27CDB6E-AE6D-11cf-96B8-444553540000" codebase="http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=4,0,2,0" width="550" height="190"> <param name=movie value="1_2pic/1_2_1.swf"> <param name=quality value=high> <embed src="1_2pic/1_2_1.swf" quality=high pluginspage="http://www.macromedia.com/shockwave/download/index.cgi?P1_Prod_Version=ShockwaveFlash" type="application/x-shockwave-flash" width="550" height="190"> </embed> </object> </p><p>从n个中取r个的项链排列的排列数为P(n,r)/2r,3≤r≤n<br> 项链排列就是说排列的方法和项链一样,在圆排列的基础上，正面向上和反面向上两种方式放置各个数是同一个排列。<br> <b>[例]</b>下面两种方式实际上表示的都是3个元素的同一种排列。<br> <object classid="clsid:D27CDB6E-AE6D-11cf-96B8-444553540000" codebase="http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=4,0,2,0" width="250" height="130"> <param name=movie value="1_2pic/1_2_2.swf"> <param name=quality value=high> <embed src="1_2pic/1_2_2.swf" quality=high pluginspage="http://www.macromedia.com/shockwave/download/index.cgi?P1_Prod_Version=ShockwaveFlash" type="application/x-shockwave-flash" width="250" height="130"> </embed> </object> <br> <b>[例]</b>从[1,300]中取3个不同的数，使这3个数的和能被3整除，有多少种方案？<br> <b> [解]</b>将[1,300]分成3类：<br> A={i|i≡1(mod3)}={1,4,7,…,298},<br> B={i|i≡2(mod3)}={2,5,8,…,299},<br> C={i|i≡3(mod3)}={3,6,9,…,300}. <br> 要满足条件，有四种解法：1)3个数同属于A;2)3个数同属于B;3)3个数同属于C;4)A,B,C各取一数.<br> 故共有3C(100,3)+100<sup>3</sup>=485100+1000000=1485100</p><p><b>[例]</b>某车站有6个入口处，每个入口处每次只能进一人，一组9个人进站的方案有多少？<br> <b> [解]</b>一进站方案表示成：00011001010100 其中“0”表示人，“1”表示门框，其中“0”是不同元，“1”是相同元。给“1”n个门只用n-1个门框。任意进站方案可表示成上面14个元素的一个排列。<br> [解法1]标号可产生5!个14个元的全排列。故若设x为所求方案，则x·5!=14! ∴x=14!/5!=726485760<br> [解法2]在14个元的排列中先确定“1”的位置，有C(14,5)种选择，在确定人的位置，有9！种选择。故C(14,5)·9!即所求<br> [解法3]把全部选择分解成若干步，使每步宜于计算。不妨设9个人编成1至9号。1号有6种选择；2号除可有1号的所有选择外，还可（也必须）选择当与1号同一门时在1号的前面还是后面，故2号有7种选择；3号的选择方法同2号，故共有8种。以此类推，9号有14种选择。故所求方案为[6]<sup>9</sup></p></body></html>⌨️ 快捷键说明
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