📄 ex4.htm
字号:
<html><head><meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=gb2312"><title>第四章习题</title><meta name="GENERATOR" content="Microsoft FrontPage 3.0"><link rel="stylesheet" href="../style.css"></head><body><p><b>1.试证(4-2-2)对应关系是同构。</b></p><p><b>证：</b> 设G={a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,…,a<sub>n</sub>},指定G中任一元a<sub>i</sub>, 任意a<sub>j</sub>∈G，P<sub>i</sub>：a<sub>j</sub>→a<sub>j</sub>a<sub>i</sub>，则P<sub>i</sub>是G上的一个置换，即以G为目标集。P<sub>i</sub>=<img width=123 height=53 src="./ex4/image002.gif" align="middle">，<br>G的右正则表示f：a<sub>i</sub>→<img width=40 height=51 src="./ex4/image004.gif" align="middle">=P<sub>i</sub>。f是单射：a<sub>i</sub>≠a<sub>j</sub>，则P<sub>i</sub>≠P<sub>j</sub><br>f(a<sub>i</sub>a<sub>j</sub>)=<img width=188 height=51 src="./ex4/image006.gif" align="middle">=<img width=123 height=53 src="./ex4/image002.gif" align="middle"><img width=200 height=51 src="./ex4/image008.gif" align="middle">=f(a<sub>i</sub>)f(a<sub>j</sub>)<br>证毕。</p><p><b>2.试证对于有限群G的任一元素a,存在一整数r,使得a<sup>r</sup>=e.而且r必能整除g，g是群G的阶。</b></p><p><b>证：</b> 设|G|=g,则a,a<sup>2</sup>,a<sup>3</sup>,…,a<sup>g</sup>,a<sup>g+1</sup>中必有相同元。a<sup>k</sup>=a<sup>l</sup>,1≤k＜l≤g+1,a<sup>l-k</sup>=e.1≤l-k≤g<br>对于给定的a，存在最小的正整数r,a<sup>r</sup>=e.于是H={a,a<sup>2</sup>,…,a<sup>r</sup>(=e)}是G的子群，<br>若H≠G,则存在a<sub>1</sub>不属于H, 显然，H∩H<sub>a1</sub>=φ,|H+H<sub>a1</sub>|=2r若H+H<sub>a1</sub>=G,则2r=g,r|g，否则存在a<sub>2</sub>不属于H+H<sub>a1</sub>,H<sub>a2</sub>∩(H+H<sub>a1</sub>)=φ于是H+H<sub>a1</sub>+H<sub>a2</sub>+…+H<sub>ak</sub>=G,r(k+1)=g,r|g.<br>证毕。</p><p><b>3.试证下列函数对于运算f·g=f(g(x))是一个群。</b></p>f<sub>1</sub>(x)=x,f<sub>2</sub>(x)=<img width=16 height=41 src="./ex4/image010.gif" align="middle">,f<sub>3</sub>(x)=1-x,f<sub>4</sub>(x)=<img width=35 height=41 src="./ex4/image012.gif" align="middle">,f<sub>5</sub>(x)=<img width=35 height=41 src="./ex4/image014.gif" align="middle">,f<sub>6</sub>(x)=<img width=35 height=41 src="./ex4/image016.gif" align="middle">.<p><b>证：</b> (a)封闭性：f<sub>1</sub>·f<sub>i</sub>=f<sub>1</sub>(f<sub>i</sub>(x))=f<sub>i</sub>(x); f<sub>2</sub>·f<sub>3</sub>=f<sub>2</sub>(f<sub>3</sub>(x))=f<sub>2</sub>(1-x)=1/(1-x)=f<sub>4</sub>(x);同理一一列举可得任意f<sub>i</sub>都属于G;<br> (b)结合律成立：运算相当于把前面的计算结果带入到后面的函数中，对于该数学运算，运算的先后顺序与结果无关。结合律成立。<br> (c)存在单位元：e=f<sub>1</sub>;<br> (d)存在逆元素： f<sub>1</sub>=e; f<sub>2</sub>·f<sub>2</sub>=e; f<sub>3</sub>·f<sub>3</sub>=e;f<sub>4</sub>·f<sub>5</sub>=f<sub>5</sub>·f<sub>4</sub>=e; f<sub>6</sub>·f<sub>6</sub>=e;<br>满足群的条件，得证。</p><p><b>4.一正立方体的六个面用g,r,b,y四种颜色涂染，求其中两个面用色g,两个面用色y,其余一面用b,一面用r的方案数。</b></p><p><b>解：</b> 正6面体的转动群用面的置换表示：<br>面心-面心 ±90<sup>。</sup> (1)<sup>2</sup>(4)<sup>1</sup> 6个<br> 180<sup>。</sup> (1)<sup>2</sup>(2)<sup>2</sup> 3个<br>顶点-顶点 ±120<sup>。</sup> (3)<sup>2</sup> 8个<br>棱中-棱中 180<sup>。</sup> (2)<sup>3</sup> 6个<br>不动 (1)<sup>6</sup> 1个<br>P=[(g+r+b+y)<sup>6</sup>+6(g+r+b+y)<sup>2</sup>(g<sup>4</sup>+r<sup>4</sup>+b<sup>4</sup>+y<sup>4</sup>)+6(g<sup>2</sup>+r<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>)<sup>3</sup>+3(g+r+b+y)<sup>2</sup>(g<sup>2</sup>+r<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>)<sup>2</sup>+8(g<sup>3</sup>+r<sup>3</sup>+b<sup>3</sup>+y<sup>3</sup>)<sup>2</sup>]/24其中g<sup>2</sup>y<sup>2</sup>br的系数为[C(6,2)C(4,2)C(2,1)+3C(2,1)C(2,1)]/24=8</p><p><b>5.对一正六面体的八个顶点，用y和r两种颜色染色，使其中有5个顶点用色y,其余3个顶点用色r,求其方案数。</b></p><p><b>解：</b> 相当于4.7节中例2中求b<sup>5</sup>r<sup>3</sup>的系数，为[C(8,5)+8C(2,1)]/24=3</p><p><b>6.由b、r、g三种颜色的5颗珠子镶成的圆环，共有几种不同的方案?</b></p><p><b>解：</b> 正5边形的运动群<br>绕心转 ±72<sup>。</sup> (5)<sup>1</sup> 2个<br> ±144<sup>。</sup> (5)<sup>1</sup> 2个<br>翻转 180<sup>。</sup> (1)(2)<sup>2</sup> 5个<br>不动 (1)<sup>5</sup> 1个<br>不同方案数为m=(3<sup>5</sup>+4·3<sup>1</sup>+5·3<sup>3</sup>)/10=39</p><p><b>7.一个圆圈上有n个珠，用n种颜色对这n个珠子着色，要求颜色数目不少于n的方案数。</b></p><p><b>解：</b> 使重合的运动包括绕中心旋转和绕水平对称轴翻转共产生2n个置换群。n个球用n种颜色着色共有n!种不同方案。因此，所求方案数为n!/2n.</p><p><b>8.若已给两个r色的球，两个b色的球，用它装在正六面体的顶点，试问有多少不同的方案?</b></p><p><b>解：</b> 正六面体顶点的置换群见4.7例2，本题相当于用2个r,2个g,4个b色的球装在正六面体的8个顶点上。P=[(r+g+b)<sup>8</sup>+6(r<sup>4</sup>+g<sup>4</sup>+b<sup>4</sup>)<sup>2</sup>+9(r<sup>2</sup>+g<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>)<sup>4</sup>+8(r+g+b)<sup>2</sup>(r<sup>3</sup>+g<sup>3</sup>+b<sup>3</sup>)<sup>2</sup>]/24<br>其中r<sup>2</sup>g<sup>2</sup>b<sup>4</sup>的系数为[C(8,2)C(6,2)+9C(4,2)C(2,1)]/24=22</p><p><b>9.试说明S<sub>5</sub>群的不同格式及其个数。</b></p><p><b>解：</b> 5的拆分共有：00005,00014,00023, 00113,00122,01112,11111共七种，根据讲义4.4节定理1可得S<sub>5</sub>中：<br>(1)<sup>5</sup>共轭类有5!/5!=1个置换；<br>(1)<sup>3</sup>(2)<sup>1</sup>共轭类有5!/(3!2)=10个置换；<br>(1)<sup>1</sup>(2)<sup>2</sup>共轭类有5!/(2!2 )=15个置换；<br>(1)<sup>2</sup>(3)<sup>1</sup>共轭类有5!/(2!3)=20个置换；<br>(1)<sup>1</sup>(4)<sup>1</sup>共轭类有5!/4=30个置换；<br>(2)<sup>1</sup>(3)<sup>1</sup>共轭类有5!/(2·3)=20个置换；<br>(5)<sup>1</sup>共轭类有5!/5=24个置换；<br>∴共有不同格式7种，如上所示。</p><p><b>10.图4-1-1用两种颜色着色的问题，若考虑互换颜色使之一致的方案属同一类，问有多少不同的图象？</b></p><p><b>解：</b> 类似讲义4.4例2求：<br>(1)不换色<br> 不动 :p<sub>1</sub>=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)…(13)(14)(15)(16)<br> 逆时针转90<sup>。</sup>:p<sub>2</sub>=(1)(2)(3 4 5 6)(7 8 9 10)(11 12)(13 14 15 16)<br> 顺时针转90<sup>。</sup>:p<sub>3</sub>=(1)(2)(6 5 4 3)(10 9 8 7)(11 12)(16 15 14 13)<br> 转180<sup>。</sup>:p<sub>4</sub>=(1)(2)(3 5)(4 6)(7 9)(8 10)(11 12)(13 15)(14 16)<br>(2)换色<br> 不动 :p<sub>5</sub>=(1 2)(3 7)(4 8)(5 9)(6 10)(11 12)(13 14)(15 16)<br> 逆时针转90<sup>。</sup>:p<sub>6</sub>=(1 2)(3 8 5 10)(6 7 4 9)(11)(12)(16 15 14 13)<br> 顺时针转90<sup>。</sup>:p<sub>7</sub>=(1 2)(10 5 8 3)(9 4 7 6)(11)(12)(13 14 15 16)<br> 转180<sup>。</sup>:p<sub>8</sub>=(1 2)(3 9)(4 10)(5 7)(6 8)(11 12)(13)(14)(15)(16)<br>(16+2+2+4+0+2+2+4)/8=4(种方案)</p><p><b>11.在正四面体的每个面上都任意引一条高，有多少方案？</b></p><p><b>解：</b> 除了绕顶点-对面的中心轴旋转均不会产生不变的图象外,绕其他轴的旋转相当于正4面体的面3着色。参照讲义4.6例3可得不同的方案数为M=[3<sup>4</sup>+0·8·3<sup>2</sup>+3·3<sup>2</sup>]/12=9</p><p><b>12.一幅正方形的肖像与一个立方体的面一样大，6副相同的肖像贴在立方体的6个面上有多少种贴法？</b></p><p><b>解：</b> 除了绕面心—面心轴旋转任何度数均不会产生不变的图象外，绕其他轴的旋转都相当于正六面体的面4着色。参照讲义4.6例4可得不同的方案数为M=[4<sup>6</sup>+0·6·4<sup>3</sup>+0·3·4<sup>4</sup>+8·4<sup>2</sup>+6·4<sup>3</sup>]/24=192</p><p><b>13.凸多面体中与一个顶点相关的各面角之和与2π的差称为该顶点的欠角，证明凸多面体各顶点欠角之和为4π.</b></p><p><b>证：</b> 设V,S,E分别为顶点集，面集，边(棱)集。由欧拉定理 |V|+|S|－|E|=2.设a<sub>ij</sub>为与顶点v<sub>i</sub>，面s<sub>j</sub>为相关的面角，e<sub>j</sub>为s<sub>j</sub>的的边数，给定s<sub>j</sub>则<img width=115 height=40 src="./ex4/image018.gif" align="middle"><br>欠角和为<img width=261 height=165 src="./ex4/image020.gif" align="top"></p><p><b>14.足球由正5边形与正6边形相嵌而成。<br>(a)一个足球由多少块正5边形与正6边形组成？<br>(b)把一个足球所有的正6边形都着以黑色，正5边形则着以其它各色，每个5边形的着色都不同，有多少种方案？</b></p><p><b>解：</b> 5边形面心与体心连一直线从另一5边形面心穿出。该直线为对称轴。欠角=360<sup>。</sup>–(108<sup>。</sup>+2·120<sup>。</sup>)=12<sup>。</sup>;720<sup>。</sup>/12<sup>。</sup>=60(个顶点);60·3/2=90(条棱);60/5=12(个5边形);60·2/6=20(个6边形)<br>一个顶点通过一个转动可与任一顶点重合，重合的方式只有1种，故转动群的阶为60。因为5边形着色均不同，所以除不变置换的任意旋转都不会产生不变图象，12个5边形着不同颜色共12!种方案。所以共有12!/60=7983360种方案。</p><p><b>15.(a)本质上有多少种确实是2个输入端的布尔电路？写出其布尔表达式。(b)本质上有多少种确实是3个输入端的布尔电路？</b></p><p><b>解：</b> S<sub>2</sub>: (1)<sup>4</sup> <img width=89 height=48 src="./ex4/image022.gif" align="middle"><br> (1)<sup>2</sup>(2)<sup>1</sup><img width=89 height=48 src="./ex4/image024.gif" align="middle"><br>l=[2<sup>4</sup>+2<sup>3</sup>]/2=12其中包括0个输入端的2个，1个输入端的2个，故确实是2个输入端的布尔电路是8个。<br>S<sub>3</sub>: (1)<sup>8</sup> 1个；(1)<sup>2</sup>(3)<sup>2</sup> 2个；(1)<sup>4</sup>(2)<sup>2</sup> 3个l=[2<sup>8</sup>+2·2<sup>4</sup>+3·2<sup>6</sup>]/6=80，80－12=68,确实是3输入端的布尔电路本质上有68个。</p> <p><b>16.用8个相同的骰子垛成一个正6面体，有多少方案？</b></p><p><b>解：</b> 相当于正六面体每个角上放一个骰子。骰子按讲义4.6中关于正立方体的不同旋转均不会产生重合现象，共24种方案。因此本题相当于正六面体的顶点24着色。但绕顶点-顶点的对称轴旋转不会产生重合的图象。<br>参照习题11可得不同的方案数为M=[24<sup>6</sup>+6·24<sup>3</sup>+3·24<sup>4</sup>+0·8·24<sup>2</sup>+6·24<sup>3</sup>]/24=8011008</p><p><b>17.正六面体的6个面和8个顶点分别用红、蓝两种颜色的珠子嵌入。试问有多少种不同的方案数?(旋转使之一致的方案看作是相同的)。</b></p><p><b>解：</b> 本题相当于把讲义4.6例4例5合并起来,8个顶点6个面共14个元素的置换群。<br>面心-面心 ±90<sup>。</sup> (1)<sup>2</sup>(4)<sup>1</sup>(4)<sup>2</sup> 6个<br> 180<sup>。</sup> (1)<sup>2</sup>(2)<sup>2</sup>(2)<sup>4</sup> 3个<br>顶点-顶点 ±120<sup>。</sup> (3)<sup>2</sup>(1)<sup>2</sup>(3)<sup>2</sup> 8个<br>棱中-棱中 180<sup>。</sup> (2)<sup>3</sup>(2)<sup>4</sup> 6个<br>不动 (1)<sup>6</sup>(1)<sup>8</sup> 1个<br>[6·2<sup>5</sup>+3·2<sup>8</sup>+8·2<sup>6</sup>+6·2<sup>7</sup>+2<sup>14</sup>]/24 =776</p></body></html>⌨️ 快捷键说明
复制代码
Ctrl + C
搜索代码
Ctrl + F
全屏模式
F11
切换主题
Ctrl + Shift + D
显示快捷键
?
增大字号
Ctrl + =
减小字号
Ctrl + -