📄 4_6.htm
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<html><head><title>Untitled Document</title><meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=gb2312"><link rel="stylesheet" href="../style.css"></head><body bgcolor="#FFFFFF"><h1>4.6 举例</h1><p><b>[例1]</b>等边三角形的3个顶点用红，兰，绿3着色，有多少种方案？</p><p><b>[解]</b>在3维空间考虑，3顶点的置换群S<sub>3</sub>。<br> (3)<sup>1</sup> 2个; (1)<sup>1</sup>(2)<sup>1</sup> 3个; (1)<sup>3</sup> 1个;<br><i>l</i>=(2·3<sup>1</sup>+3·3<sup>2</sup>+3<sup>3</sup>)/6=10<br></p><p><b>[例2]</b>甲烷CH<sub>4</sub>的4个键任意用H,C<sub>1</sub>,CH<sub>3</sub>, C<sub>2</sub>H<sub>5</sub> 连接，有多少种方案？</p><p><b>[解]</b>CH<sub>4</sub>的结构是一个正4面体，C原子居于正4面体的中心。正4面体的转动群按转动轴分类：顶点-对面的中心：(1)(3) 8个；棱中-棱中： (2) 3个；不动：(1) 1个；<br>6条棱,每条棱看作一有向边，正向重合与反向重合共6·2=12个位置，故转动群的群元有12个。<br>l=[11·4<sup>2</sup>+4<sup>4</sup>]/12=[44+64]/3=36。</p><p><b>[例3]</b>3个输入端一个输出端的布尔电路有多少种实质上不同的结构？</p><p><b>[解]</b>3个变量的布尔函数形式上有2<sup>8</sup>=256个,但有的只是输入端的顺序不同.输入端的变换群是S<sub>3</sub>。输入端的电平取值共有000~111计8种。<br>输出 f：S<sub>3</sub>→H S<sub>3</sub>≌H<br>P<sub>j</sub>→h<sub>j</sub>=<img width=120 height=56 src="./4_6/image002.gif" align="middle"> i=0...7<br>P<sub>1</sub>=(1)(2)(3),h<sub>1</sub>=<img width=304 height=48 src="./4_6/image004.gif" align="middle"><br>(1)<sup>3</sup>(1)<sup>8</sup> 1个; (3)<sup>1</sup>(1)<sup>2</sup>(3)<sup>2</sup> 2个; (1)<sup>1</sup>(2)<sup>1</sup>(1)<sup>4</sup>(2)<sup>2</sup> 3个; <br>结构总数为[2<sup>8</sup>+2·2<sup>4</sup>+3·2<sup>6</sup>]/6=80<p><b>[例4]</b>正6面体的6个面分别用红，蓝两种颜色着色，有多少方案？</p><p><b>解：</b> 正6面体的转动群用面的置换表示：<br>面心-面心 ±90<sup>。</sup> (1)<sup>2</sup>(4)<sup>1</sup> 6个<br> 180<sup>。</sup> (1)<sup>2</sup>(2)<sup>2</sup> 3个<br>顶点-顶点 ±120<sup>。</sup> (3)<sup>2</sup> 8个<br>棱中-棱中 180<sup>。</sup> (2)<sup>3</sup> 6个<br>不动 (1)<sup>6</sup> 1个<br>[12·2<sup>3</sup>+3·2<sup>4</sup>+8·2<sup>2</sup>+2<sup>6</sup>]/24=10</p><p><b>[例5]</b>用2种颜色给正6面体的8个顶点着色，有多少方案？</p><p><b>解：</b> 用顶点的置换表示：<br>面心-面心 ±90<sup>。</sup> (4)<sup>2</sup> 6个<br> 180<sup>。</sup> (2)<sup>4</sup> 3个<br>顶点-顶点 ±120<sup>。</sup> (1)<sup>2</sup>(3)<sup>2</sup> 8个<br>棱中-棱中 180<sup>。</sup> (2)<sup>4</sup> 6个<br>不动 (1)<sup>8</sup> 1个<br>[17·2<sup>4</sup>+6·2<sup>2</sup>+2<sup>8</sup>]/24=[34+3+32]/3=23</p><p><b>[例6]</b>在正6面体的每个面上任意做一条对角线，有多少方案？</p><p><b>解：</b> 在每个面上做一条对角线的方式有2种，可参考面的2着色问题。但面心-面心的转动轴转±90<sup>。</sup>时，无不动图象。除此之外，都可比照面的2着色。所求方案数：<br>面心-面心 ±90<sup>。</sup> (1)<sup>2</sup>(4)<sup>1</sup> 6个 0(无不动图象)<br> 180<sup>。</sup> (1)<sup>2</sup>(2)<sup>2</sup> 3个 3·2<sup>4</sup><br>顶点-顶点 ±120<sup>。</sup> (3)<sup>2</sup> 8个 8·2<sup>2</sup><br>棱中-棱中 180<sup>。</sup> (2)<sup>3</sup> 6个 6·2<sup>3</sup><br>不动 (1)<sup>6</sup> 1个 2<sup>6</sup><br>[0+3·2<sup>4</sup>+8·2<sup>2</sup>+6·2<sup>3</sup>+2<sup>6</sup>]/24=[6+4+6+8]/3=8</p><p><b>[例7]</b>骰子的6个面分别有1,…,6点，有多少种不同的方案？</p><p><b>[解]</b><br>1) 6!个图象的目标集,只有单位元有6!个不动点(图象)其他23个群元不动点。由Burnside引理有[C<sub>1</sub>(e)]/24=6!/24=30个方案。C<sub>1</sub>(p<sub>1</sub>)=C<sub>1</sub>(p<sub>2</sub>)=…=C<sub>1</sub>(p<sub>23</sub>)=0<br>2) 2点,3点,6点各有两种取向<br><img width=484 height=60 src="./4_6/pic001.gif" align="middle"><br> 1点,4点,5点各有一种取向<br><img width=224 height=57 src="./4_6/pic002.gif" align="middle"><br>故应有30·2=240种方案。</p><p>为了解决正多面体及一些对称对面体的计算问题介绍下面的定理。<br><b>[定义]</b> 凸多面体与一个顶点相关的面角之和与360<sup>。</sup>的差称为该顶点的欠角。<br><b>[定理]</b>凸多面体各顶点欠角的和为720<sup>。</sup>(用欧拉定理证)</p><p>用正5边形搭成的正多面体:<br> (5-2)·180<sup>。</sup>/5=108<sup>。</sup>,360<sup>。</sup>-3·108<sup>。</sup>=36<sup>。</sup>。<br> 720<sup>。</sup>/36<sup>。</sup>=20(个顶点)<br> 一个顶点3条棱，重复度为2：20·3/2=30条棱<br> 一个顶点相关3个面,重复度为5：20·3/5=12个面</p><p>用正3角形搭成的面最多的正多面体:<br> 360<sup>。</sup>-5·60<sup>。</sup>=60<sup>。</sup>。<br> 720<sup>。</sup>/60<sup>。</sup>=12(个顶点)<br> 一个顶点关联5条棱,重复度为2：12·5/2=30条棱。<br> 一个顶点关联5个面,重复度为3：12·5/3=20个面</p><p>足球：<br> 欠角=360<sup>。</sup>–(108<sup>。</sup>+2·120<sup>。</sup>)=12<sup>。</sup><br> 720/12 =60(个顶点)<br> 60·3/2=90(条棱)<br> 60/5=12(个5边形)<br> 60·2/6=20(个6边形) (正20面体砍去12个顶点)</p></body></html>⌨️ 快捷键说明
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