📄 3_2.htm
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<html><head><meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=gb2312"><title>3_2</title><meta name="GENERATOR" content="Microsoft FrontPage 3.0"><link rel="stylesheet" href="../style.css"></head><body><p align="center"><b><font size="5">§2 容斥原理</font></b></p><p>最简单的记数问题是求有限集合A和B的并的元素数目.显然有:<br><b>[定理]</b> <img src="3_2_1.gif" align="top" vspace="-25" width="170"height="26"> (1)<br>即具有性质A或B的元素的个数等于具有性质A的元素个数与具有性质B的元素个数之和,减去同时具有性质A和B的元素个数.如下图: </p><p><img src="3_2_2.gif" width="279" height="150"> </p><p><b>[证]</b> </p><p><img src="3_2_3.gif" width="433" height="293"> </p><p><b>定理:</b>|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|－|A∩B|－|A∩C|－|B∩C|＋|A∩B∩C|</p><p><img src="3_2_4.gif" width="365" height="210"></p><p><b>[例]:</b> 一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。已知修这三门课的学生分别有170、130、120人；同时修 数学、物理两门课的学生45人；同时修数学、化学的20人；同时修物理化学的22人。同时修三门的3人。问这学 校共有多少学生？</p><p><b>[解]</b> 令:M为修数学的学生集合；<br> P 为修物理的学生集合；<br> C 为修化学的学生集合；<br><img src="3_2_5.gif" width="318" height="177"> </p><p><b>同理也可推出:</b> <br><img src="3_2_6.gif" width="304" height="106"><br>利用数学归纳法可得一般性定理:<br><b>定理:</b><br><img src="3_2_7.gif" width="302" height="74"> <br><b>[证]</b> 对n用归纳法。n=2时，等式成立。假设对n - 1，等式成立。对于n有:<br><img src="3_2_8.gif" width="464" height="248"><br>此定理的另外一种表达方式为:<br><b>[定理]</b> 设A<sub>1</sub>,A<sub>2</sub>,...,A<sub>n</sub>是有限集合,则:<br><img src="3_2_9.gif" width="248" height="149"> </p><p><b>[证]</b> 用数学归纳法证明:<br>已知n=2时,有|A<sub>1</sub>∪A<sub>2</sub>|=|A<sub>1</sub>|+|A<sub>2</sub>|-|A<sub>1</sub>∩A<sub>2</sub>|成立,假设当n=k-1时成立,即有:<br><img src="3_2_10.gif" width="321" height="121"><br><img src="3_2_11.gif" width="453" height="381"></p><p><img src="3_2_12.gif"><br>其中N是集合U的元素个数，即不属于A的元素个数等于集合的全体减去属于A的元素的个数。一般有：<br><img src="3_2_13.gif" alt="3_2_13.gif"><br>通常所说的容斥原理就是指(4)或(5)式.</p></body></html>⌨️ 快捷键说明
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