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<html><head><meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=gb2312"><title>§4 错排问题</title><meta name="GENERATOR" content="Microsoft FrontPage 3.0"><link rel="stylesheet" href="../style.css"></head><body><p align="center"><font size="4"><b>§4 错排问题</b></font></p><p>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;错排问题就是n个元素依次给以标号1,2,…,n。N个元素的全排列中,求每个元素都不在自己原来位置上的排列数。 设A<sub>i</sub>为数i在第i位上的全体排列,i=1,2,...,n.因数字i不动,故:<br>|A<sub>i</sub>|=(n-1)!,i=1,2,...,n.<br>同理<br>|A<sub>i</sub>∩A<sub>j</sub>|=(n-2)!,i,j=1,2,...n,i≠j.<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;........<br>每个元素都不在原来位置上的排列数为:<br><img src="3_4_1.gif" width="345" height="98"><br><b>[例1]</b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;数1,2,…,9的全排列中,求偶数在原来位置上,其余都不在原来位置的错排数目。<br><b>[解]</b>&nbsp;&nbsp;实际上是1,3,5,7,9五个数的错排问题,总数为:<br>5!-C(5,1)4!+C(5,2)3!-C(5,3)2!+C(5,4)1!-C(5,5)=44. </p><p><b>[例2]</b>&nbsp;&nbsp;在8个字母A,B,C,D,E,F,G,H的全排列中,求使A,C,E,G四个字母不在原来位置上的错排数目<br><b>[解]</b>&nbsp;&nbsp;8个字母的全排列中令A<sub>1</sub>,A<sub>2</sub>,A<sub>3</sub>,A<sub>4</sub>分别为表A,C,E,G 在原来位置上的排列,则:<br>|<span class="overline">A</span><sub>1</sub>∩<span class="overline">A</span><sub>2</sub>∩<spanclass="overline">A</span><sub>3</sub>∩<span class="overline">A</span><sub>4</sub>|<br>=8!-C(4,1)7!+C(4,2)6!-C(4,3)5!+C(4,4)4!=40320-20160+4320-480+24=24024. </p><p><b>[例3]</b>&nbsp;&nbsp;求8个字母A,B,C,D,E,F,G,H的全排列中只有4个元素不在原来位置上的排列数.<br><b>[解]</b>&nbsp;&nbsp;8个字母中只有4个不在原来的位置上,其余4个字母保持不动,相当于4个元素的错排, 其数目为:<br>4!(1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!)=9.<br>故8个字母的全排列中有4个不在原来位置上的排列数应为:C(8,4)×9=630.</p></body></html>

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