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包括使用修正Gram-Schmit算法实现QR分解

%     练习1：Toeplitz矩阵的LU分解及特征值问题
% ——gogomx—— 2005.5

clc;
clear;

temp=[100 1:49];
A=toeplitz(temp);			    % Toeplitz矩阵A


%%%%%%%%%%%%%%  计算A的LU分解  %%%%%%%%%%%%%%
[L,U]=my_lu(A);                 % 利用自编函数计算A的LU分解，结果为L，U
[L0,U0]=lu(A);                  % 利用Matlab自带函数计算A的LU分解,结果为L0，U0
%   简要分析：
%   结果表明，L0不为单位下三角矩阵，在第22行中，上三角部分出现了非零元素，
%   这种情况在后面的某些行中也出现了！
%   而用自编函数计算的结果则没有出现此问题，
%   并且前21行两函数计算的结果完全一致！
%   由此验证了自编函数的正确性和优越性^_^



%%%%%%%%%%%%%%  计算A的特征值问题  %%%%%%%%%%%%%%
[Vmax,Dmax]=my_max_eig(A);        % 利用自编函数计算A的幅度最大的特征值及对应的特征向量
[Vmax0,Dmax0]=eigs(A,1);          % 利用Matlab自带的函数计算A的幅度最大的特征值及对应的特征向量
%   简要分析：
%   结果表明算得的最大特征值均为968.12，
%   对应的特征向量也相等，正确性得以验证^_^

[Vmin,Dmin]=my_min_eig(A);        % 利用自编函数计算A的幅度最小的特征值及对应的特征向量
[Vmin0,Dmin0]=eigs(A,1,'SM');     % 利用Matlab自带的函数计算A的幅度最小的特征值及对应的特征向量
%   简要分析：
%   结果表明算得的最小特征值均为43.543，
%   对应的特征向量也相等，正确性得以验证^_^

[V,D]=eig(A);                     % 利用Matlab自带的函数计算A的所有特征值与特征向量
%   简要说明：
%   结果中D为所有特征值组成的对角矩阵，
%   V中的列向量为D中每一列的特征值所对应的特征向量。
%   观察V、D中的元素，可以进一步验证上述最大最小特征值计算的正确性^_^

disp('练习1运行完毕^_^');
disp('计算结果已存于Wokspace中，');
disp('请参阅本程序中的注释查看相关结果。');