ex3.m

包括使用修正Gram-Schmit算法实现QR分解

%     练习3：矩阵A的QR分解及最小二乘问题
% ——gogomx—— 2005.5

clc;
clear;

temp=[100 1:49];
B=toeplitz(temp);			    
A=B(:,1:25);                  % Toeplitz矩阵A
b=[1:49 100];


%%%%%%%%%%%%%%  计算A的QR分解  %%%%%%%%%%%%%%
[Q,R]=my_cgs_qr(A);           % 利用自编函数(修正Gram-Schmidt法)计算A的QR分解,A=QR,R为上三角阵,Q为对应的列正交矩阵
[Q0,R0]=qr(A);                % 利用Matlab自带函数计算A的QR分解,A=Q0*R0,R0为上三角阵,Q0为对应的酉矩阵
%   简要分析：
%   Matlab自带函数算出的Q0为m×m矩阵，R0为m×n矩阵；
%   自编函数算出的Q为m×n矩阵，R为n×n矩阵；
%   且Q=Q0(1:m,1:n),R=R0(1:n,1:n),（此时要求m>=n），
%   他们之间的这种关系也说明了自编函数的正确性^_^



%%%%%%%%%%%%%%  方程的最小二乘解问题  %%%%%%%%%%%%%%
Ab=[A,b'];                    % 构造增广矩阵Ab
[Q1,R1]=my_cgs_qr(Ab);        % 增广矩阵Ab的QR分解,R1为上三角阵,Q1为对应的酉矩阵

RR=R1(1:25,1:25);             % 构造系数矩阵RR
bb=R1(1:25,26);               % 构造列向量bb

x=(inv(RR))*bb;               % 解方程RR*x=bb即得所求的最小二乘解
x0=inv(A'*A)*A'*b';           % x0为使用左伪逆阵方法计算得到的最小二乘解，验证时使用
%   简要分析：
%   利用自编函数QR分解算出的结果为x；
%   使用前面学过的左伪逆阵方法算出的结果为x0；
%   结果表明x=x0, 由此可以验证此方法的正确性^_^


disp('练习3运行完毕^_^');
disp('计算结果已存于Wokspace中，');
disp('请参阅本程序中的注释查看相关结果。');