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C++与数据结构的一些常用算法

在回溯法中，上述引入的树被称为问题P的状态空间树；树T上任意一个结点被称为问题P的状态结点；树T上的任意一个叶子结点被称为问题P的一个解状态结点；树T上满足约束集D的全部约束的任意一个叶子结点被称为问题P的一个回答状态结点，它对应于问题P的一个解。 
【问题】 组合问题 
问题描述：找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。 
例如n=5，r=3的所有组合为： 
（1）1、2、3 （2）1、2、4 （3）1、2、5 
（4）1、3、4 （5）1、3、5 （6）1、4、5 
（7）2、3、4 （8）2、3、5 （9）2、4、5 
（10）3、4、5 
则该问题的状态空间为： 
E={（x1，x2，x3）∣xi∈S ，i=1，2，3 } 其中：S={1，2，3，4，5} 
约束集为： x1<x2<x3 
显然该约束集具有完备性。 
问题的状态空间树T： 

2、回溯法的方法 
对于具有完备约束集D的一般问题P及其相应的状态空间树T，利用T的层次结构和D的完备性，在T中搜索问题P的所有解的回溯法可以形象地描述为： 
从T的根出发，按深度优先的策略，系统地搜索以其为根的子树中可能包含着回答结点的所有状态结点，而跳过对肯定不含回答结点的所有子树的搜索，以提高搜索效率。具体地说，当搜索按深度优先策略到达一个满足D中所有有关约束的状态结点时，即“激活”该状态结点，以便继续往深层搜索；否则跳过对以该状态结点为根的子树的搜索，而一边逐层地向该状态结点的祖先结点回溯，一边“杀死”其儿子结点已被搜索遍的祖先结点，直到遇到其儿子结点未被搜索遍的祖先结点，即转向其未被搜索的一个儿子结点继续搜索。 
在搜索过程中，只要所激活的状态结点又满足终结条件，那么它就是回答结点，应该把它输出或保存。由于在回溯法求解问题时，一般要求出问题的所有解，因此在得到回答结点后，同时也要进行回溯，以便得到问题的其他解，直至回溯到T的根且根的所有儿子结点均已被搜索过为止。 
例如在组合问题中，从T的根出发深度优先遍历该树。当遍历到结点（1，2）时，虽然它满足约束条件，但还不是回答结点，则应继续深度遍历；当遍历到叶子结点（1，2，5）时，由于它已是一个回答结点，则保存（或输出）该结点，并回溯到其双亲结点，继续深度遍历；当遍历到结点（1，5）时，由于它已是叶子结点，但不满足约束条件，故也需回溯。 
3、回溯法的一般流程和技术 
在用回溯法求解有关问题的过程中，一般是一边建树，一边遍历该树。在回溯法中我们一般采用非递归方法。下面，我们给出回溯法的非递归算法的一般流程： 

在用回溯法求解问题，也即在遍历状态空间树的过程中，如果采用非递归方法，则我们一般要用到栈的数据结构。这时，不仅可以用栈来表示正在遍历的树的结点，而且可以很方便地表示建立孩子结点和回溯过程。 
例如在组合问题中，我们用一个一维数组Stack[ ]表示栈。开始栈空，则表示了树的根结点。如果元素1进栈，则表示建立并遍历（1）结点；这时如果元素2进栈，则表示建立并遍历（1，2）结点；元素3再进栈，则表示建立并遍历（1，2，3）结点。这时可以判断它满足所有约束条件，是问题的一个解，输出（或保存）。这时只要栈顶元素（3）出栈，即表示从结点（1，2，3）回溯到结点（1，2）。 
【问题】 组合问题 
问题描述：找出从自然数1，2，…，n中任取r个数的所有组合。 
采用回溯法找问题的解，将找到的组合以从小到大顺序存于a[0]，a[1]，…，a[r-1]中，组合的元素满足以下性质： 
（1） a[i+1]>a[i]，后一个数字比前一个大； 
（2） a[i]-i<=n-r+1。 
按回溯法的思想，找解过程可以叙述如下： 
首先放弃组合数个数为r的条件，候选组合从只有一个数字1开始。因该候选解满足除问题规模之外的全部条件，扩大其规模，并使其满足上述条件（1），候选组合改为1，2。继续这一过程，得到候选组合1，2，3。该候选解满足包括问题规模在内的全部条件，因而是一个解。在该解的基础上，选下一个候选解，因a[2]上的3调整为4，以及以后调整为5都满足问题的全部要求，得到解1，2，4和1，2，5。由于对5不能再作调整，就要从a[2]回溯到a[1]，这时，a[1]=2，可以调整为3，并向前试探，得到解1，3，4。重复上述向前试探和向后回溯，直至要从a[0]再回溯时，说明已经找完问题的全部解。按上述思想写成程序如下： 
【程序】 
# define MAXN 100 
int a[MAXN]; 
void comb(int m,int r) 
{ int i,j; 
i=0; 
a[i]=1; 
do { 
if (a[i]-i<=m-r+1 
{ if (i==r-1) 
{ for (j=0;j<r;j++) 
printf(“%4d”,a[j]); 
printf(“\n”); 
} 
a[i]++; 
continue; 
} 
else 
{ if (i==0) 
return; 
a[--i]++; 
} 
} while (1) 
} 

main() 
{ comb(5,3); 
} 
【问题】 填字游戏 
问题描述：在3×3个方格的方阵中要填入数字1到N（N≥10）内的某9个数字，每个方格填一个整数，似的所有相邻两个方格内的两个整数之和为质数。试求出所有满足这个要求的各种数字填法。 
可用试探发找到问题的解，即从第一个方格开始，为当前方格寻找一个合理的整数填入，并在当前位置正确填入后，为下一方格寻找可填入的合理整数。如不能为当前方格找到一个合理的可填证书，就要回退到前一方格，调整前一方格的填入数。当第九个方格也填入合理的整数后，就找到了一个解，将该解输出，并调整第九个的填入的整数，寻找下一个解。 
为找到一个满足要求的9个数的填法，从还未填一个数开始，按某种顺序（如从小到大的顺序）每次在当前位置填入一个整数，然后检查当前填入的整数是否能满足要求。在满足要求的情况下，继续用同样的方法为下一方格填入整数。如果最近填入的整数不能满足要求，就改变填入的整数。如对当前方格试尽所有可能的整数，都不能满足要求，就得回退到前一方格，并调整前一方格填入的整数。如此重复执行扩展、检查或调整、检查，直到找到一个满足问题要求的解，将解输出。 
回溯法找一个解的算法： 
{ int m=0,ok=1; 
int n=8; 
do{ 
if (ok) 扩展; 
else 调整; 
ok=检查前m个整数填放的合理性; 
} while ((!ok||m!=n)&&(m!=0)) 
if (m!=0) 输出解; 
else 输出无解报告； 
} 
如果程序要找全部解，则在将找到的解输出后，应继续调整最后位置上填放的整数，试图去找下一个解。相应的算法如下： 
回溯法找全部解的算法： 
{ int m=0,ok=1; 
int n=8; 
do{ 
if (ok) 
{ if (m==n) 
{ 输出解； 
调整； 
} 
else 扩展; 
} 
else 调整; 
ok=检查前m个整数填放的合理性; 
} while (m!=0); 
} 
为了确保程序能够终止，调整时必须保证曾被放弃过的填数序列不会再次实验，即要求按某种有许模型生成填数序列。给解的候选者设定一个被检验的顺序，按这个顺序逐一形成候选者并检验。从小到大或从大到小，都是可以采用的方法。如扩展时，先在新位置填入整数1，调整时，找当前候选解中下一个还未被使用过的整数。将上述扩展、调整、检验都编写成程序，细节见以下找全部解的程序。 
【程序】 
# include <stdio.h> 
# define N 12 
void write(int a[ ]) 
{ int i,j; 
for (i=0;i<3;i++) 
{ for (j=0;j<3;j++) 
printf(“%3d”,a[3*i+j]); 
printf(“\n”); 
} 
scanf(“%*c”); 
} 

int b[N+1]; 
int a[10]; 
int isprime(int m) 
{ int i; 
int primes[ ]={2,3,5,7,11,17,19,23,29,-1}; 
if (m==1||m%2=0) return 0; 
for (i=0;primes[i]>0;i++) 
if (m==primes[i]) return 1; 
for (i=3;i*i<=m;) 
{ if (m%i==0) return 0; 
i+=2; 
} 
return 1; 
} 

int checkmatrix[ ][3]={ {-1},{0,-1},{1,-1},{0,-1},{1,3,-1}, 
{2,4,-1},{3,-1},{4,6,-1},{5,7,-1}}; 
int selectnum(int start) 
{ int j; 
for (j=start;j<=N;j++) 
if (b[j]) return j 
return 0; 
} 

int check(int pos) 
{ int i,j; 
if (pos<0) return 0; 
for (i=0;(j=checkmatrix[pos][i])>=0;i++) 
if (!isprime(a[pos]+a[j]) 
return 0; 
return 1; 
} 

int extend(int pos) 
{ a[++pos]=selectnum(1); 
b[a][pos]]=0; 
return pos; 
} 

int change(int pos) 
{ int j; 
while (pos>=0&&(j=selectnum(a[pos]+1))==0) 
b[a[pos--]]=1; 
if (pos<0) return –1 
b[a[pos]]=1; 
a[pos]=j; 
b[j]=0; 
return pos; 
} 

void find() 
{ int ok=0,pos=0; 
a[pos]=1; 
b[a[pos]]=0; 
do { 
if (ok) 
if (pos==8) 
{ write(a); 
pos=change(pos); 
} 
else pos=extend(pos); 
else pos=change(pos); 
ok=check(pos); 
} while (pos>=0) 
} 

void main() 
{ int i; 
for (i=1;i<=N;i++) 
b[i]=1; 
find(); 
} 
【问题】 n皇后问题 
问题描述：求出在一个n×n的棋盘上，放置n个不能互相捕捉的国际象棋“皇后”的所有布局。 
这是来源于国际象棋的一个问题。皇后可以沿着纵横和两条斜线4个方向相互捕捉。如图所示，一个皇后放在棋盘的第4行第3列位置上，则棋盘上凡打“×”的位置上的皇后就能与这个皇后相互捕捉。 

1 2 3 4 5 6 7 8 
× × 
× × × 
× × × 
× × Q × × × × × 
× × × 
× × × 
× × 
× × 
从图中可以得到以下启示：一个合适的解应是在每列、每行上只有一个皇后，且一条斜线上也只有一个皇后。 
求解过程从空配置开始。在第1列至第m列为合理配置的基础上，再配置第m+1列，直至第n列配置也是合理时，就找到了一个解。接着改变第n列配置，希望获得下一个解。另外，在任一列上，可能有n种配置。开始时配置在第1行，以后改变时，顺次选择第2行、第3行、…、直到第n行。当第n行配置也找不到一个合理的配置时，就要回溯，去改变前一列的配置。得到求解皇后问题的算法如下： 
{ 输入棋盘大小值n； 
m=0; 
good=1; 
do { 
if (good) 
if (m==n) 
{ 输出解； 
改变之，形成下一个候选解; 
} 
else 扩展当前候选接至下一列； 
else 改变之，形成下一个候选解； 
good=检查当前候选解的合理性；