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C++与数据结构的一些常用算法

【问题】 组合问题 
问题描述：找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5，r=3的所有组合为： （1）5、4、3 （2）5、4、2 （3）5、4、1 
（4）5、3、2 （5）5、3、1 （6）5、2、1 
（7）4、3、2 （8）4、3、1 （9）4、2、1 
（10）3、2、1 
分析所列的10个组合，可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时，其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字，约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中，当一个组合求出后，才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k，函数将确定组合的第一个数字放入数组后，有两种可能的选择，因还未去顶组合的其余元素，继续递归去确定；或因已确定了组合的全部元素，输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。 
【程序】 
# include <stdio.h> 
# define MAXN 100 
int a[MAXN]; 
void comb(int m,int k) 
{ int i,j; 
for (i=m;i>=k;i--) 
{ a[k]=i; 
if (k>1) 
comb(i-1,k-1); 
else 
{ for (j=a[0];j>0;j--) 
printf(“%4d”,a[j]); 
printf(“\n”); 
} 
} 
} 

void main() 
{ a[0]=3; 
comb(5,3); 
} 
【问题】 背包问题 
问题描述：有不同价值、不同重量的物品n件，求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案，使选中物品的总重量不超过指定的限制重量，但选中物品的价值之和最大。 
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1，物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案，并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ]，该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案，其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品，现在要考虑第i件物品；当前方案已包含的物品的重量之和为tw；至此，若其余物品都选择是可能的话，本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时，继续考察当前方案变成无意义的工作，应终止当前方案，立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时，该方案不会被再考察，这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 
对于第i件物品的选择考虑有两种可能： 
（1） 考虑物品i被选择，这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后，继续递归去考虑其余物品的选择。 
（2） 考虑物品i不被选择，这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。 
按以上思想写出递归算法如下： 
try(物品i，当前选择已达到的重量和，本方案可能达到的总价值tv) 
{ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ 
if(包含物品i是可以接受的) 
{ 将物品i包含在当前方案中； 
if (i<n-1) 
try(i+1,tw+物品i的重量,tv); 
else 
/*又一个完整方案，因为它比前面的方案好，以它作为最佳方案*/ 
以当前方案作为临时最佳方案保存; 
恢复物品i不包含状态； 
} 
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ 
if (不包含物品i仅是可男考虑的) 
if (i<n-1) 
try(i+1,tw,tv-物品i的价值)； 
else 
/*又一个完整方案，因它比前面的方案好，以它作为最佳方案*/ 
以当前方案作为临时最佳方案保存; 
} 
为了理解上述算法，特举以下实例。设有4件物品，它们的重量和价值见表： 
物品 0 1 2 3 
重量 5 3 2 1 
价值 4 4 3 1 

并设限制重量为7。则按以上算法，下图表示找解过程。由图知，一旦找到一个解，算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解，算法不会在该分支继续查找，而是立即终止该分支，并去考察下一个分支。 

按上述算法编写函数和程序如下： 
【程序】 
# include <stdio.h> 
# define N 100 
double limitW,totV,maxV; 
int option[N],cop[N]; 
struct { double weight; 
double value; 
}a[N]; 
int n; 
void find(int i,double tw,double tv) 
{ int k; 
/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/ 
if (tw+a[i].weight<=limitW) 
{ cop[i]=1; 
if (i<n-1) find(i+1,tw+a[i].weight,tv); 
else 
{ for (k=0;k<n;k++) 
option[k]=cop[k]; 
maxv=tv; 
} 
cop[i]=0; 
} 
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/ 
if (tv-a[i].value>maxV) 
if (i<n-1) find(i+1,tw,tv-a[i].value); 
else 
{ for (k=0;k<n;k++) 
option[k]=cop[k]; 
maxv=tv-a[i].value; 
} 
} 

void main() 
{ int k; 
double w,v; 
printf(“输入物品种数\n”); 
scanf((“%d”,&n); 
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); 
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) 
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v); 
a[k].weight=w; 
a[k].value=v; 
totV+=V; 
} 
printf(“输入限制重量\n”); 
scanf(“%1f”,&limitV); 
maxv=0.0; 
for (k=0;k<n;k++) cop[k]=0; 
find(0,0.0,totV); 
for (k=0;k<n;k++) 
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); 
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); 
} 
作为对比，下面以同样的解题思想，考虑非递归的程序解。为了提高找解速度，程序不是简单地逐一生成所有候选解，而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解，一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况：当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制，该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的；反之，该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地，仅当物品不被包括在候选解中，还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时，才去考虑该物品不被包括在候选解中；反之，该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案，程序就去进一步考虑下一个物品。 
【程序】 
# include <stdio.h> 
# define N 100 
double limitW; 
int cop[N]; 
struct ele { double weight; 
double value; 
} a[N]; 
int k,n; 
struct { int flg; 
double tw; 
double tv; 
}twv[N]; 
void next(int i,double tw,double tv) 
{ twv[i].flg=1; 
twv[i].tw=tw; 
twv[i].tv=tv; 
} 
double find(struct ele *a,int n) 
{ int i,k,f; 
double maxv,tw,tv,totv; 
maxv=0; 
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) 
totv+=a[k].value; 
next(0,0.0,totv); 
i=0; 
While (i>=0) 
{ f=twv[i].flg; 
tw=twv[i].tw; 
tv=twv[i].tv; 
switch(f) 
{ case 1: twv[i].flg++; 
if (tw+a[i].weight<=limitW) 
if (i<n-1) 
{ next(i+1,tw+a[i].weight,tv); 
i++; 
} 
else 
{ maxv=tv; 
for (k=0;k<n;k++) 
cop[k]=twv[k].flg!=0; 
} 
break; 
case 0: i--; 
break; 
default: twv[i].flg=0; 
if (tv-a[i].value>maxv) 
if (i<n-1) 
{ next(i+1,tw,tv-a[i].value); 
i++; 
} 
else 
{ maxv=tv-a[i].value; 
for (k=0;k<n;k++) 
cop[k]=twv[k].flg!=0; 
} 
break; 
} 
} 
return maxv; 
} 

void main() 
{ double maxv; 
printf(“输入物品种数\n”); 
scanf((“%d”,&n); 
printf(“输入限制重量\n”); 
scanf(“%1f”,&limitW); 
printf(“输入各物品的重量和价值\n”); 
for (k=0;k<n;k++) 
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value); 
maxv=find(a,n); 
printf(“\n选中的物品为\n”); 
for (k=0;k<n;k++) 
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1); 
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv); 
} 

五、回溯法 
回溯法也称为试探法，该方法首先暂时放弃关于问题规模大小的限制，并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。如果当前候选解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一个解。在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回溯。扩大当前候选解的规模，以继续试探的过程称为向前试探。 
1、回溯法的一般描述 
可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：对于已知的由n元组（x1，x2，…，xn）组成的一个状态空间E={（x1，x2，…，xn）∣xi∈Si ，i=1，2，…，n}，给定关于n元组中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。其中Si是分量xi的定义域，且 |Si| 有限，i=1，2，…，n。我们称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一个解。 
解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全部约束，若满足，则为问题P的一个解。但显然，其计算量是相当大的。 
我们发现，对于许多问题，所给定的约束集D具有完备性，即i元组（x1，x2，…，xi）满足D中仅涉及到x1，x2，…，xi的所有约束意味着j（j<i）元组（x1，x2，…，xj）一定也满足D中仅涉及到x1，x2，…，xj的所有约束，i=1，2，…，n。换句话说，只要存在0≤j≤n-1，使得（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及到x1，x2，…，xj的约束之一，则以（x1，x2，…，xj）为前缀的任何n元组（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）一定也违反D中仅涉及到x1，x2，…，xi的一个约束，n≥i>j。因此，对于约束集D具有完备性的问题P，一旦检测断定某个j元组（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及x1，x2，…，xj的一个约束，就可以肯定，以（x1，x2，…，xj）为前缀的任何n元组（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不会是问题P的解，因而就不必去搜索它们、检测它们。回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算法。 
回溯法首先将问题P的n元组的状态空间E表示成一棵高为n的带权有序树T，把在E中求问题P的所有解转化为在T中搜索问题P的所有解。树T类似于检索树，它可以这样构造： 
设Si中的元素可排成xi(1) ，xi(2) ，…，xi(mi-1) ，|Si| =mi，i=1，2，…，n。从根开始，让T的第I层的每一个结点都有mi个儿子。这mi个儿子到它们的双亲的边，按从左到右的次序，分别带权xi+1(1) ，xi+1(2) ，…，xi+1(mi) ，i=0，1，2，…，n-1。照这种构造方式，E中的一个n元组（x1，x2，…，xn）对应于T中的一个叶子结点，T的根到这个叶子结点的路径上依次的n条边的权分别为x1，x2，…，xn，反之亦然。另外，对于任意的0≤i≤n-1，E中n元组（x1，x2，…，xn）的一个前缀I元组（x1，x2，…，xi）对应于T中的一个非叶子结点，T的根到这个非叶子结点的路径上依次的I条边的权分别为x1，x2，…，xi，反之亦然。特别，E中的任意一个n元组的空前缀（），对应于T的根。 
因而，在E中寻找问题P的一个解等价于在T中搜索一个叶子结点，要求从T的根到该叶子结点的路径上依次的n条边相应带的n个权x1，x2，…，xn满足约束集D的全部约束。在T中搜索所要求的叶子结点，很自然的一种方式是从根出发，按深度优先的策略逐步深入，即依次搜索满足约束条件的前缀1元组（x1i）、前缀2元组（x1，x2）、…，前缀I元组（x1，x2，…，xi），…，直到i=n为止。