题目要求.txt

输油管道问题

某石油公司计划建造一条由东向西的主输油管道。该管道要穿过一个有n口油井的油田。从每口油井都要有一条输油管道沿最短路经(或南或北)与主管道相连。如果给定n口油井的位置,即它们的x坐标（东西向）和y坐标（南北向）,应如何确定主管道的最优位置,即使各油井到主管道之间的输油管道长度总和最小的位置?证明可在线性时间内确定主管道的最优位置
给定n口油井的位置,编程计算各油井到主管道之间的输油管道最小长度总和。
    由文件input.txt提供输入数据。文件的第1行是油井数n，1≤n≤10000。接下来n行是油井的位置，每行2个整数x和y，-10000≤x，y≤10000。
    程序运行结束时，将计算结果输出到文件output.txt中。文件的第1行中的数是油井到主管道之间的输油管道最小长度总和。
 
由题意易得本题x对结果毫无影响，不必考虑。假设铺油管道y坐标为k，则结果为所 有|yi-k|的和，所以问题就在于求k。而中位数这点就是最小代价点。证明：假设中间点不为最小代价点，而为第k点，(1<=k<n/2+1)或者(n/2+1<k<=n)，因为对称性，证明前半段即可。k包含了非给定点。先令K为n/2+1的最临近点。原前半段代价为s1，后半段代价为s2。当n为奇数时，k=n/2。那么前半段变为s1-(n/2)x,后半段变为s2+(n/2+1)x,总代价和变为s1+s2+x ，因为x>0，所以代价变大。当n为偶数时，k=n/2-1(因为n/2与n/2+1为等价中位数。)那么前半段变为s1-(n/2-1)x,后半段变为s2+(n/2)x,总代价和变为s1+s2+x ，因为x>0，所以代价变大。以此将往下递推至k=1，代价不断变大，这与k为最小代价点相矛盾。n/2+1<k<=n时同理可证。所以最小代价点为中位数。问题转化为求中位数。算法采用平均情况下的线性时间选择算法。