📄 5_3_1.htm
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<TABLE borderColor=#c0c0c0 borderColorDark=#008080 width="100%" bgColor=#c0c0c0
borderColorLight=#c0c0c0 background=5_3_1.files/0713.jpg border=1>
<TBODY>
<TR>
<TD width="100%"><B><FONT color=#ff0000
size=3>5.3计算积分
<A
href="http://www.math.sjtu.edu.cn/mathematica教程/index.htm"><IMG height=61
src="5_3_1.files/0009.gif" width=65
border=0></A></FONT></B></TD></TR></TBODY></TABLE>
<P style="LINE-HEIGHT: 200%"><FONT color=#0000ff size=3><B>1.不定积分</B></FONT></P>
<P style="LINE-HEIGHT: 200%"><FONT face=新宋体 size=2><FONT
color=#008000>在Mathematica中计算不
定积分命令为Integerate[f,x],当然也可使用工具栏直接输入不定积分式。来求函数的不定积分。当然并不是所有的不定积分都能求出来。例如若求</FONT><FONT
lang=ZH-CN face=宋体 size=2><IMG height=29 src="5_3_1.files/Image113.gif"
width=81></FONT><FONT color=#008000> Mathematica就无能为力。</FONT></FONT></P><FONT
lang=ZH-CN face=宋体 size=2>
<P align=center><IMG height=130 src="5_3_1.files/Image114.gif"
width=478></P></FONT>
<P><FONT color=#008000
size=2>但对于一些手工计算相当复杂的不定积分，MatheMatica还是能轻易求得，例如求</FONT><FONT lang=ZH-CN face=宋体
size=2><IMG height=46 src="5_3_1.files/Image115.gif" width=93></P>
<P align=center><IMG height=160 src="5_3_1.files/Image116.gif"
width=483></P></FONT>
<P><FONT color=#008000 size=2>积分变量的形式也可以是一函数，例如</FONT></P><FONT lang=ZH-CN
face=宋体 size=2>
<P align=center><IMG height=128 src="5_3_1.files/Image117.gif"
width=427></P></FONT>
<P style="LINE-HEIGHT: 200%"><FONT color=#008000
size=2>输入命令也可求得正确结果。对于在函数中出现的除积分变量外的函数，统统当作常数处理，请看下面例子。</FONT></P><FONT
lang=ZH-CN face=宋体 size=2>
<P align=center><IMG height=147 src="5_3_1.files/Image118.gif"
width=435></P></FONT>
<P><FONT color=#0000ff><B>2.定积分</B></FONT></P>
<P><FONT color=#008000
size=2>定积分的求解主要命令也是用Integrate只是要在命令中加入积分限Integrate[f,{x,min,max}]</FONT></P>
<P><FONT size=2><FONT color=#008000>或者使用式具栏输入也可以。例如求</FONT><FONT lang=ZH-CN
face=宋体><IMG height=34 src="5_3_1.files/Image119.gif" width=69>
</FONT></FONT></P><FONT lang=ZH-CN face=宋体 size=2>
<P align=center><IMG height=147 src="5_3_1.files/Image120.gif"
width=435></P></FONT>
<P><FONT size=2><FONT color=#008000>显然这条命令也可以求广义积分例如：求</FONT><FONT lang=ZH-CN
face=宋体><IMG height=45 src="5_3_1.files/Image121.gif" width=86>
</FONT></FONT></P><FONT lang=ZH-CN face=宋体 size=2>
<P align=center><IMG height=147 src="5_3_1.files/Image122.gif"
width=435></P></FONT><FONT color=#008000 size=3>
<P>求无穷积也可以例如</FONT><FONT lang=ZH-CN face=宋体 size=2><IMG height=41
src="5_3_1.files/Image123.gif" width=61></P>
<P align=center><IMG height=114 src="5_3_1.files/Image124.gif"
width=412></P></FONT>
<P><FONT color=#008000 size=2>如果广义积发散也能给出结果，例如</FONT></P><FONT lang=ZH-CN
face=宋体 size=2>
<P align=center><IMG height=114 src="5_3_1.files/Image125.gif"
width=412></P></FONT>
<P><FONT color=#008000 size=2>如果无法判定敛散性，就用给出一个提示，例如</FONT></P><FONT lang=ZH-CN
face=宋体 size=2>
<P align=center><IMG height=195 src="5_3_1.files/Image126.gif"
width=456></P></FONT>
<P><FONT size=2><FONT
color=#008000>如果广义积分敛散性与某个符号的取值有关，它也能给出在不同情况下的积分结果例如</FONT><FONT lang=ZH-CN
face=宋体><IMG height=41 src="5_3_1.files/Image127.gif" width=62>
</FONT></FONT></P><FONT lang=ZH-CN face=宋体 size=2>
<P align=center><IMG height=195 src="5_3_1.files/Image128.gif"
width=456></P></FONT>
<P style="LINE-HEIGHT: 200%"><FONT color=#008000
size=2>结果的意义是当|p|>1时，积分值为1/1-p,否则不收敛。在Integrate中可加两个参数Assumptions 和
GenerateConditions例如上例中，只要用Assumptions->{Re[p]>1}就可以得到收敛情况的解</FONT></P><FONT
lang=ZH-CN face=宋体 size=2>
<P align=center><IMG height=156 src="5_3_1.files/Image129.gif"
width=463></P></FONT>
<P><FONT lang=ZH-CN face=宋体 color=#0000ff size=3>3.数值积分</FONT></P>
<P style="LINE-HEIGHT: 200%"><FONT lang=ZH-CN face=宋体 size=2><FONT
color=#008000> </FONT><FONT
color=#008000>数值积分是解决求定积分的另一种有效的方法，它可以给出一个近似解。特别是对于用Integrate命令无法求出的定积分，数值积分更是可以发挥巨大作用。
</FONT></FONT></P><FONT lang=ZH-CN face=宋体 size=2>
<P><FONT lang=ZH-CN face=宋体 color=#0000ff size=2>它的命令格式为 </FONT></P><FONT
color=#0000ff size=3>
<DIV align=center>
<CENTER>
<TABLE borderColorDark=#ffffff width=629 borderColorLight=#ff00ff
background=5_3_1.files/0522.gif border=1>
<TBODY>
<TR>
<TD width=308>
<P><FONT color=#0000ff size=3>Nintegrate[f,{x,a,b}] </FONT></P></TD>
<TD width=305>
<P><FONT color=#0000ff size=3>在[a,b]上求f数值积分 </FONT></P></TD></TR>
<TR>
<TD width=308>
<P><FONT color=#0000ff size=3>Nintegrate[f,{x,a,x1,x2,…,b}] </FONT></P></TD>
<TD width=305>
<P><FONT color=#0000ff size=3>以x1,x2….为分割求[a,b]上的数值积分 </FONT></P></TD></TR>
<TR>
<TD width=308>
<P><FONT color=#0000ff size=3>Nintegrate[f,{x,a,b},MaxRecursion->n]
</FONT></P></TD>
<TD width=305>
<P><FONT color=#0000ff size=3>求数值积分时指定迭代次数n.
</FONT></P></TD></TR></TBODY></TABLE></CENTER></DIV></FONT></FONT>
<P style="LINE-HEIGHT: 200%"><FONT lang=ZH-CN face=宋体 color=#808000
size=2>
下面我们求Sinsinx在[0,Pi]上的积分值，由于这个函数的不定积分求不出，因此使用Integrate命令无法得到具体结果，但可以用数值积分求</FONT></P><FONT
lang=ZH-CN face=宋体 size=2>
<P align=center><IMG height=146 src="5_3_1.files/Image130.gif"
width=467></P></FONT>
<P><FONT lang=ZH-CN size=2><FONT face=宋体 color=#808000>
</FONT><FONT face=宋体><FONT color=#808000
size=3>如果积分函数存在不连续点，或存在奇点我们可对积分进行分段求解。例如函数</FONT><IMG height=46
src="5_3_1.files/Image131.gif" width=40></FONT><FONT face=宋体
color=#808000>在</FONT><FONT lang=ZH-CN color=#808000 size=3>[-1</FONT><FONT
color=#808000 size=3>，</FONT><FONT lang=ZH-CN color=#808000
size=3>1]</FONT><FONT color=#808000 size=3>上，显然</FONT><FONT lang=ZH-CN
color=#808000 size=3>x=0</FONT><FONT color=#808000 size=3>点是一</FONT></FONT></P>
<P><FONT lang=ZH-CN size=2><FONT color=#808000
size=3>个无穷间断点。因此若要求其数值积分，必须在其中插入点</FONT><FONT lang=ZH-CN color=#808000
size=3>0</FONT></FONT></P><FONT lang=ZH-CN face=宋体 size=2>
<P align=center><IMG height=267 src="5_3_1.files/Image132.gif" width=529></P>
<P><FONT color=#808000>对无穷积分，也可求数值积分，例如。</FONT></P>
<P align=center><IMG height=104 src="5_3_1.files/Image133.gif"
width=450></P></FONT>
<P align=right><A
href="http://www.math.sjtu.edu.cn/mathematica教程/5.2.1.htm"><IMG height=15
src="5_3_1.files/0171.gif" width=20 border=0></A> <A
href="http://www.math.sjtu.edu.cn/mathematica教程/6.1.1.htm"><IMG height=15
src="5_3_1.files/0173.gif" width=20 border=0></A></P></BODY></HTML>
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