📄 6_1_1.htm
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<TABLE borderColor=#c0c0c0 borderColorDark=#008080 width="104%" bgColor=#c0c0c0
borderColorLight=#c0c0c0 background=6_1_1.files/0713.jpg border=1>
<TBODY>
<TR>
<TD width="100%"><FONT face=新宋体 color=#ff0000
size=4><B>6．1微分方程解
<A href="http://www.math.sjtu.edu.cn/mathematica教程/index.htm"><IMG
height=61 src="6_1_1.files/0009.gif" width=65
border=0></A></B></FONT></TD></TR></TBODY></TABLE><FONT lang=ZH-CN face=宋体
color=#808000 size=3>
<P style="LINE-HEIGHT: 200%"> </FONT><FONT lang=ZH-CN face=宋体
color=#808000
size=2>在Mathematica中使用Dsolove[]可以求解线性和非线性微分方程，以及联立的微分分方程组。在没有给定方程的初值条件下，我们所得到的解包括C[1],C[2]是待定系数。求解微分方程就是寻找未知的函数的表达式，在Mathematica中，未稳中有降函数用y[x]表示，其微分用y'[x],y''[x]等表示。</FONT></P>
<P><FONT lang=ZH-CN face=宋体 color=#0000ff size=2>下面给 出微分方程（组）的求解函数。</FONT></P>
<DIV align=center>
<CENTER>
<TABLE borderColorDark=#ffffff width=489 borderColorLight=#ff00ff
background=6_1_1.files/0522.gif border=1>
<TBODY>
<TR>
<TD width=311>
<P><FONT lang=ZH-CN face=宋体 color=#000080 size=3>Dsolve[eqn,y[x],x]
</FONT></P></TD>
<TD width=162>
<P><FONT lang=ZH-CN face=宋体 color=#000080 size=3>求解微分方程y[x]
</FONT></P></TD></TR>
<TR>
<TD width=311>
<P><FONT lang=ZH-CN face=宋体 color=#000080 size=3>Dsolve[eqn,y,x]
</FONT></P></TD>
<TD width=162>
<P><FONT lang=ZH-CN face=宋体 color=#000080 size=3>求解微分方程函数y
</FONT></P></TD></TR>
<TR>
<TD width=311>
<P><FONT lang=ZH-CN face=宋体 color=#000080
size=3>Dsolve[{eqn1,eqn2,…},{y1,y2,….},x] </FONT></P></TD>
<TD width=162>
<P><FONT lang=ZH-CN face=宋体 color=#000080 size=3>求解微分方程组
</FONT></P></TD></TR></TBODY></TABLE></CENTER></DIV><FONT color=#0000ff>
<P><B><FONT size=3>1．用Dsolve求解微分方程y[x]</FONT></B></P></FONT><FONT lang=ZH-CN
face=宋体 size=2>
<P align=center><IMG height=244 src="6_1_1.files/Image134.gif"
width=437></P></FONT><FONT color=#808000 size=3>
<P style="LINE-HEIGHT: 200%"> </FONT><FONT color=#808000
size=2>解y[x]仅适合其本身，并不适合于y[x]的其它形式，如y’[x]，y[0]等，也就是说y[x]不是函数，例如我们如果有如下操作，y’[x],y[0]并没有发生变化.</FONT></P><FONT
lang=ZH-CN face=宋体 size=2>
<P align=center><IMG height=243 src="6_1_1.files/Image135.gif"
width=413></P></FONT><FONT color=#0000ff>
<P><B>2</B></FONT><FONT lang=ZH-CN face=宋体
color=#0000ff><B>．解的纯函数形式</B></P></FONT>
<P><FONT lang=ZH-CN face=宋体 color=#808000
size=2>使用Dsolve命令可以给出解的纯函数形式，即y,请分析下面的例子</FONT></P><FONT lang=ZH-CN face=宋体
size=2>
<P align=center><IMG height=301 src="6_1_1.files/Image136.gif"
width=447></P></FONT>
<P><FONT lang=ZH-CN face=宋体 color=#808000
size=2>这里y适合y的所有情况下面的例子可以说明这一点</FONT></P><FONT lang=ZH-CN face=宋体 size=2>
<P align=center><IMG height=172 src="6_1_1.files/Image137.gif"
width=400></P></FONT><FONT color=#808000 size=3>
<P style="LINE-HEIGHT: 200%"></FONT><FONT lang=ZH-CN face=宋体 color=#808000
size=3> </FONT><FONT lang=ZH-CN face=宋体 color=#808000
size=2>在标准数学表达式中，直接引入亚变量表示函数自变量，用此方法可以生成微分方程的解。如果需要的只是解的符号形式，引入这样来变量很方便。然而，如果想在其他的的计算中使用该结果，那么最好使用不带亚变量的纯函数形式的结果。</FONT></P><FONT
lang=ZH-CN face=宋体 color=#808000 size=3><FONT color=#0000ff>
<P><B>3．求微分方程组</B></P></FONT></FONT>
<P><FONT lang=ZH-CN face=宋体 color=#808000 size=2>请分析下面的例子</FONT></P><FONT
lang=ZH-CN face=宋体 color=#808000 size=3><FONT lang=ZH-CN face=宋体 size=2>
<P align=center><IMG height=182 src="6_1_1.files/Image138.gif"
width=445></P></FONT></FONT>
<P><FONT lang=ZH-CN face=宋体 color=#808000 size=2>当然微分方程组也有纯函数形式。</FONT></P><FONT
lang=ZH-CN face=宋体 color=#808000 size=3><FONT lang=ZH-CN face=宋体 size=2>
<P align=center><IMG height=182 src="6_1_1.files/Image138.gif"
width=445></P><FONT color=#0000ff size=3>
<P>4</FONT><FONT lang=ZH-CN face=宋体 color=#0000ff
size=3>．带初始条件的微分方程的解</P></FONT></FONT></FONT>
<P><FONT lang=ZH-CN face=宋体 color=#008000
size=3>当给定一个微分方程的初始条件可以确定一个待定系数。请看下面的例子</FONT></P><FONT lang=ZH-CN face=宋体
size=2>
<P><IMG height=203 src="6_1_1.files/Image139.gif" width=465></P></FONT>
<P><FONT lang=ZH-CN face=宋体 color=#008000 size=2><FONT lang=ZH-CN
face=宋体>第二个例子由于给出一个初始条件所以只能确定</FONT>C[1].</FONT></P><FONT lang=ZH-CN face=宋体
size=2><FONT lang=ZH-CN face=宋体 color=#008000 size=2>
<P> </P></FONT></FONT>
<P><FONT lang=ZH-CN face=宋体 color=#0000ff size=3><B>5.<FONT lang=ZH-CN
face=宋体>进一步讨论 </FONT></B></FONT></P>
<P style="LINE-HEIGHT: 200%"><FONT lang=ZH-CN face=宋体 color=#808000
size=3> </FONT><FONT lang=ZH-CN face=宋体 color=#808000
size=2>对于简单的微分方程的解比较简单，对一些微分方程它的解就复杂的多。特别是对一些微分方程组或高阶微分方程，不一定能得具体的解，其解中可能含有一些特殊函数。并且很多特殊函数的提出就是为了解这些方程的如:</FONT></P><FONT
lang=ZH-CN face=宋体 size=2>
<P align=center><IMG height=332 src="6_1_1.files/Image140.gif" width=459></P>
<P> </P></FONT>
<P style="LINE-HEIGHT: 200%"><FONT lang=ZH-CN face=宋体 color=#808000
size=3> </FONT><FONT lang=ZH-CN face=宋体 color=#808000 size=2><FONT
lang=ZH-CN
face=宋体>上面三个方程中分别使用了三种类型的函数，可以查看系统帮助了解他们的性质和含义。对于非线性微分方程，仅有一些特殊的情况可用标准数学函数得到解。</FONT>Dsolve<FONT
lang=ZH-CN face=宋体>能够处理所有在标准数学手册有解的非线性微分方程。</FONT>例如：</FONT></P><FONT lang=ZH-CN
face=宋体 color=#808000 size=3><FONT lang=ZH-CN face=宋体 size=2>
<P align=center><IMG height=229 src="6_1_1.files/Image141.gif"
width=463></P></FONT></FONT>
<P><FONT lang=ZH-CN face=宋体 color=#808000
size=2>可以看出第二个方程的解已经非常复杂。</FONT></P><SUB><FONT lang=ZH-CN face=宋体 size=2>
<P> </P></FONT></SUB>
<P align=right><A
href="http://www.math.sjtu.edu.cn/mathematica教程/5.3.1.htm"><IMG height=15
src="6_1_1.files/0171.gif" width=20 border=0></A> <A
href="http://www.math.sjtu.edu.cn/mathematica教程/6.2.1.htm"><IMG height=15
src="6_1_1.files/0173.gif" width=20 border=0></A></P></BODY></HTML>
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