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<html>

<head>
<title> 高阶常微分方程式 </title>
</head>

<body BACKGROUND="../img1/bg0000.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img/bg0000.gif">
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<font COLOR="#0000FF">

<h1>10.4 高阶常微分方程式</h1>
</font>

<hr>

<p>一个高阶常微分方程式可以利用变数改变<font FACE="Times New Roman">(change 
of variables) </font>方式改写成个一组联立的一阶常微分方程式。 
例如以下的 <font FACE="Times New Roman"><i>n</i> </font>阶方程式 </p>

<p><img SRC="../img10/img00014.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img10/img00014.gif" WIDTH="177" HEIGHT="25"> </p>

<p>我们先定义 <font FACE="Times New Roman"><i>n</i> </font>个新的变数来取代上式中的 
<img SRC="../img10/img00015.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img10/img00015.gif" WIDTH="106" HEIGHT="24"> </p>

<p><img SRC="../img10/img00016.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img10/img00016.gif" WIDTH="92" HEIGHT="124"> </p>

<p>将上述的新变数代入原 <font FACE="Times New Roman">ODE</font>，连同这些新变数即构成一组联立的一阶常微分方程式 
</p>

<p><img SRC="../img10/img00017.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img10/img00017.gif" WIDTH="189" HEIGHT="121"> </p>

<p>我们接者以一个二阶 <font FACE="Times New Roman">ODE </font>为例说明上述的过程 
</p>

<p><img SRC="../img10/img00018.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img10/img00018.gif" WIDTH="209" HEIGHT="25"> </p>

<p>我们须要定义 </p>

<p><img SRC="../img10/img00019.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img10/img00019.gif" WIDTH="148" HEIGHT="22"> </p>

<p>将上述的二变数代入原 <font FACE="Times New Roman">ODE</font>，即构成一组联立的一阶常微分方程式 
</p>

<p><img SRC="../img10/img00020.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img10/img00020.gif" WIDTH="246" HEIGHT="48"><br>
</p>

<p>以下即是上述二阶 <font FACE="Times New Roman">ODE </font>的解法： </p>

<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">function u_prime =eqns2(x,u)</font> </p>

<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">u_prime(1) = u(1)*(1-u(2)^2) - u(2);</font> 
</p>

<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">u_prime(2) = u(1); <br>
</font></p>

<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">initial = [0 0.25];</font> </p>

<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">[x,num_y] = ode23('eqns2',0,20,initial);</font> 
</p>

<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">subplot(2,1,1), plot(x,num_y(:,1))</font> </p>

<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">title('1st derivative of y'), xlabel('x'), 
grid</font> </p>

<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">subplot(2,1,2), plot(x,num_y(:,2))</font> </p>

<p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">title('y'), xlabel('x'), grid</font></p>

<hr>
<a HREF="ch10_3.htm" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/ch10_3.htm">

<p><img SRC="../img1/lastpage.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img/lastpage.gif" BORDER="0" WIDTH="42" HEIGHT="42"></a> <a HREF="../chapter11/ch11.htm" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/ch11.htm"><img SRC="../img1/nextpage.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img/nextpage.gif" BORDER="0" HSPACE="10" WIDTH="42" HEIGHT="42"></a> <a HREF="../index.html" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/index.html"><img SRC="../img1/outline.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img/outline.gif" BORDER="0" HSPACE="6" WIDTH="42" HEIGHT="42"></a><br>
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