rs.ps

reed-solomon编码的java实现

.654(k)A
0 4 rm
f93 sf
.508<29>A
0 -4 rm
.593(*)A
0 4 rm
(.)S
gR
gS 47 761 481 13 rC
gR
gS 11 725 553 49 rC
257 771 :M
f135 sf
.898 .09(Page )J
f148 sf
.637(11)A
gR
endp
showpage
%%Page: 12 12
%%BeginPageSetup
initializepage
(Benjamin Barras; page: 12 of 24)setjob
%%EndPageSetup
gS 0 0 576 820 rC
47 46 481 728 rC
47 46 481 714 rC
gR
gS 11 10 553 750 rC
47 65 :M
f161 sf
5.388 .539(4.1 )J
f174 sf
24 u174 :p
262.12 :m
14.686 1.469(Equation fondamentale)J
95 103 :M
f93 sf
2.941 .294(Il nous reste encore \210 calculer l\(x\). Pour cela, on fait usage )J
47 122 :M
3.572 .357(de la relation fondamentale suivante :)J
173 165 :M
f122 sf
4.092 .409(l\(x\) . s\(x\) = w\(x\) + u\(x\) . x)J
0 -4 rm
3.414(2t)A
0 4 rm
47 205 :M
f93 sf
3.439 .344(Comme l\325on travaille dans GF\(2)J
f187 sf
0 -4 rm
.734(k)A
0 4 rm
f93 sf
2.555 .255(\), on peut l\325\216crire sous la forme)J
173 248 :M
f122 sf
3.969 .397(l\(x\) . s\(x\) + u\(x\) . x)J
0 -4 rm
1.707(2t)A
0 4 rm
4.638 .464( = w\(x\))J
47 286 :M
f93 sf
3.009 .301(On peut voir cette \216quation comme la relation de Bezout avec des )J
47 305 :M
5.743 .574(nombres, soit)J
236 343 :M
.361 .036(v . b + u . a = w)J
47 381 :M
2.451 .245(o\235 a et b sont des nombres donn\216s, et w est le plus grand diviseur )J
47 400 :M
5.757 .576(commun des nombres a et b. u et v sont deux nombres qui )J
47 419 :M
5.562 .556(satisfont cette relation. Notre \216quation ci-dessus est identique, )J
47 438 :M
2.717 .272(sauf qu\325elle s\325applique \210 des polyn\231me. )J
47 457 :M
1.994 .199(On pose b = s\(x\), a = x)J
f148 sf
0 -3 rm
.543(2t)A
0 3 rm
f93 sf
3.04 .304( et on applique l\325algorithme d\325Euclide pour )J
47 476 :M
5.608 .561(trouver u\(x\),l\(x\),w\(x\), et les racines de l\(x\) sont utilis\216es pour )J
47 495 :M
3.87 .387(trouver la position de l\325erreur. Soit b)J
f148 sf
0 2 rm
.385(i)A
0 -2 rm
f93 sf
3.062 .306( une racine de l\(x\), la valeur )J
47 516 :M
2.659 .266(de l\325erreur \210 la position p)J
f148 sf
0 2 rm
.297(i)A
0 -2 rm
f93 sf
2.782 .278( se calcule de la mani\217re suivante :)J
47 556 :M
1.279(e)A
f148 sf
0 2 rm
.365(i)A
0 -2 rm
f93 sf
2.433 .243( = w\(b)J
f148 sf
0 2 rm
.365(i)A
0 -2 rm
f93 sf
2.053 .205(\) / l\325\(b)J
f148 sf
0 2 rm
.365(i)A
0 -2 rm
f93 sf
2.929 .293(\)   o\235 l\325\(x\) est la d\216riv\216e du polyn\231me l\(x\).)J
47 596 :M
5.648 .565(En fait, l\325algorithme d\325Euclide ne donne pas l\(x\),v\(x\),w\(x\) mais )J
47 615 :M
2.542 .254(K.l\(x\), K.v\(x\), K.w\(x\), c\325est-\210-dire \210 une constante K pr\217s. Mais pour )J
47 634 :M
2.867 .287(trouver les racines de l\(x\), qu\325on aie l\(x\) ou K.l\(x\) cela nous donne )J
47 653 :M
3.61 .361(le m\220me r\216sultat, et comme la valeur de l\325erreur est calcul\216e par )J
47 672 :M
4.285 .428(le rapport K.w\(b)J
f148 sf
0 2 rm
.347(i)A
0 -2 rm
f93 sf
2.509 .251(\) / K.l\325\(b)J
f148 sf
0 2 rm
.347(i)A
0 -2 rm
f93 sf
3.352 .335(\), on obtient le bon r\216sultat.)J
gR
gS 47 761 481 13 rC
gR
gS 11 725 553 49 rC
257 771 :M
f135 sf
.898 .09(Page )J
f148 sf
.637(12)A
gR
endp
showpage
%%Page: 13 13
%%BeginPageSetup
initializepage
(Benjamin Barras; page: 13 of 24)setjob
%%EndPageSetup
gS 0 0 576 820 rC
47 46 481 728 rC
47 46 481 714 rC
gR
gS 11 10 553 750 rC
47 65 :M
f161 sf
5.504 .55(4.2 )J
f174 sf
24 u174 :p
244.959 :m
14.451 1.445(Algorithme d\325Euclide)J
83 103 :M
f93 sf
3.702 .37(On rappelle ici, le principe de l\325algorithme d\325Euclide appliqu\216 )J
47 122 :M
.918 .092(\210 l\325\216quation v . b + u . a = w.)J
47 179 :M
1.72 .172(I\) )J
77 179 :M
f234 sf
14.56 u234 :p
93 :m
1.305(Initialisation)A
76 217 :M
f93 sf
1.762(q)A
f148 sf
0 2 rm
1.258(0)A
0 -2 rm
f93 sf
2.029 .203( = -)J
189 217 :M
.78(r)A
f148 sf
0 2 rm
.931(0)A
0 -2 rm
f93 sf
1.728 .173( = a)J
302 217 :M
1.203(u)A
f148 sf
0 2 rm
.859(0)A
0 -2 rm
f93 sf
2.466(=1)A
416 217 :M
1.557(v)A
f148 sf
0 2 rm
1.236(0)A
0 -2 rm
f93 sf
3.549(=0)A
76 238 :M
1.762(q)A
f148 sf
0 2 rm
1.258(1)A
0 -2 rm
f93 sf
2.029 .203( = -)J
189 238 :M
.917(r)A
f148 sf
0 2 rm
1.095(1)A
0 -2 rm
f93 sf
2.032 .203( = b)J
302 238 :M
1.203(u)A
f148 sf
0 2 rm
.859(1)A
0 -2 rm
f93 sf
2.466(=0)A
416 238 :M
1.557(v)A
f148 sf
0 2 rm
1.236(1)A
0 -2 rm
f93 sf
3.549(=1)A
47 278 :M
2.323 .232(II\) )J
77 278 :M
f234 sf
14.56 u234 :p
78 :m
1.729 .173(Calcul de q)J
77 316 :M
f93 sf
4.478 .448(On divise r)J
161 318 :M
f148 sf
1.394(i-1)A
f93 sf
0 -2 rm
4.92 .492( par r)J
0 2 rm
224 318 :M
f148 sf
.474(i)A
f93 sf
0 -2 rm
3.776 .378(, ce qui nous donne un quotient q et un )J
0 2 rm
47 337 :M
3.051 .305(reste r, soit r)J
f148 sf
0 2 rm
.654(i-1)A
0 -2 rm
f93 sf
1.474 .147( = q . r)J
f148 sf
0 2 rm
.392(i)A
0 -2 rm
f93 sf
2.328 .233( + r et on pose q)J
f148 sf
0 2 rm
.801(i+1)A
0 -2 rm
f93 sf
1.59 .159( = q. )J
47 377 :M
2.839 .284(III\) )J
77 377 :M
f234 sf
14.56 u234 :p
51 :m
.546(Calculs)A
77 415 :M
f93 sf
1.343(r)A
f148 sf
0 2 rm
1.309(i+1)A
0 -2 rm
f93 sf
2.477 .248( = r)J
f148 sf
0 2 rm
1.067(i-1)A
0 -2 rm
f93 sf
2.429 .243( - q)J
f148 sf
0 2 rm
1.309(i+1)A
0 -2 rm
f93 sf
1.962 .196( . r)J
f148 sf
0 2 rm
(i)S
0 -2 rm
77 436 :M
f93 sf
1.586(u)A
f148 sf
0 2 rm
.925(i+1)A
0 -2 rm
f93 sf
2.016 .202( = u)J
f148 sf
0 2 rm
.754(i-1)A
0 -2 rm
f93 sf
1.717 .172( - q)J
f148 sf
0 2 rm
.925(i+1)A
0 -2 rm
f93 sf
1.652 .165( . u)J
f148 sf
0 2 rm
(i)S
0 -2 rm
77 457 :M
f93 sf
1.805(v)A
f148 sf
0 2 rm
1.171(i+1)A
0 -2 rm
f93 sf
2.467 .247( = v)J
f148 sf
0 2 rm
.955(i-1)A
0 -2 rm
f93 sf
2.173 .217( - q)J
f148 sf
0 2 rm
1.171(i+1)A
0 -2 rm
f93 sf
2.006 .201( . v)J
f148 sf
0 2 rm
(i)S
0 -2 rm
47 497 :M
f93 sf
2.579 .258(IV\) )J
77 497 :M
f234 sf
14.56 u234 :p
33 :m
1.562(Test)A
77 535 :M
f93 sf
3.41 .341(Si r)J
f148 sf
0 2 rm
1.032(i+1)A
0 -2 rm
f93 sf
4.26 .426( est diff\216rent de 0, on incr\216mente i et on retourne au )J
47 556 :M
2.374 .237(point II, et si  r)J
f148 sf
0 2 rm
.834(i+1)A
0 -2 rm
f93 sf
4.075 .408( = 0 l\325agorithme est termin\216.)J
47 596 :M
1.269 .127(On a alors,)J
47 634 :M
1.287 .129(a\)  r)J
f148 sf
0 2 rm
.287(i)A
0 -2 rm
f93 sf
2.446 .245( est le plus grand diviseur commun entre a et b. )J
47 655 :M
.916 .092(b\)  r)J
f148 sf
0 2 rm
.204(i)A
0 -2 rm
f93 sf
.88 .088( = v)J
f148 sf
0 2 rm
.204(i)A
0 -2 rm
f93 sf
.828 .083( . b + u)J
f148 sf
0 2 rm
.204(i)A
0 -2 rm
f93 sf
.895 .089( . a.)J
47 695 :M
3.001 .3(En fait, la relation b\) est valable pour tout i.)J
gR
gS 47 761 481 13 rC
gR
gS 11 725 553 49 rC
257 771 :M
f135 sf
.898 .09(Page )J
f148 sf
.637(13)A
gR
endp
showpage
%%Page: 14 14
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initializepage
(Benjamin Barras; page: 14 of 24)setjob
%%EndPageSetup
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47 46 481 728 rC
47 46 481 714 rC
gR
gS 11 10 553 750 rC
47 65 :M
f161 sf
5.163 .516(4.3 )J
f174 sf
24 u174 :p
305.436 :m
15.483 1.548(Reed-Solomon algorithme)J
83 103 :M
f93 sf
4.026 .403(L\325algorithme de d\216codage des codes de Reed-Solomon sera )J
47 122 :M
2.717 .272(le suivant :)J
47 160 :M
f122 sf
4.061(1\))A
76 160 :M
f93 sf
3.178 .318(Calcul du polyn\231me syndrome s\(x\).)J
76 198 :M
1.563 .156(Si s\(x\) = 0, il n\325y a pas d\325erreurs : )J
f122 sf
.988(STOP)A
f93 sf
(.)S
47 236 :M
f122 sf
4.061(2\))A
76 236 :M
f93 sf
3.738 .374(On applique l\325algorithme d\325Euclide avec)J
76 276 :M
3.094 .309(a\(x\) = x)J
f187 sf
0 -4 rm
.921(2t)A
0 4 rm
f93 sf
2.903 .29( et b\(x\) = s\(x\).)J
76 314 :M
3.036 .304(L\325algorithme se termine d\217s que  le degr\216 de r)J
f148 sf
0 2 rm
.321(i)A
0 -2 rm
f93 sf
2.208 .221(\(x\) est < t.)J
76 335 :M
1.861 .186(Si r)J
f148 sf
0 2 rm
.275(i)A
0 -2 rm
f93 sf
1.698 .17(\(x\) = 0, il y a plus que t erreurs : )J
f122 sf
1.183(STOP)A
f93 sf
(.)S
47 375 :M
f122 sf
4.061(3\))A
76 375 :M
f93 sf
1.724 .172(On pose L\(x\) = K . l\(x\) = v)J
f148 sf
0 2 rm
.255(i)A
0 -2 rm
f93 sf
.775(\(x\).)A
76 396 :M
1.888 .189(On cherche toutes les racines de L\(x\) : b)J
f148 sf
0 2 rm
.504(1)A
0 -2 rm
f93 sf
1.133 .113(, ..., b)J
f148 sf
0 2 rm
.302(r)A
0 -2 rm
f93 sf
(.)S
47 438 :M
f122 sf
4.061(4\))A
76 438 :M
f93 sf
3.83 .383(Pour chaque racine b)J
f148 sf
0 2 rm
.319(i)A
0 -2 rm
f93 sf
.84 .084( =  )J
f221 sf
1.222(a)A
f187 sf
0 -4 rm
.383(j)A
0 4 rm
f93 sf
2.638 .264(, la position p)J
f148 sf
0 2 rm
.319(i)A
0 -2 rm
f93 sf
2.861 .286( de l\325erreur est)J
76 480 :M
1.487(p)A
f148 sf
0 2 rm
.424(i)A
0 -2 rm
f93 sf
1.657 .166( = q - j - 1 = 2)J
f187 sf
0 -4 rm
1.147(k)A
0 4 rm
f93 sf
1.579 .158( - j - 1.)J
47 520 :M
f122 sf
4.061(5\))A
76 520 :M
f93 sf
1.577 .158(On pose W\(x\) = K . w\(x\) = r)J
f148 sf
0 2 rm
.22(i)A
0 -2 rm
f93 sf
1.706 .171(\(x\). )J
76 541 :M
2.762 .276(La valeur de l\325erreur \210 la position p)J
f148 sf
0 2 rm
.306(i)A
0 -2 rm
f93 sf
3.043 .304( est donn\216e par)J
76 581 :M
1.227(e)A
f148 sf
0 2 rm
.35(i)A
0 -2 rm
f93 sf
2.523 .252( = W\(b)J
f148 sf
0 2 rm
.35(i)A
0 -2 rm
f93 sf
2.233 .223(\) / L\325\(b)J
f148 sf
0 2 rm
.35(i)A
0 -2 rm
f93 sf
1.984 .198(\) = K . w\(b)J
f148 sf
0 2 rm
.35(i)A
0 -2 rm
f93 sf
1.698 .17(\) / K . l\325\(b)J
f148 sf
0 2 rm
.35(i)A
0 -2 rm
f93 sf
2.52 .252(\) = w\(b)J
f148 sf
0 2 rm
.35(i)A
0 -2 rm
f93 sf
1.97 .197(\) / l\325\(b)J
f148 sf
0 2 rm
.35(i)A
0 -2 rm
f93 sf
1.348(\).)A
76 621 :M
2.937 .294(La nouvelle valeur \210 la position p)J
f148 sf
0 2 rm
.301(i)A
0 -2 rm
f93 sf
2.401 .24( sera alors c)J
f148 sf
0 2 rm
.301(i)A
0 -2 rm
f93 sf
1.34 .134( = d)J
f148 sf
0 2 rm
.301(i)A
0 -2 rm
f93 sf
1.34 .134( + e)J
f148 sf
0 2 rm
.301(i)A
0 -2 rm
f93 sf
(.)S
47 680 :M
3.091 .309(On \216value toujours un polyn\231me ainsi que sa d\216riv\216e \210 l\325aide d\325un )J
47 699 :M
2.908 .291(sch\216ma d\325Horner, et ceci afin de minimiser le nombre de calculs.)J
gR
gS 47 761 481 13 rC
gR
gS 11 725 553 49 rC
257 771 :M
f135 sf
.898 .09(Page )J
f148 sf
.637(14)A
gR
endp
showpage
%%Page: 15 15
%%BeginPageSetup
initializepage
(Benjamin Barras; page: 15 of 24)setjob
%%EndPageSetup
gS 0 0 576 820 rC
47 46 481 728 rC
47 46 481 714 rC
gR
gS 11 10 553 750 rC
47 65 :M
f161 sf
5.029 .503(4.4 )J
f174 sf
24 u174 :p
204.624 :m
13.527 1.353(Sch\216ma d\325Horner)J
95 103 :M
f93 sf
2.905 .291(On donne ici, le sch\216ma d\325Horner pour \216valuer un polyn\231me )J
47 122 :M
2.458 .246(et sa d\216riv\216e \210 une valeur donn\216e.)J
47 160 :M
2.876 .288(Soit p\(x\) =  a)J
f148 sf
0 2 rm
1.083(n)A
0 -2 rm
.492 .049( )J
f93 sf
2.399 .24(. x)J
175 157 :M
f148 sf
.48(n)A
f93 sf
0 3 rm
.892 .089( + a)J
0 -3 rm
209 162 :M
f148 sf
1.161(n-1)A
0 -2 rm
.609 .061( )J
0 2 rm
f93 sf
0 -2 rm
2.97 .297(. x)J
0 2 rm
251 157 :M
f148 sf
.591(n-1)A
f93 sf
0 3 rm
1.261 .126( + ... + a)J
0 -3 rm
f148 sf
0 5 rm
.683(1)A
0 -5 rm
0 3 rm
.31 .031( )J
0 -3 rm
f93 sf
0 3 rm
1.314 .131(. x + a)J
0 -3 rm
383 162 :M
f148 sf
.956(0)A
f93 sf
0 -2 rm
3.471 .347(, on d\216sire \216valuer )J
0 2 rm
47 181 :M
2.802 .28(notre polyn\231me et sa d\216riv\216e \210 x = )J
f221 sf
1.087(b)A
f93 sf
2.328 .233(, soit p\()J
f221 sf
1.087(b)A
f93 sf
2.084 .208(\) et p\325\()J
f221 sf
1.087(b)A
f93 sf
1.258(\).)A
47 238 :M
2.11(I\))A
77 238 :M
f234 sf
14.56 u234 :p
93 :m
1.305(Initialisation)A
76 276 :M
f93 sf
.656(b)A
f148 sf
0 2 rm
(n)S
0 -2 rm
101 276 :M
f93 sf
(=)S
124 276 :M
.073(a)A
f148 sf
0 2 rm
(n)S
0 -2 rm
76 297 :M
f93 sf
.073(a)A
f148 sf
0 2 rm
(n)S
0 -2 rm
101 297 :M
f93 sf
(=)S
124 297 :M
.656(b)A
f148 sf
0 2 rm
(n)S
0 -2 rm
76 318 :M
f93 sf
(k)S
101 318 :M
(=)S
124 318 :M
(n)S
47 356 :M
1.532(II\))A
77 356 :M
f234 sf
14.56 u234 :p
65 :m
1.551(It\216ration)A
76 394 :M
f93 sf
.715(b)A
f148 sf
0 2 rm
.46(k)A
0 -2 rm
f93 sf
.909 .091( = a)J
f148 sf
0 2 rm
.46(k)A
0 -2 rm
f93 sf
.638 .064( + )J
f221 sf
.679(b)A
f93 sf
.745 .074( . b)J
f148 sf
0 2 rm
.754(k+1)A
0 -2 rm
76 415 :M
f93 sf
1.401 .14(si k > 0 alors c)J
f148 sf
0 2 rm
.515(k)A
0 -2 rm
f93 sf
1.018 .102( = b)J
f148 sf
0 2 rm
.515(k)A
0 -2 rm
f93 sf
.714 .071( + )J
f221 sf
.76(b)A
f93 sf
.8 .08( . c)J
f148 sf
0 2 rm
.844(k+1)A
0 -2 rm
47 455 :M
f93 sf
1.34(III\))A
77 455 :M
f234 sf
14.56 u234 :p
63 :m
1.142(Contr\231le)A
77 493 :M
f93 sf
4.511 .451(Si k est diff\216rent de 0, on d\216cr\216mente k et on retourne au )J
47 512 :M
4.17 .417(point II, sinon l\325agorithme est termin\2