rs.ps

reed-solomon编码的java实现

0 -4 rm
.68(k)A
0 4 rm
f93 sf
2.082 .208(\), o\235 k est le nombre de bits par symbole. Soit )J
47 162 :M
1.781 .178(i\(x\) = c)J
f148 sf
0 2 rm
.675(m-1)A
0 -2 rm
.297 .03( )J
f93 sf
1.337 .134(. x)J
f148 sf
0 -3 rm
.675(m-1)A
0 3 rm
f93 sf
1.19 .119( + ... + c)J
f148 sf
0 2 rm
.654(1)A
0 -2 rm
.297 .03( )J
f93 sf
1.337 .134(. x)J
f148 sf
0 -3 rm
.654(1)A
0 3 rm
f93 sf
1.125 .113( + c)J
f148 sf
0 2 rm
(0)S
0 -2 rm
47 202 :M
f93 sf
4.827 .483(le polyn\231me d\325information, et soit)J
47 240 :M
2.185 .219(p\(x\) = c)J
f148 sf
0 2 rm
.56(2t-1)A
0 -2 rm
.328 .033( )J
f93 sf
1.478 .148(. x)J
f148 sf
0 -3 rm
.56(2t-1)A
0 3 rm
f93 sf
1.315 .132( + ... + c)J
f148 sf
0 2 rm
.723(1)A
0 -2 rm
.328 .033( )J
f93 sf
1.478 .148(. x)J
f148 sf
0 -3 rm
.723(1)A
0 3 rm
f93 sf
1.244 .124( + c)J
f148 sf
0 2 rm
(0)S
0 -2 rm
47 280 :M
f93 sf
3.173 .317(le polyn\231me de contr\231le, le code de Reed-Solomon sous sa forme )J
47 299 :M
4.973 .497(polyn\231miale sera alors)J
47 337 :M
1.809 .181(c\(x\) = i\(x\) . x)J
f148 sf
0 -3 rm
.536(2t)A
0 3 rm
f93 sf
1.589 .159( + p\(x\) = c)J
f148 sf
0 2 rm
.619(n-1)A
0 -2 rm
.325 .032( )J
f93 sf
1.462 .146(. x)J
f148 sf
0 -3 rm
.619(n-1)A
0 3 rm
f93 sf
1.301 .13( + ... + c)J
f148 sf
0 2 rm
.715(1)A
0 -2 rm
.325 .032( )J
f93 sf
1.462 .146(. x)J
f148 sf
0 -3 rm
.715(1)A
0 3 rm
f93 sf
1.23 .123( + c)J
f148 sf
0 2 rm
(0)S
0 -2 rm
47 379 :M
f93 sf
2.43 .243(avec c)J
f148 sf
0 2 rm
.213(i)A
0 -2 rm
f93 sf
2.471 .247( appartenant \210 GF\(2)J
f187 sf
0 -4 rm
.577(k)A
0 4 rm
f93 sf
1.742 .174(\) pour i = 0,..,n-1.)J
47 419 :M
4.028 .403(Un vecteur \210 n symboles, \(c)J
f148 sf
0 2 rm
.861(n-1)A
0 -2 rm
f93 sf
2.186 .219(, ..., c)J
f148 sf
0 2 rm
.994(1)A
0 -2 rm
f93 sf
1.265 .126(, )J
335 419 :M
1.395(c)A
f148 sf
0 2 rm
1.108(0)A
0 -2 rm
f93 sf
3.996 .4(\) est un code de Reed-)J
47 440 :M
3.981 .398(Solomon si et seulement si son polyn\231me correspondant c\(x\) est )J
47 459 :M
5.133 .513(un multiple du polyn\231me g\216n\216rateur g\(x\). La m\216thode courante )J
47 478 :M
4.349 .435(pour construire un tel polyn\231me, est de diviser )J
405 478 :M
3.061 .306(i\(x\) . x)J
f148 sf
0 -3 rm
1.924 .192(2t )J
0 3 rm
f93 sf
2.695 .269(par g\(x\)   )J
47 497 :M
3.389 .339(et d\325additionner le reste \210 c\(x\). En effet,)J
47 535 :M
2.26 .226(i\(x\) . x)J
f148 sf
0 -3 rm
.693(2t)A
0 3 rm
f93 sf
2.342 .234( = q\(x\) . g\(x\) + r\(x\))J
47 573 :M
3.075 .308(o\235 r\(x\) est le reste de la division de i\(x\) par g\(x\),)J
47 611 :M
2.2 .22(c\(x\) = i\(x\) . x)J
f148 sf
0 -3 rm
.652(2t)A
0 3 rm
f93 sf
2.236 .224( + p\(x\) = q\(x\) . g\(x\) + r\(x\) + p\(x\) = q\(x\) . g\(x\))J
47 649 :M
2.757 .276(pour que c\(x\) soit un multiple de g\(x\), soit c\(x\) = q\(x\) . g\(x\), il faut )J
47 668 :M
5.04 .504(que p\(x\) = r\(x\). Comme on travaille toujours sur des corps de )J
47 687 :M
4.681 .468(caract\216ristique 2, l\325op\216ration de soustraction sera toujours \216gale )J
47 706 :M
3.636 .364(\210 l\325op\216ration d\325addition, soit de mani\217re alg\216brique -1 = +1.)J
gR
gS 47 761 481 13 rC
gR
gS 11 725 553 49 rC
261 771 :M
f135 sf
.413 .041(Page )J
f148 sf
(8)S
gR
endp
showpage
%%Page: 9 9
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initializepage
(Benjamin Barras; page: 9 of 24)setjob
%%EndPageSetup
gS 0 0 576 820 rC
47 46 481 728 rC
47 46 481 714 rC
gR
gS 11 10 553 750 rC
47 60 :M
f93 sf
5.191 .519(Cela nous donne une m\216thode pour construire le polyn\231me de )J
47 79 :M
4.25 .425(contr\231le, il suffit de prendre le reste de la division du polyn\231me )J
47 98 :M
2.056 .206(i\(x\) . x)J
f148 sf
0 -3 rm
.63(2t)A
0 3 rm
f93 sf
2.918 .292( par g\(x\).)J
47 136 :M
4.148 .415(Il nous reste encore \210 construire le polyn\231me g\216n\216rateur g\(x\). Il )J
47 155 :M
3.277 .328(est d\216finit de la mani\217re suivante :)J
47 195 :M
1.587 .159(g\(x\) = \(x + )J
f221 sf
1.036(a)A
f93 sf
1.514 .151(\)\(x + )J
f221 sf
1.036(a)A
f187 sf
0 -4 rm
.814(2)A
0 4 rm
f93 sf
1.848 .185(\)...\(x + )J
f221 sf
1.036(a)A
f187 sf
0 -4 rm
.61(2t)A
0 4 rm
f93 sf
1.347 .135(\) = x)J
f148 sf
0 -3 rm
.509(2t)A
0 3 rm
f93 sf
1.207 .121( + g)J
f148 sf
0 2 rm
1.627 .163(2t-1 )J
0 -2 rm
f93 sf
1.387 .139(. x)J
f148 sf
0 -3 rm
.525(2t-1)A
0 3 rm
f93 sf
1.253 .125( + ... + g)J
f148 sf
0 2 rm
.847 .085(1 )J
0 -2 rm
f93 sf
1.387 .139(. x)J
f148 sf
0 -3 rm
.678(1)A
0 3 rm
f93 sf
1.207 .121( + g)J
f148 sf
0 2 rm
(0)S
0 -2 rm
47 237 :M
f93 sf
3.886 .389(o\235 les coefficients g)J
f187 sf
0 3 rm
.429(i)A
0 -3 rm
f93 sf
4.329 .433( appartiennent \210 GF\(2)J
f187 sf
0 -4 rm
.967(k)A
0 4 rm
f93 sf
1.736 .174(\), et )J
f221 sf
1.369(a)A
f93 sf
2.919 .292( est un \216l\216ment )J
47 261 :M
4.003 .4(primitif de GF\(2)J
f187 sf
0 -4 rm
.897(k)A
0 4 rm
f93 sf
1.278(\).)A
gR
gS 47 761 481 13 rC
gR
gS 11 725 553 49 rC
261 771 :M
f135 sf
.413 .041(Page )J
f148 sf
(9)S
gR
endp
showpage
%%Page: 10 10
%%BeginPageSetup
initializepage
(Benjamin Barras; page: 10 of 24)setjob
%%EndPageSetup
gS 0 0 576 820 rC
47 46 481 728 rC
47 46 481 714 rC
gR
gS 11 10 553 750 rC
47 65 :M
f161 sf
5.37 .537(3.1 )J
f174 sf
24 u174 :p
214.146 :m
9.97 .997(Exemple de codage)J
95 103 :M
f93 sf
2.905 .291(Soit le code RS\(4,3\), avec n = 15, et soit un polyn\231me P\(x\) )J
47 124 :M
3.84 .384(irr\216ductible sur F2, avec P\(x\) = x)J
f187 sf
0 -4 rm
1.193(4)A
0 4 rm
f93 sf
1.711 .171( + x)J
f187 sf
0 -4 rm
1.193(3)A
0 4 rm
f93 sf
2.087 .209( + 1. Soit )J
f221 sf
1.519(a)A
f93 sf
3.066 .307( une racine de )J
47 143 :M
4.704 .47(P\(x\), qui est \216galement un \216l\216ment primitif, et sera utilis\216 pour )J
47 164 :M
7.308 .731(construire GF\(16\). La base utilis\216e sera alors {)J
f221 sf
2.538(a)A
f187 sf
0 -4 rm
1.993(3)A
0 4 rm
f93 sf
1.162(,)A
f221 sf
2.538(a)A
f187 sf
0 -4 rm
1.993(2)A
0 4 rm
f93 sf
1.162(,)A
f221 sf
2.538(a)A
f93 sf
3.861 .386(,1} = )J
47 183 :M
6.673 .667({8,4,2,1}, il y aura donc 16 symboles, qui vont de 0 \210 15. )J
47 202 :M
8.29 .829(Maintenant, on d\216sire coder les 9 symboles d\325informations )J
47 221 :M
3.427 .343(suivants :)J
47 259 :M
1.172 .117(i = [9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]   \(matrice 1 x 9\)   )J
47 297 :M
3.752 .375(soit sous forme polyn\231miale :)J
47 335 :M
2.21 .221(i\(x\) = 9x)J
f148 sf
0 -3 rm
.71(8)A
0 3 rm
f93 sf
1.571 .157( + 8x)J
f148 sf
0 -3 rm
.71(7)A
0 3 rm
f93 sf
1.571 .157( + 7x)J
f148 sf
0 -3 rm
.71(6)A
0 3 rm
f93 sf
1.571 .157( + 6x)J
f148 sf
0 -3 rm
.71(5)A
0 3 rm
f93 sf
1.571 .157( + 5x)J
f148 sf
0 -3 rm
.71(4)A
0 3 rm
f93 sf
1.571 .157( + 4x)J
f148 sf
0 -3 rm
.71(3)A
0 3 rm
f93 sf
1.571 .157( + 3x)J
f148 sf
0 -3 rm
.71(2)A
0 3 rm
f93 sf
1.45 .145( + 2x + 1)J
47 373 :M
1.645(g\(x\))A
83 373 :M
(=)S
103 373 :M
2.078 .208(\(x + 2\)\(x + 4\)\(x + 8\)\(x + 9\)\(x + 11\)\(x + 15\))J
83 392 :M
(=)S
103 392 :M
.802(x)A
f148 sf
0 -3 rm
.637(6)A
0 3 rm
f93 sf
1.408 .141( + 3x)J
f148 sf
0 -3 rm
.637(5)A
0 3 rm
f93 sf
1.095 .11( + x)J
f148 sf
0 -3 rm
.637(4)A
0 3 rm
f93 sf
1.408 .141( + 4x)J
f148 sf
0 -3 rm
.637(3)A
0 3 rm
f93 sf
1.408 .141( + 7x)J
f148 sf
0 -3 rm
.637(2)A
0 3 rm
f93 sf
1.604 .16( + 13x + 15)J
47 430 :M
1.583(c\(x\))A
83 430 :M
(=)S
103 430 :M
2.912 .291(q\(x\) . g\(x\))J
83 449 :M
(=)S
103 449 :M
.764(\(9x)A
f148 sf
0 -3 rm
.655(8)A
0 3 rm
f93 sf
1.746 .175( + 10x)J
f148 sf
0 -3 rm
.655(7)A
0 3 rm
f93 sf
1.449 .145( + 9x)J
f148 sf
0 -3 rm
.655(6)A
0 3 rm
f93 sf
1.127 .113( + x)J
f148 sf
0 -3 rm
.655(5)A
0 3 rm
f93 sf
1.127 .113( + x)J
f148 sf
0 -3 rm
.655(4)A
0 3 rm
f93 sf
1.746 .175( + 12x)J
f148 sf
0 -3 rm
.655(3)A
0 3 rm
f93 sf
1.449 .145( + 3x)J
f148 sf
0 -3 rm
.655(2)A
0 3 rm
f93 sf
1.572 .157( + 11x + 4\) . g\(x\))J
83 468 :M
(=)S
103 468 :M
2.379 .238(i\(x\) . x)J
f148 sf
0 -3 rm
.729(2t)A
0 3 rm
f93 sf
1.929 .193( + r\(x\) )J
83 487 :M
(=)S
103 487 :M
1.651 .165(i\(x\) . x)J
f148 sf
0 -3 rm
.506(2t)A
0 3 rm
f93 sf
1.492 .149( + 6x)J
f148 sf
0 -3 rm
.675(5)A
0 3 rm
f93 sf
1.798 .18( + 15x)J
f148 sf
0 -3 rm
.675(4)A
0 3 rm
f93 sf
1.798 .18( + 15x)J
f148 sf
0 -3 rm
.675(3)A
0 3 rm
f93 sf
1.798 .18( + 15x)J
f148 sf
0 -3 rm
.675(2)A
0 3 rm
f93 sf
1.7 .17( + 11x + 14)J
gR
gS 47 761 481 13 rC
gR
gS 11 725 553 49 rC
257 771 :M
f135 sf
.898 .09(Page )J
f148 sf
.637(10)A
gR
endp
showpage
%%Page: 11 11
%%BeginPageSetup
initializepage
(Benjamin Barras; page: 11 of 24)setjob
%%EndPageSetup
gS 0 0 576 820 rC
47 46 481 728 rC
47 46 481 714 rC
gR
gS 11 10 553 750 rC
47 65 :M
f161 sf
4.158 .416(4. )J
f174 sf
24 u174 :p
259.492 :m
11.494 1.149(Technique de d\216codage)J
95 103 :M
f93 sf
4.005 .4(Consid\216rons un code de Reed-Solomon c\(x\) correspondant )J
47 122 :M
4.744 .474(au code transmis, et soit d\(x\) le code que l\325on re\215oit. Le code )J
47 141 :M
5.176 .518(d\325erreur est d\216finit par)J
47 179 :M
2.936 .294(e\(x\) = d\(x\) - c\(x\) = d\(x\) + c\(x\))J
47 219 :M
2.415 .241(car - et + sont \216quivalent dans GF\(2)J
f187 sf
0 -4 rm
.687(k)A
0 4 rm
f93 sf
.978(\).)A
47 257 :M
3.871 .387(La premi\217re op\216ration a faire, est de calculer les syndromes, qui )J
47 276 :M
3 .3(sont d\216finis de la mani\217re suivante :)J
47 316 :M
1.203(S)A
0 3 rm
.4(i)A
0 -3 rm
1.463 .146( = e\()J
f221 sf
1.094(a)A
f187 sf
0 -4 rm
.343(i)A
0 4 rm
f93 sf
1.638 .164(\) = d\()J
f221 sf
1.094(a)A
f187 sf
0 -4 rm
.343(i)A
0 4 rm
f93 sf
1.599 .16(\) + c\()J
f221 sf
1.094(a)A
f187 sf
0 -4 rm
.343(i)A
0 4 rm
f93 sf
1.638 .164(\) = d\()J
f221 sf
1.094(a)A
f187 sf
0 -4 rm
.343(i)A
0 4 rm
f93 sf
1.281 .128(\)   avec   i = 1, ..., 2t)J
47 361 :M
3.835 .383(car c\()J
f221 sf
1.489(a)A
f187 sf
0 -4 rm
.467(i)A
0 4 rm
f93 sf
2.229 .223(\) = q\()J
f221 sf
1.489(a)A
f187 sf
0 -4 rm
.467(i)A
0 4 rm
f93 sf
1.94 .194(\) . g\()J
f221 sf
1.489(a)A
f187 sf
0 -4 rm
.467(i)A
0 4 rm
f93 sf
3.113 .311(\) = 0 puisque g\()J
325 361 :M
f221 sf
1.565(a)A
f187 sf
0 -4 rm
.491(i)A
0 4 rm
f93 sf
2.256 .226(\) = 0 pour i = 1, ..., 2t par )J
47 380 :M
3.701 .37(d\216finition de g\(x\). Le syndrome sous forme polyn\231miale sera)J
47 418 :M
1.976 .198(s\(x\) =)J
f187 sf
.271 .027( )J
f93 sf
.834(S)A
f148 sf
0 2 rm
.596 .06(2t . )J
0 -2 rm
f93 sf
.626(x)A
f148 sf
0 -3 rm
.385(2t-1)A
0 3 rm
f93 sf
.832 .083( + ...  + S)J
f148 sf
0 2 rm
.517 .052(3 . )J
0 -2 rm
f93 sf
.626(x)A
f148 sf
0 -3 rm
.497(2)A
0 3 rm
f93 sf
.942 .094( + S)J
f148 sf
0 2 rm
.621 .062(2 )J
0 -2 rm
f93 sf
.968 .097(. x + S)J
f148 sf
0 2 rm
(1)S
0 -2 rm
47 458 :M
f93 sf
3.996 .4(Soit M l\325ensemble des positions d\325erreurs, on d\216finit le polyn\231me )J
47 477 :M
5.02 .502(de localisation \(locator polynomial\) par)J
47 517 :M
1.067 .107(l\(x\) = \(1 - )J
f221 sf
.782(a)A
f187 sf
0 -4 rm
.614(p1)A
0 4 rm
f93 sf
1.329 .133(.x\)\(1 - )J
f221 sf
.782(a)A
f187 sf
0 -4 rm
.614(p2)A
0 4 rm
f93 sf
1.04 .104(.x\) ... \(1 - )J
f221 sf
.782(a)A
f187 sf
0 -4 rm
.43(pj)A
0 4 rm
f93 sf
1.217 .122(.x\)   avec   p1, ..., pj dans M)J
47 557 :M
1.516 .152(Si b = )J
f221 sf
1.189(a)A
f187 sf
0 -4 rm
.373(i)A
0 4 rm
f93 sf
2.398 .24( est une racine de l\(x\), donc l\(b\) = 0, on aura alors un des )J
47 578 :M
4.407 .441(mon\231me qui s\325annule, soit \(1 - )J
f221 sf
1.78(a)A
f187 sf
0 -4 rm
1.398(p)A
0 4 rm
f93 sf
3.538 .354(.b\) = 0. Ce qui nous donne la )J
47 599 :M
4.376 .438(relation suivante b =  )J
f221 sf
2.033(a)A
f187 sf
0 -4 rm
1.277(-p)A
0 4 rm
f93 sf
1.661 .166( = )J
f221 sf
2.033(a)A
f187 sf
0 -4 rm
1.384(q-1)A
0 4 rm
f93 sf
.931(.)A
f221 sf
2.033(a)A
f187 sf
0 -4 rm
1.277(-p)A
0 4 rm
f93 sf
1.661 .166( = )J
f221 sf
2.033(a)A
f187 sf
0 -4 rm
1.341(q-p-1)A
0 4 rm
.726 .073( )J
f93 sf
2.407 .241(= )J
f221 sf
2.033(a)A
f187 sf
0 -4 rm
.638(i)A
0 4 rm
1.462 .146( \()J
f221 sf
2.033(a)A
f187 sf
0 -4 rm
1.384(q-1)A
0 4 rm
f93 sf
2.368 .237( = 1)J
f187 sf
.956<29>A
f93 sf
2.251 .225(, la )J
47 618 :M
3.901 .39(position de l\325erreur sera alors donn\216 par p = q-1-i qui est positif )J
47 639 :M
4.109 .411(et que l\325on connait, puisque l\325on connait b = )J
f221 sf
1.74(a)A
f187 sf
0 -4 rm
.546(i)A
0 4 rm
f93 sf
3.142 .314(, racine de l\(x\). Il )J
47 658 :M
2.756 .276(nous faudra donc chercher toutes les racines de l\(x\). Il ne faut pas )J
47 677 :M
5.143 .514(oublier que )J
140 677 :M
f221 sf
2.341(a)A
f93 sf
5.435 .543( est un \216l\216ment primitif, et que tout \216l\216ment de )J
47 701 :M
1.129(GF\(2)A
f187 sf
0 -4 rm
.85(k)A
0 4 rm
f93 sf
.66<29>A
0 -4 rm
.771(*)A
0 4 rm
3.492 .349( s\325exprime comme une puissance de l\325\216l\216ment primitif, qui )J
47 725 :M
2.822 .282(est un g\216n\216rateur du groupe GF\(2)J
f187 sf
0 -4 rm