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第3章  符号运算
3.1  算术符号操作
命令  +、-、*、.*、\、.\、/、./、^、.^、’、.’
功能  符号矩阵的算术操作
用法如下：
A+B、A-B  符号阵列的加法与减法。
若A与B为同型阵列时，A+B、A-B分别对对应分量进行加减；若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行加减。
A*B   符号矩阵乘法。
A*B为线性代数中定义的矩阵乘法。按乘法定义要求必须有矩阵A的列数等于矩阵B的行数。即：若An*k*Bk*m=(aij)n*k.*(bij)k*m=Cn*m=(cij)n*m，则 ，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。或者至少有一个为标量时，方可进行乘法操作，否则将返回一出错信息。
A.*B   符号数组的乘法。
A.*B为按参量A与B对应的分量进行相乘。A与B必须为同型阵列，或至少有一个为标量。即：An*m.*Bn*m=(aij)n*m.*(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，则cij= aij* bij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。
A\B    矩阵的左除法。
X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解。我们指出的是，A\B近似地等于inv(A)*B。若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方程组必须是相容的。
A.\B   数组的左除法。
A.\B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时，An*m.\Bn*m=(aij)n*m.\(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，则cij= aij\ bij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。若若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。
A/B    矩阵的右除法。
X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解。我们指出的是，B/A粗略地等于B*inv(A)。若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方程组必须是相容的。
A./B    数组的右除法。
A./B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时，An*m./Bn*m=(aij)n*m./(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，则cij= aij/bij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。
A^B    矩阵的方幂。
计算矩阵A的整数B次方幂。若A为标量而B为方阵，A^B用方阵B的特征值与特征向量计算数值。若A与B同时为矩阵，则返回一错误信息。
A.^B    数组的方幂。
A.^B为按A与B对应的分量进行方幂计算。若A与B为同型阵列时，An*m..^Bn*m=(aij)n*m..^(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，则cij= aij^bij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。
A'      矩阵的Hermition转置。
若A为复数矩阵，则A'为复数矩阵的共轭转置。即，若A=(aij)=(xij+i*yij)，则 。
A.'      数组转置。
A.'为真正的矩阵转置，其没有进行共轭转置。
例3-1
>>syms a b c d e f g h;
>>A = [a b; c d];
>>B = [e f; g h];
>>C1 = A.*B
>>C2 = A.^B
>>C3 = A*B/A
>>C4 = A.*A-A^2
>>syms a11 a12 a21 a22 b1 b2;
>>A = [a11 a12; a21 a22];
>>B = [b1 b2];
>>X = B/A;  % 求解符号线性方程组X*A=B的解
>>x1 = X(1)
>>x2 = X(2)
计算结果为：
C1 =
    [ a*e, b*f]
    [ c*g, d*h]
C2 =
    [ a^e, b^f]
    [ c^g, d^h]
C3 =
    [ -(a*c*f+c*b*h-a*e*d-b*d*g)/(a*d-b*c),   (a*b*h-b^2*g+a^2*f-b*a*e)/(a*d-b*c)]
    [ -(-c*e*d+c*d*h+c^2*f-d^2*g)/(a*d-b*c),   (a*d*h+a*c*f-b*c*e-b*d*g)/(a*d-b*c)]
C4 =
    [        -b*c, b^2-a*b-b*d]
    [ c^2-a*c-d*c,        -b*c]
 x1 =
     (-a22*b1+b2*a21)/(a12*a21-a11*a22)
 x2 =
    -(-a12*b1+a11*b2)/(a12*a21-a11*a22)
3.2  基本运算
命令1  合并同类项
函数  collect
格式  R = collect(S)    %对于多项式S中的每一函数，collect(S)按缺省变量x的次数合并系数。
R = collect(S,v)   %对指定的变量v计算，操作同上。
例3-2
>>syms x y;
>>R1 = collect((exp(x)+x)*(x+2))
>>R2 = collect((x+y)*(x^2+y^2+1), y)
>>R3 = collect([(x+1)*(y+1),x+y])
计算结果为：
R1 =
     x^2+(exp(x)+2)*x+2*exp(x)
R2 =
     y^3+x*y^2+(x^2+1)*y+x*(x^2+1)
R3 =
     [ (y+1)*x+y+1,  x+y]
命令2  列空间的基
函数  colspace
格式  B = colspace(A)   %返回矩阵B，其列向量形成由矩阵A的列向量形成的空间的坐标基，其中A可以是符号或数值矩阵。而size(colspace(A),2)等于rank(A)。即由A生成的空间维数等于A的秩。
例3-3
>>syms  a b c
>>A = sym([1,a;2,b;3,c])
>>B = colspace(A)
计算结果为：
   A =
       [ 1, a]
       [ 2, b]
       [ 3, c]
   B =
       [                1,                0]
       [                0,                1]
       [ -(3*b-2*c)/(-b+2*a),   (-c+3*a)/(-b+2*a)]
命令3  复合函数计算
函数  compose
格式  compose(f,g)   %返回复合函数f[g(y)]，其中f=f(x)，g=g(y)。其中符号x为函数f中由命令findsym(f) 确定的符号变量，符号y为函数g中由命令findsym(g) 确定的符号变量。
compose(f,g,z)   %返回复合函数f[g(z)]，其中f=f(x)，g=g(y)，符号x、y为函数f、g中由命令findsym确定的符号变量。
compose(f,g,x,z)   %返回复合函数f[g(z)]，而令变量x为函数f中的自变量f=f(x)。令x=g(z)，再将x=g(z)代入函数f中。
compose(f,g,x,y,z)   %返回复合函数f[g(z)]。而令变量x为函数f中的自变量f=f(x)，而令变量y为函数g中的自变量g=g(y)。令x=g(y)，再将x=g(y)代入函数f=f(x)中，得f[g(y)]，最后用指定的变量z代替变量y，得f[g(z)]。
例3-4
>>syms x y z t u v;
>>f = 1/(1 + x^2*y); h = x^t; g = sin(y); p = sqrt(-y/u);
>>C1 = compose(f,g)  % 令x=g=sin(y)，再替换f中的变量x=findsym(f)。
>>C2 = compose(f,g,t)  % 令x=g=sin(t)，再替换f中的变量x=findsym(f)。
>>C3 = compose(h,g,x,z)  % 令x=g=sin(z)，再替换h中的变量x。
>>C4 = compose(h,g,t,z)  % 令t=g=sin(z)，再替换h中的变量t。
>>C5 = compose(h,p,x,y,z)  % 令x=p(y)=sqrt(-y/u)，替换h中的变量x，再将y换成z。
>>C6 = compose(h,p,t,u,z)  % 令t=p(u)=sqrt(-y/u)，替换h中的变量t，再将u换成z。
计算结果为：
   C1 =
        1/(1+sin(y)^2*y)
   C2 =
        1/(1+sin(t)^2*y)
   C3 =
        sin(z)^t
   C4 =
        x^sin(z)
   C5 =
        ((-z/u)^(1/2))^t
   C6 =
        x^((-y/z)^(1/2))
命令4  符号复数的共轭
函数  conj
格式  conj(X)   %返回符号复数X的共轭复数
例3-5
    X=real(X) + i*imag(X)，则conj(X)=real(X) - i*imag(X)
命令5  符号复数的实数部分
函数  real
格式  real(Z)   %返回符号复数z的实数部分
命令6  符号复数的虚数部分
函数  imag
格式  imag(Z)  %返回符号复数z的虚数部分
命令7  余弦函数的整函数
格式  Y = cosint(X)   %计算余弦函数在点X处的整函数值。其中X可以是数值矩阵，或符号矩阵。余弦函数的整函数定义为： ，其中 为Euler常数， =0.57721566490153286060651209… i=1,2,…,size(X)。Euler常数可以通过命令vpa('eulergamma')获得。
例3-6
>>cosint(7.2) 
>>cosint([0:0.1:1])
>>syms x;
>>f = cosint(x);
>>diff(x)
计算结果为：
ans =
     0.0960
ans =
    Columns 1 through 7 
         Inf   -1.7279   -1.0422   -0.6492   -0.3788   -0.1778   -0.0223
    Columns 8 through 11 
      0.1005    0.1983    0.2761    0.3374
ans =
1
命令8  设置变量的精度
函数  digits
格式  digits(d)   %设置当前的可变算术精度的位数为整数d位
      d = digits   %返回当前的可变算术精度位数给d
      digits      %显示当前可变算术精度的位数
说明  设置有意义的十进制数值的、在Maple软件中用于做可变算术精度（命令为：vpa）计算的数字位数。其缺省值为32位数字。
例3-7
>>z = 1.0e-16    % z为一很小的数
>>x = 1.0e+2    % x为较大的数
>>digits(14) 
>>y1 = vpa(x*z+1)   % 大数1“吃掉”小数x*y
>>digits(15)
>>y2 = vpa(x*z+1)   % 防止“去掉”小数x*y
计算结果为：
z =
    1.0000e-016
x =
    100
y1 =
    1.0000000000000
y2 =
    1.00000000000001
命令9  将符号转换为MATLAB的数值形式
函数  double
格式  R = double(S)   %将符号对象S转换为数值对象R。若S为符号常数或表达式常数，double返回S的双精度浮点数值表示形式；若S为每一元素是符号常数或表达式常数的符号矩阵，double返回S每一元素的双精度浮点数值表示的数值矩阵R。
例3-8
>>gold_ratio = double(sym('(sqrt(5)-1)/2'))    % 计算黄金分割率。
>>T = sym(hilb(4))
>>R = double(T)
计算结果为：
gold_ratio =
          0.6180
T =
    [  1, 1/2, 1/3, 1/4]
    [ 1/2, 1/3, 1/4, 1/5]
    [ 1/3, 1/4, 1/5, 1/6]
    [ 1/4, 1/5, 1/6, 1/7]
R =
    1.0000    0.5000    0.3333    0.2500
    0.5000    0.3333    0.2500    0.2000
    0.3333    0.2500    0.2000    0.1667
    0.2500    0.2000    0.1667    0.1429
命令10  符号表达式的展开
函数  expand
格式  R = expand(S)   %对符号表达式S中每个因式的乘积进行展开计算。该命令通常用于计算多项式函数、三角函数、指数函数与对数函数等表达式的展开式。
例3-9
>>syms x y a b c t
>>E1 = expand((x-2)*(x-4)*(y-t))
>>E2 = expand(cos(x+y))
>>E3 = expand(exp((a+b)^3)) 
>>E4 = expand(log(a*b/sqrt(c))) 
>>E5 = expand([sin(2*t), cos(2*t)])
计算结果为：
E1 =
     x^2*y-x^2*t-6*x*y+6*x*t+8*y-8*t
E2 =
     cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y)
E3 =
     exp(a^3)*exp(a^2*b)^3*exp(a*b^2)^3*exp(b^3)
E4 =
     log(a*b/c^(1/2))
E5 =
     [ 2*sin(t)*cos(t),    2*cos(t)^2-1]
命令11  符号因式分解
函数  factor
格式  factor(X)   %参量x可以是正整数、符号表达式阵列或符号整数阵列。若X为一正整数，则factor(X)返回X的质数分解式。若x为多项式或整数矩阵，则factor(X)分解矩阵的每一元素。若整数阵列中有一元素位数超过16位，用户必须用命令sym生成该元素。
例3-10
>>syms a b x y
>>F1 = factor(x^4-y^4) 
>>F2 = factor([a^2-b^2, x^3+y^3]) 
>>F3 = factor(sym('12345678901234567890'))
计算结果为：
F1 =
      (x-y)*(x+y)*(x^2+y^2)
F2 =
     [(a-b)*(a+b),  (x+y)*(x^2-x*y+y^2)]
F3 =
     (2)*(3)^2*(5)*(101)*(3803)*(3607)*(27961)*(3541)
命令12  符号表达式的分子与分母
函数  numden
格式  [N,D] = numden(A) 
说明  将符号或数值矩阵A中的每一元素转换成整系数多项式的有理式形式，其中分子与分母是相对互素的。输出的参量N为分子的符号矩阵，输出的参量D为分母的符号矩阵。
例3-11
>>syms x y a b c d;
>>[n1,d1] = numden(sym(sin(4/5))) 
>>[n2,d2] = numden(x/y + y/x)
>>A = [a, 1/b;1/c d];
>>[n3,d3] = numden(A)
计算结果为：
n1 =
     6461369247334093
d1 =
     9007199254740992
n2 =
     x^2+y^2
d2 =
    y*x
n3 =
    [ a, 1]
    [ 1, d]
d3 =
    [ 1, b]
    [ c, 1]
命令13  搜索符号表达式的最简形式
函数  simple
格式  r = simple(S)   %该命令试图找出符号表达式S的代数上的简单形式，显示任意的能使表达式S长度变短的表达式，且返回其中最短的一个。若S为一矩阵，则结果为整个矩阵的最短形式，而非是每一个元素的最简形式。若没有输出参量r，则该命令将显示所有可能使用的算法与表达式，同时返回最短的一个。
[r,how] = simple(S)   %没有显示中间的化简结果，但返回能找到的最短的一个。输出参量r为一符号，how为一字符串，用于表示算法。
例3-12
>>syms x
>>R1 = simple(cos(x)^4+sin(x)^4)
>>R2 = simple(2*cos(x)^2-sin(x)^2)
>>R3 = simple(cos(x)^2-sin(x)^2)
>>R4 = simple(cos(x)+(-sin(x)^2)^(1/2))
>>R5 = simple(cos(x)+i*sin(x))
>>R6 = simple( (x+1)*x*(x-1))
>>R7 = simple(x^3+3*x^2+3*x+1)
>> [R8,how] = simple(cos(3*acos(x)))
计算的结果为：
R1 =
     1/4*cos(4*x)+3/4
R2 =
     3*cos(x)^2-1
R3 =
     cos(2*x)