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第5章  优化问题
5.1  线性规划问题
线性规划问题是目标函数和约束条件均为线性函数的问题，MATLAB6.0解决的线性规划问题的标准形式为：
min   
sub.to： 
        
        
其中f、x、b、beq、lb、ub为向量，A、Aeq为矩阵。
其它形式的线性规划问题都可经过适当变换化为此标准形式。
在MATLAB6.0版中，线性规划问题（Linear Programming）已用函数linprog取代了MATLAB5.x版中的lp函数。当然，由于版本的向下兼容性，一般说来，低版本中的函数在6.0版中仍可使用。
函数  linprog
格式  x = linprog(f,A,b)   %求min  f ' *x   sub.to   线性规划的最优解。
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq)   %等式约束 ，若没有不等式约束 ，则A=[ ]，b=[ ]。
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)   %指定x的范围 ，若没有等式约束  ，则Aeq=[ ]，beq=[ ]
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)   %设置初值x0
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)    % options为指定的优化参数
[x,fval] = linprog(…)   % 返回目标函数最优值，即fval= f ' *x。
[x,lambda,exitflag] = linprog(…)   % lambda为解x的Lagrange乘子。
[x, lambda,fval,exitflag] = linprog(…)   % exitflag为终止迭代的错误条件。
[x,fval, lambda,exitflag,output] = linprog(…)   % output为关于优化的一些信息
说明  若exitflag>0表示函数收敛于解x，exitflag=0表示超过函数估值或迭代的最大数字，exitflag<0表示函数不收敛于解x；若lambda=lower 表示下界lb，lambda=upper表示上界ub，lambda=ineqlin表示不等式约束，lambda=eqlin表示等式约束，lambda中的非0元素表示对应的约束是有效约束；output=iterations表示迭代次数，output=algorithm表示使用的运算规则，output=cgiterations表示PCG迭代次数。
例5-1  求下面的优化问题
min   
sub.to       
         
          
 
解：
>>f = [-5; -4; -6];
>>A =  [1 -1  1;3  2  4;3  2  0];
>>b = [20; 42; 30];
>>lb = zeros(3,1);
>>[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb)
结果为：
x =      %最优解
    0.0000
   15.0000
    3.0000
fval =     %最优值
  -78.0000
exitflag =     %收敛
     1
output = 
      iterations: 6   %迭代次数
    cgiterations: 0
       algorithm: 'lipsol'   %所使用规则
lambda = 
    ineqlin: [3x1 double]
      eqlin: [0x1 double]
      upper: [3x1 double]
      lower: [3x1 double]
>> lambda.ineqlin
ans =
    0.0000
    1.5000
    0.5000
>> lambda.lower
ans =
    1.0000
    0.0000
    0.0000
表明：不等约束条件2和3以及第1个下界是有效的
5.2  foptions函数
对于优化控制，MATLAB提供了18个参数，这些参数的具体意义为：
options(1)-参数显示控制（默认值为0）。等于1时显示一些结果。
    options(2)-优化点x的精度控制(默认值为1e-4)。
    options(3)-优化函数F的精度控制(默认值为1e-4)。
    options(4)-违反约束的结束标准(默认值为1e-6)。
    options(5)-算法选择，不常用。
    options(6)-优化程序方法选择，为0则为BFCG算法，为1则采用DFP算法。 
    options(7)-线性插值算法选择，为0则为混合插值算法，为1则采用立方插算法。
    options(8)-函数值显示 (目标—达到问题中的Lambda )
    options(9)-若需要检测用户提供的梯度，则设为1。
    options(10)-函数和约束估值的数目。
    options(11)-函数梯度估值的个数。
    options(12)-约束估值的数目。
    options(13)-等约束条件的个数。
    options(14)-函数估值的最大次数（默认值是100×变量个数） 
    options(15)-用于目标 — 达到问题中的特殊目标。 
    options(16)-优化过程中变量的最小有限差分梯度值。
    options(17)- 优化过程中变量的最大有限差分梯度值。
    options(18)-步长设置 (默认为1或更小)。
Foptions已经被optimset和optimget代替，详情请查函数optimset和optimget。
5.3  非线性规划问题
5.3.1  有约束的一元函数的最小值
单变量函数求最小值的标准形式为      sub.to   
在MATLAB5.x中使用fmin函数求其最小值。
函数  fminbnd
格式  x = fminbnd(fun,x1,x2)   %返回自变量x在区间 上函数fun取最小值时x值，fun为目标函数的表达式字符串或MATLAB自定义函数的函数柄。
x = fminbnd(fun,x1,x2,options)   % options为指定优化参数选项
[x,fval] = fminbnd(…)   % fval为目标函数的最小值
[x,fval,exitflag] = fminbnd(…)   %xitflag为终止迭代的条件
[x,fval,exitflag,output] = fminbnd(…)   % output为优化信息
说明  若参数exitflag>0，表示函数收敛于x，若exitflag=0，表示超过函数估计值或迭代的最大数字，exitflag<0表示函数不收敛于x；若参数output=iterations表示迭代次数，output=funccount表示函数赋值次数，output=algorithm表示所使用的算法。
例5-2  计算下面函数在区间(0，1)内的最小值。
 
解：>> [x,fval,exitflag,output]=fminbnd('(x^3+cos(x)+x*log(x))/exp(x)',0,1)
x =
    0.5223
fval =
    0.3974
exitflag =
     1
output = 
    iterations: 9
     funcCount: 9
     algorithm: 'golden section search, parabolic interpolation'
例5-3  在[0，5]上求下面函数的最小值 
解：先自定义函数：在MATLAB编辑器中建立M文件为：
function f = myfun(x)
f = (x-3).^2 - 1;
保存为myfun.m，然后在命令窗口键入命令：
>> x=fminbnd(@myfun,0,5)
则结果显示为：
x =
     3
5.3.2  无约束多元函数最小值
多元函数最小值的标准形式为 
其中：x为向量，如 
在MATLAB5.x中使用fmins求其最小值。
命令  利用函数fminsearch求无约束多元函数最小值
函数  fminsearch
格式  x = fminsearch(fun,x0)   %x0为初始点，fun为目标函数的表达式字符串或MATLAB自定义函数的函数柄。
x = fminsearch(fun,x0,options)   % options查optimset
[x,fval] = fminsearch(…)   %最优点的函数值
[x,fval,exitflag] = fminsearch(…)   % exitflag与单变量情形一致
[x,fval,exitflag,output] = fminsearch(…)  %output与单变量情形一致
注意：fminsearch采用了Nelder-Mead型简单搜寻法。
例5-4  求 的最小值点
解：>>X=fminsearch('2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2',  [0,0])
结果为
X =
    1.0016    0.8335
或在MATLAB编辑器中建立函数文件
function  f=myfun(x)
f=2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2;
保存为myfun.m，在命令窗口键入
>> X=fminsearch ('myfun',  [0,0]) 或 >> X=fminsearch(@myfun,  [0,0])
结果为：
X =
    1.0016    0.8335
命令  利用函数fminunc求多变量无约束函数最小值
函数  fminunc
格式  x = fminunc(fun,x0)   %返回给定初始点x0的最小函数值点
x = fminunc(fun,x0,options)   % options为指定优化参数
[x,fval] = fminunc(…)   %fval最优点x处的函数值
[x,fval,exitflag] = fminunc(…)   % exitflag为终止迭代的条件，与上同。
[x,fval,exitflag,output] = fminunc(…)   %output为输出优化信息
[x,fval,exitflag,output,grad] = fminunc(…)   % grad为函数在解x处的梯度值
[x,fval,exitflag,output,grad,hessian] = fminunc(…)   %目标函数在解x处的海赛（Hessian）值
注意：当函数的阶数大于2时，使用fminunc比fminsearch更有效，但当所选函数高度不连续时，使用fminsearch效果较好。
例5-5  求 的最小值。
>> fun='3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2';
>> x0=[1 1];
>> [x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(fun,x0)
结果为：
x =
  1.0e-008 *
   -0.7591    0.2665
fval =
  1.3953e-016
exitflag =
     1
output = 
       iterations: 3
        funcCount: 16
         stepsize: 1.2353
    firstorderopt: 1.6772e-007
        algorithm: 'medium-scale: Quasi-Newton line search'
grad =
  1.0e-006 *
   -0.1677
    0.0114
hessian =
    6.0000    2.0000
    2.0000    2.0000
或用下面方法：
>> fun=inline('3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2')
fun =
     Inline function:
     fun(x) = 3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2
>> x0=[1 1]；
>> x=fminunc(fun,x0)
x =
  1.0e-008 *
   -0.7591    0.2665
5.3.3  有约束的多元函数最小值
非线性有约束的多元函数的标准形式为：
 
sub.to     
 
 
 
 
其中：x、b、beq、lb、ub是向量，A、Aeq为矩阵，C(x)、Ceq(x)是返回向量的函数，f(x)为目标函数，f(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非线性函数。
在MATLAB5.x中，它的求解由函数constr实现。
函数  fmincon
格式  x = fmincon(fun,x0,A,b)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
[x,fval] = fmincon(…)
[x,fval,exitflag] = fmincon(…)
[x,fval,exitflag,output] = fmincon(…)
[x,fval,exitflag,output,lambda] = fmincon(…)
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad] = fmincon(…)
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(…)
参数说明：fun为目标函数，它可用前面的方法定义；
x0为初始值；
A、b满足线性不等式约束 ，若没有不等式约束，则取A=[ ]，b=[ ]；
Aeq、beq满足等式约束 ，若没有，则取Aeq=[ ]，beq=[ ]；
lb、ub满足 ，若没有界，可设lb=[ ]，ub=[ ]；
nonlcon的作用是通过接受的向量x来计算非线性不等约束 和等式约束 分别在x处的估计C和Ceq，通过指定函数柄来使用，如：>>x = fmincon(@myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon)，先建立非线性约束函数，并保存为mycon.m：function [C,Ceq] = mycon(x)
C = …    % 计算x处的非线性不等约束 的函数值。
Ceq = …   % 计算x处的非线性等式约束 的函数值。
lambda是Lagrange乘子，它体现哪一个约束有效。
output输出优化信息；
grad表示目标函数在x处的梯度；
hessian表示目标函数在x处的Hessiab值。
例5-6  求下面问题在初始点（0，1）处的最优解
min   
sub.to     
 
解：约束条件的标准形式为
sub.to   
 
先在MATLAB编辑器中建立非线性约束函数文件：
function  [c, ceq]=mycon (x)
c=(x(1)-1)^2-x(2);
ceq=[ ];      %无等式约束
然后，在命令窗口键入如下命令或建立M文件：
>>fun='x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)-2*x(1)-5*x(2)';     %目标函数
>>x0=[0 1];
>>A=[-2 3];   %线性不等式约束
>>b=6;
>>Aeq=[ ];    %无线性等式约束
>>beq=[ ];
>>lb=[ ];       %x没有下、上界
>>ub=[ ];
>>[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]
=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon)
则结果为
x =
     3     4
fval =
   -13
exitflag =      %解收敛
     1
output = 
       iterations: 2
        funcCount: 9
         stepsize: 1
        algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search'
    firstorderopt: [ ]
     cgiterations: [ ]
lambda = 
         lower: [2x1 double]   %x下界有效情况，通过lambda.lower可查看。
         upper: [2x1 double]   %x上界有效情况，为0表示约束无效。
         eqlin: [0x1 double]    %线性等式约束有效情况，不为0表示约束有效。
      eqnonlin: [0x1 double]    %非线性等式约束有效情况。
       ineqlin: 2.5081e-008    %线性不等式约束有效情况。
    ineqnonlin: 6.1938e-008    %非线性不等式约束有效情况。
grad =      %目标函数在最小值点的梯度
  1.0e-006 *
   -0.1776
         0
hessian =    %目标函数在最小值点的Hessian值
    1.0000   -0.0000
   -0.0000    1.0000
例5-7  求下面问题在初始点x=(10, 10, 10)处的最优解。
Min   
Sub.to   
解：约束条件的标准形式为
sub.to      
 
>> fun= '-x(1)*x(2)*x(3)';
>> x0=[10,10,10];
>> A=[-1 -2 -2;1 2 2];
>> b=[0;72];
>> [x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b)
结果为：
x =
   24.0000   12.0000   12.0000
fval =
       -3456
5.3.4  二次规划问题
二次规划问题（quadratic programming）的标准形式为：
 
sub.to   
     
     
其中，H、A、Aeq为矩阵，f、b、beq、lb、ub、x为向量
其它形式的二次规划问题都可转化为标准形式。
MATLAB5.x版中的qp函数已被6.0版中的函数quadprog取代。
函数  quadprog
格式  x = quadprog(H,f,A,b)   %其中H,f,A,b为标准形中的参数，x为目标函数的最小值。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)   %Aeq,beq满足等约束条件 。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)   % lb,ub分别为解x的下界与上界。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)   %x0为设置的初值
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)   % options为指定的优化参数
[x,fval] = quadprog(…)   %fval为目标函数最优值
[x,fval,exitflag] = quadprog(…)   % exitflag与线性规划中参数意义相同
[x,fval,exitflag,output] = quadprog(…)   % output与线性规划中参数意义相同
[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(…)   % lambda与线性规划中参数意义相同
例5-8  求解下面二次规划问题
 
sub.to 
 
 
 
 
解： 
则 ， ， 
在MATLAB中实现如下：
>>H = [1 -1; -1 2] ;