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函数  normspec
格式  p = normspec(specs,mu,sigma)   %specs指定界线，mu,sigma为正态分布的参数p 为样本落在上、下界之间的概率。
例4-60
>>normspec([10 Inf],11.5,1.25)
 
图4-19
4.7  参数估计
4.7.1  常见分布的参数估计
命令  β分布的参数a和b的最大似然估计值和置信区间
函数  betafit
格式  PHAT=betafit(X)
[PHAT,PCI]=betafit(X,ALPHA)
说明  PHAT为样本X的β分布的参数a和b的估计量
PCI为样本X的β分布参数a和b的置信区间，是一个2×2矩阵，其第1例为参数a的置信下界和上界，第2例为b的置信下界和上界，ALPHA为显著水平，（1-α）×100%为置信度。
例4-61  随机产生100个β分布数据，相应的分布参数真值为4和3。则4和3的最大似然估计值和置信度为99%的置信区间为：
解：
>>X = betarnd (4,3,100,1);     %产生100个β分布的随机数
>>[PHAT,PCI] = betafit(X,0.01)   %求置信度为99%的置信区间和参数a、b的估计值
结果显示
PHAT =
      3.9010    2.6193
PCI =
      2.5244    1.7488
      5.2776    3.4898
说明  估计值3.9010的置信区间是[2.5244  5.2776]，估计值2.6193的置信区间是[1.7488  3.4898]。
命令  正态分布的参数估计
函数  normfit
格式  [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X)   
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha)
说明  muhat,sigmahat分别为正态分布的参数μ和σ的估计值，muci,sigmaci分别为置信区间，其置信度为 ；alpha给出显著水平α，缺省时默认为0.05，即置信度为95%。
例4-62  有两组(每组100个元素)正态随机数据，其均值为10，均方差为2，求95%的置信区间和参数估计值。
解：>>r = normrnd (10,2,100,2);     %产生两列正态随机数据
>>[mu,sigma,muci,sigmaci] = normfit(r)
则结果为
mu =
   10.1455   10.0527       %各列的均值的估计值
sigma =
    1.9072    2.1256       %各列的均方差的估计值
muci =
    9.7652    9.6288       
   10.5258   10.4766
sigmaci =
    1.6745    1.8663
    2.2155    2.4693
说明  muci，sigmaci中各列分别为原随机数据各列估计值的置信区间，置信度为95%。
例4-63  分别使用金球和铂球测定引力常数
（1）用金球测定观察值为：6.683  6.681  6.676  6.678  6.679  6.672
（2）用铂球测定观察值为：6.661  6.661  6.667  6.667  6.664
设测定值总体为 ，μ和σ为未知。对(1)、(2)两种情况分别求μ和σ的置信度为0.9的置信区间。
解：建立M文件：LX0833.m
X=[6.683  6.681  6.676  6.678  6.679  6.672];
Y=[6.661  6.661  6.667  6.667  6.664];
[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(X,0.1)      %金球测定的估计
[MU,SIGMA,MUCI,SIGMACI]=normfit(Y,0.1)    %铂球测定的估计
运行后结果显示如下：
mu =
     6.6782
sigma =
       0.0039
muci =
         6.6750
         6.6813
sigmaci =
        0.0026
        0.0081
MU =
        6.6640
SIGMA =
        0.0030
MUCI =
       6.6611
       6.6669
SIGMACI =
          0.0019
          0.0071
由上可知，金球测定的μ估计值为6.6782，置信区间为[6.6750，6.6813]；
σ的估计值为0.0039，置信区间为[0.0026，0.0081]。
泊球测定的μ估计值为6.6640，置信区间为[6.6611，6.6669]；
σ的估计值为0.0030，置信区间为[0.0019，0.0071]。
命令  利用mle函数进行参数估计
函数  mle
格式  phat=mle                 %返回用dist指定分布的最大似然估计值
[phat, pci]=mle            %置信度为95%
[phat, pci]=mle      %置信度由alpha确定
[phat, pci]=mle    %仅用于二项分布，pl为试验次数。
说明  dist为分布函数名，如：beta( 分布)、bino（二项分布）等，X为数据样本，alpha为显著水平α， 为置信度。
例4-64
>> X=binornd(20,0.75)       %产生二项分布的随机数
X =
    16
>> [p,pci]=mle('bino',X,0.05,20)    %求概率的估计值和置信区间，置信度为95%
p =
    0.8000
pci =
    0.5634
    0.9427
常用分布的参数估计函数
表4-7  参数估计函数表
函数名	调  用  形  式	函  数  说  明
binofit	PHAT= binofit(X, N)
[PHAT, PCI] = binofit(X,N)
[PHAT, PCI]= binofit (X, N, ALPHA)	二项分布的概率的最大似然估计
置信度为95%的参数估计和置信区间
返回水平α的参数估计和置信区间
poissfit	Lambdahat=poissfit(X)
[Lambdahat, Lambdaci] = poissfit(X)
[Lambdahat, Lambdaci]= poissfit (X, ALPHA)	泊松分布的参数的最大似然估计
置信度为95%的参数估计和置信区间
返回水平α的λ参数和置信区间
normfit	[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X)
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X, ALPHA)	正态分布的最大似然估计，置信度为95%
返回水平α的期望、方差值和置信区间
betafit	PHAT =betafit (X)
[PHAT, PCI]= betafit (X, ALPHA)	返回β分布参数a和 b的最大似然估计
返回最大似然估计值和水平α的置信区间
unifit	[ahat,bhat] = unifit(X)
[ahat,bhat,ACI,BCI] = unifit(X)
[ahat,bhat,ACI,BCI]=unifit(X, ALPHA)	均匀分布参数的最大似然估计
置信度为95%的参数估计和置信区间
返回水平α的参数估计和置信区间
expfit	muhat =expfit(X)
[muhat,muci] = expfit(X)
[muhat,muci] = expfit(X,alpha) 	指数分布参数的最大似然估计
置信度为95%的参数估计和置信区间
返回水平α的参数估计和置信区间
gamfit	phat =gamfit(X)
[phat,pci] = gamfit(X)
[phat,pci] = gamfit(X,alpha)	γ分布参数的最大似然估计
置信度为95%的参数估计和置信区间
返回最大似然估计值和水平α的置信区间
weibfit	phat = weibfit(X)
[phat,pci] = weibfit(X)
[phat,pci] = weibfit(X,alpha)	韦伯分布参数的最大似然估计
置信度为95%的参数估计和置信区间
返回水平α的参数估计及其区间估计
Mle	phat = mle('dist',data)
[phat,pci] = mle('dist',data)
[phat,pci] = mle('dist',data,alpha)
[phat,pci] = mle('dist',data,alpha,p1)	分布函数名为dist的最大似然估计
置信度为95%的参数估计和置信区间
返回水平α的最大似然估计值和置信区间
仅用于二项分布，pl为试验总次数
说明  各函数返回已给数据向量X的参数最大似然估计值和置信度为（1-α）×100%的置信区间。α的默认值为0.05，即置信度为95%。
4.7.2  非线性模型置信区间预测
命令  高斯—牛顿法的非线性最小二乘数据拟合
函数  nlinfit
格式  beta = nlinfit(X,y,FUN,beta0)   %返回在FUN中描述的非线性函数的系数。FUN为用户提供形如 的函数，该函数返回已给初始参数估计值β和自变量X的y的预测值 。
[beta,r,J] = nlinfit(X,y,FUN,beta0)   %beta为拟合系数，r为残差，J为Jacobi矩阵，beta0为初始预测值。
说明  若X为矩阵，则X的每一列为自变量的取值，y是一个相应的列向量。如果FUN中使用了@，则表示函数的柄。
例4-65  调用MATLAB提供的数据文件reaction.mat
>>load reaction
>>betafit = nlinfit(reactants,rate,@hougen,beta)
betafit =
    1.2526
    0.0628
    0.0400
    0.1124
    1.1914
命令  非线性模型的参数估计的置信区间
函数  nlparci
格式  ci = nlparci(beta,r,J)   %返回置信度为95%的置信区间，beta为非线性最小二乘法估计的参数值，r为残差，J为Jacobian矩阵。nlparci可以用nlinfit函数的输出作为其输入。
例4-66  调用MATLAB中的数据reaction。
>>load reaction
>>[beta,resids,J] = nlinfit(reactants,rate,'hougen',beta)
beta =
    1.2526
    0.0628
    0.0400
    0.1124
    1.1914
resids =
    0.1321
   -0.1642
   -0.0909
    0.0310
    0.1142
    0.0498
   -0.0262
    0.3115
   -0.0292
    0.1096
    0.0716
   -0.1501
   -0.3026
J =
    6.8739  -90.6536  -57.8640   -1.9288    0.1614
    3.4454  -48.5357  -13.6240   -1.7030    0.3034
    5.3563  -41.2099  -26.3042  -10.5217    1.5095
    1.6950    0.1091    0.0186    0.0279    1.7913
    2.2967  -35.5658   -6.0537   -0.7567    0.2023
   11.8670  -89.5655 -170.1745   -8.9566    0.4400
    4.4973  -14.4262  -11.5409   -9.3770    2.5744
    4.1831  -41.7896  -16.8937   -5.7794    1.0082
   11.8286  -51.3721 -154.1164  -27.7410    1.5001
    9.1514  -25.5948  -76.7844  -30.7138    2.5790
    3.3373    0.0900    0.0720    0.1080    3.5269
    9.3663 -102.0611 -107.4327   -3.5811    0.2200
    4.7512  -24.4631  -16.3087  -10.3002    2.1141
>>ci = nlparci(beta,resids,J)
ci =
   -0.7467    3.2519
   -0.0377    0.1632
   -0.0312    0.1113
   -0.0609    0.2857
   -0.7381    3.1208
命令  非线性拟合和显示交互图形
函数  nlintool
格式  nlintool(x,y,FUN,beta0)   %返回数据(x,y)的非线性曲线的预测图形，它用2条红色曲线预测全局置信区间。beta0为参数的初始预测值，置信度为95%。
nlintool(x,y,FUN,beta0,alpha)   %置信度为(1-alpha)×100%
例4-67  调用MATLAB数据
>> load reaction
>> nlintool(reactants,rate,'hougen',beta)
 
图4-20
命令  非线性模型置信区间预测
函数  nlpredci
格式  ypred = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J)   % ypred 为预测值，FUN与前面相同，beta为给出的适当参数，r为残差，J为Jacobian矩阵，inputs为非线性函数中的独立变量的矩阵值。
[ypred,delta] = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J)    %delta为非线性最小二乘法估计的置信区间长度的一半，当r长度超过beta的长度并且J的列满秩时，置信区间的计算是有效的。[ypred-delta,ypred+delta]为置信度为95%的不同步置信区间。
ypred = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J,alpha,'simopt','predopt')   %控制置信区间的类型，置信度为100(1-alpha)%。'simopt' = 'on' 或'off' (默认值)分别表示同步或不同步置信区间。'predopt'='curve' (默认值) 表示输入函数值的置信区间， 'predopt'='observation' 表示新响应值的置信区间。nlpredci可以用nlinfit函数的输出作为其输入。
例4-68  续前例，在[100  300  80]处的预测函数值ypred和置信区间一半宽度delta
>> load reaction
>> [beta,resids,J] = nlinfit(reactants,rate,@hougen,beta);
>> [ypred,delta] = nlpredci(@hougen,[100 300 80],beta,resids,J)
结果为：
ypred =
   10.9113
delta =
    0.3195
命令  非负最小二乘
函数  nnls（该函数已被函数lsnonneg代替，在6.0版中使用nnls将产生警告信息）
格式  x = nnls(A,b)   %最小二乘法判断方程A×x=b的解，返回在x≥0的条件下使得 最小的向量x，其中A和b必须为实矩阵或向量。
x = nnls(A,b,tol)    % tol为指定的误差
[x,w] = nnls(A,b)   %当x中元素 时， ，当 时 。
[x,w] = nnls(A,b,tol)
例4- 69  
>> A =[0.0372 0.2869;0.6861 0.7071;0.6233 0.6245;0.6344 0.6170]；
>> b=[0.8587 0.1781 0.0747 0.8405]'；
>> x=nnls(A,b)
Warning: NNLS is obsolete and has been replaced by LSQNONNEG.
NNLS now calls LSQNONNEG which uses the following syntax:
[X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA]
=lsqnonneg(A,b,X0, Options) ;
Use OPTIMSET to define optimization options, or type
'edit nnls' to view the code used here.  NNLS will be
removed in the future; please use NNLS with the new syntax.
x =
         0
    0.6929
命令  有非负限制的最小二乘
函数  lsqnonneg
格式  x = lsqnonneg(C,d)   %返回在x≥0的条件下使得 最小的向量x，其中C和d必须为实矩阵或向量。
x = lsqnonneg(C,d,x0)  % x0为初始点，x0≥0
x = lsqnonneg(C,d,x0,options)   %options为指定的优化参数，参见options函数。
[x,resnorm] = lsqnonneg(…)   %resnorm表示norm(C*x-d).^2的残差
[x,resnorm,residual] = lsqnonneg(…)   %residual表示C*x-d的残差
例4- 70 
>> A =[0.0372 0.2869;0.6861 0.7071;0.6233 0.6245;0.6344 0.6170]；
>> b=[0.8587 0.1781 0.0747 0.8405]'；
>> [x,resnorm,residual] = lsqnonneg(A,b)
x =
         0
    0.6929
resnorm =
    0.8315
residual =
    0.6599
   -0.3119
   -0.3580
    0.4130
4.7.3  对数似然函数
命令  负 分布的对数似然函数
函数  Betalike
格式  logL=betalike(params,data)   %返回负 分布的对数似然函数，params为向量[a, b]，是 分布的参数，data为样本数据。
[logL,info]=betalike(params,data)   %返回Fisher逆信息矩阵info。如果params 中输入的参数是极大似然估计值，那么info的对角元素为相应参数的渐近方差。
说明  betalike是 分布最大似然估计的实用函数。似然函数假设数据样本中，所有的元素相互独立。因为betalike返回负 对数似然函数，用fmins函数最小化betalike与最大似然估计的功能是相同的。
例4-71  本例所取的数据是随机产生的 分布数据。
>>r = betarnd(3,3,100,1);
>>[logL,info] = betalike([2.1234,3.4567],r)
logL =
     -12.4340
info =
      0.1185    0.1364
      0.1364    0.2061
命令  负 分布的对数似然估计
函数  Gamlike
格式  logL=gamlike(params,data)  %返回由给定样本数据data确定的 分布的参数为params（即[a，b]）的负对数似然函数值
      [logL,info]=gamlike(params,data)   %返回Fisher逆信息矩阵info。如果params中输入的参数是极大似然估计值，那么info的对角元素为相应参数的渐近方差。
说明  gamlike是 分布的最大似然估计函数。因为gamlike返回 对数似然函数值，故用fmins函数将gamlike最小化后，其结果与最大似然估计是相同的。
例4-72
>>r=gamrnd(2,3,100,1);
>>[logL,info]=gamlike([2.4212, 2.5320],r)
logL =
     275.4602
info =
   0.0453   -0.0538
    -0.0538    0.0867
命令  负正态分布的对数似然函数
函数  normlike
格式  logL=normlike(params,data)   %返回由给定样本数据data确定的、负正态分布的、参数为params(即[mu，sigma])的对数似然函数值。
      [logL,info]=normlike(params,data)   %返回Fisher逆信息矩阵info。如果params中输入的参数是极大似然估计值，那么info的对角元素为相应参数的渐近方差。
命令  威布尔分布的对数似然函数