2.txt

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功能  二维数据内插值（表格查找）
格式  ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI)   %返回矩阵ZI，其元素包含对应于参量XI与YI（可以是向量、或同型矩阵）的元素，即Zi(i,j)←[Xi(i,j),yi(i,j)]。用户可以输入行向量和列向量Xi与Yi，此时，输出向量Zi与矩阵meshgrid(xi,yi)是同型的。同时取决于由输入矩阵X、Y与Z确定的二维函数Z=f(X,Y)。参量X与Y必须是单调的，且相同的划分格式，就像由命令meshgrid生成的一样。若Xi与Yi中有在X与Y范围之外的点，则相应地返回nan（Not a Number）。
ZI = interp2(Z,XI,YI)      %缺省地，X=1:n、Y=1:m，其中[m,n]=size(Z)。再按第一种情形进行计算。
ZI = interp2(Z,n)         %作n次递归计算，在Z的每两个元素之间插入它们的二维插值，这样，Z的阶数将不断增加。interp2(Z)等价于interp2(z,1)。
ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,method)   %用指定的算法method计算二维插值：
’linear’：双线性插值算法（缺省算法）；
’nearest’：最临近插值；
’spline’：三次样条插值；
’cubic’：双三次插值。
例2-33：
>>[X,Y] = meshgrid(-3:.25:3);
>>Z = peaks(X,Y);
>>[XI,YI] = meshgrid(-3:.125:3);
>>ZZ = interp2(X,Y,Z,XI,YI);
>>surfl(X,Y,Z);hold on;
>>surfl(XI,YI,ZZ+15)
>>axis([-3 3 -3 3 -5 20]);shading flat
>>hold off
插值图形为图2-17。
例2-34
>>years = 1950:10:1990;
>>service = 10:10:30;
>>wage = [150.697 199.592 187.625
       179.323 195.072 250.287
       203.212 179.092 322.767
       226.505 153.706 426.730
       249.633 120.281 598.243];
>>w = interp2(service,years,wage,15,1975)
插值结果为：
w =
190.6288
命令3  interp3
功能  三维数据插值（查表）
格式  VI = interp3(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI)   %找出由参量X,Y,Z决定的三元函数V=V(X,Y,Z)在点（XI,YI,ZI）的值。参量XI,YI,ZI是同型阵列或向量。若向量参量XI,YI,ZI是不同长度，不同方向（行或列）的向量，这时输出参量VI与Y1,Y2,Y3为同型矩阵。其中Y1,Y2,Y3为用命令meshgrid(XI,YI,ZI)生成的同型阵列。若插值点(XI,YI,ZI)中有位于点(X,Y,Z)之外的点，则相应地返回特殊变量值NaN。
VI = interp3(V,XI,YI,ZI)     %缺省地，X=1:N，Y=1:M，Z=1:P，其中，[M,N,P]=size(V)，再按上面的情形计算。
VI = interp3(V,n)             %作n次递归计算，在V的每两个元素之间插入它们的三维插值。这样，V的阶数将不断增加。interp3(V)等价于interp3(V,1)。
VI = interp3(…,method)         %用指定的算法method作插值计算：
                    ‘linear’：线性插值（缺省算法）；
                    ‘cubic’：三次插值；
                    ‘spline’：三次样条插值；
                    ‘nearest’：最邻近插值。
说明  在所有的算法中，都要求X,Y,Z是单调且有相同的格点形式。当X,Y,Z是等距且单调时，用算法’*linear’，’*cubic’，’*nearest’，可得到快速插值。
例2-35
>>[x,y,z,v] = flow(20); 
>>[xx,yy,zz] = meshgrid(.1:.25:10, -3:.25:3, -3:.25:3);
>>vv = interp3(x,y,z,v,xx,yy,zz); 
>>slice(xx,yy,zz,vv,[6 9.5],[1 2],[-2 .2]); shading interp;colormap cool
插值图形为图2-18。
 
图2-18  三维插值图
命令4  interpft
功能  用快速Fourier算法作一维插值
格式  y = interpft(x,n)   %返回包含周期函数x在重采样的n个等距的点的插值y。若length(x)=m，且x有采样间隔dx，则新的y的采样间隔dy=dx*m/n。注意的是必须n≥m。若x为一矩阵，则按x的列进行计算。返回的矩阵y有与x相同的列数，但有n行。
y = interpft(x,n,dim)     %沿着指定的方向dim进行计算
命令5  griddata
功能  数据格点
格式  ZI = griddata(x,y,z,XI,YI)   %用二元函数z=f(x,y)的曲面拟合有不规则的数据向量x,y,z。griddata将返回曲面z在点（XI,YI）处的插值。曲面总是经过这些数据点（x,y,z）的。输入参量（XI,YI）通常是规则的格点（像用命令meshgrid生成的一样）。XI可以是一行向量，这时XI指定一有常数列向量的矩阵。类似地，YI可以是一列向量，它指定一有常数行向量的矩阵。
[XI,YI,ZI] = griddata(x,y,z,xi,yi)   %返回的矩阵ZI含义同上，同时，返回的矩阵XI,YI是由行向量xi与列向量yi用命令meshgrid生成的。
[…] = griddata(…,method)         %用指定的算法method计算：
                  ‘linear’：基于三角形的线性插值（缺省算法）；
                  ‘cubic’： 基于三角形的三次插值；
                  ‘nearest’：最邻近插值法；
                  ‘v4’：MATLAB 4中的griddata算法。
命令6  spline
功能  三次样条数据插值
格式  yy = spline(x,y,xx)   %对于给定的离散的测量数据x,y（称为断点），要寻找一个三项多项式 ，以逼近每对数据(x,y)点间的曲线。过两点 和 只能确定一条直线，而通过一点的三次多项式曲线有无穷多条。为使通过中间断点的三次多项式曲线具有唯一性，要增加两个条件（因为三次多项式有4个系数）：
1．三次多项式在点 处有：  ；
2．三次多项式在点 处有： ；
3．p(x)在点 处的斜率是连续的（为了使三次多项式具有良好的解析性，加上的条件）；
4．p(x)在点 处的曲率是连续的；
对于第一个和最后一个多项式，人为地规定如下条件：
                  ①． 
                  ②． 
                上述两个条件称为非结点(not-a-knot)条件。综合上述内容，可知对数据拟合的三次样条函数p(x)是一个分段的三次多项式：
                 ，其中每段 都是三次多项式。
                该命令用三次样条插值计算出由向量x与y确定的一元函数y=f(x)在点xx处的值。若参量y是一矩阵，则以y的每一列和x配对，再分别计算由它们确定的函数在点xx处的值。则yy是一阶数为length(xx)*size(y,2)的矩阵。
pp = spline(x,y)   %返回由向量x与y确定的分段样条多项式的系数矩阵pp，它可用于命令ppval、unmkpp的计算。
例2-36
对离散地分布在y=exp(x)sin(x)函数曲线上的数据点进行样条插值计算：
    >>x = [0 2 4 5 8 12 12.8 17.2 19.9 20];  y = exp(x).*sin(x);
    >>xx = 0:.25:20;
    >>yy = spline(x,y,xx);
    >>plot(x,y,'o',xx,yy)
插值图形结果为图2-19。
 
图2-19  三次样条插值
命令7  interpn
功能  n维数据插值（查表）
格式  VI = interpn(X1,X2,,…,Xn,V,Y1,Y2,…,Yn)   %返回由参量X1,X2,…,Xn,V确定的n元函数V=V(X1,X2,…,Xn)在点（Y1,Y2,…,Yn）处的插值。参量Y1,Y2,…,Yn是同型的矩阵或向量。若Y1,Y2,…,Yn是向量，则可以是不同长度，不同方向（行或列）的向量。它们将通过命令ndgrid生成同型的矩阵，再作计算。若点(Y1,Y2,…,Yn)中有位于点（X1,X2,…,Xn）之外的点，则相应地返回特殊变量NaN。
VI = interpn(V,Y1,Y2,…,Yn)   %缺省地，X1=1:size(V,1)，X2=1:size(V,2)，…，Xn=1:size(V,n)，再按上面的情形计算。
VI = interpn(V,ntimes)   %作ntimes次递归计算，在V的每两个元素之间插入它们的n维插值。这样，V的阶数将不断增加。interpn(V)等价于interpn(V,1)。
VI = interpn(…,method)   %用指定的算法method计算：
                   ‘linear’：线性插值（缺省算法）；
                   ‘cubic’：三次插值；
                   ‘spline’：三次样条插值法；
                   ‘nearest’：最邻近插值算法。
命令8  meshgrid
功能  生成用于画三维图形的矩阵数据。
格式  [X,Y] = meshgrid(x,y)   将由向量x，y（可以是不同方向的）指定的区域[min(x)，max(x)，min(y)，max(y)]用直线x=x(i),y=y(j)（i=1,2,…,length(x) ，j=1,2,…,length(y)）进行划分。这样，得到了length(x)*length(y)个点，这些点的横坐标用矩阵X表示，X的每个行向量与向量x相同；这些点的纵坐标用矩阵Y表示，Y的每个列向量与向量y相同。其中X,Y可用于计算二元函数z=f(x,y)与三维图形中xy平面矩形定义域的划分或曲面作图。
[X,Y] = meshgrid(x)        %等价于[X,Y]=meshgrid(x,x)。
[X,Y,Z] = meshgrid(x,y,z)   %生成三维阵列X,Y,Z，用于计算三元函数v=f(x,y,z)或三维容积图。
例2-37
    [X,Y] = meshgrid(1:3,10:14)
计算结果为：
    X = 
       1     2     3
       1     2     3
       1     2     3
       1     2     3
       1     2     3
   Y =
      10    10    10
      11    11    11
      12    12    12
      13    13    13
      14    14    14
命令9  ndgrid
功能  生成用于多维函数计算或多维插值用的阵列
格式  [X1,X2,…,Xn] = ndgrid(x1,x2,…,xn)  %把通过向量x1,x2,x3…,xn指定的区域转换为数组x1,x2,x3,…,xn。这样，得到了   length(x1)* length(x2)*…*length(xn)个点，这些点的第一维坐标用矩阵X1表示，X1的每个第一维向量与向量x1相同；这些点的第二维坐标用矩阵X2表示，X2的每个第二维向量与向量x2相同；如此等等。其中X1,X2,…,Xn可用于计算多元函数y=f(x1,x2,…,xn)以及多维插值命令用到的阵列。
[X1,X2,…,Xn] = ndgrid(x)   %等价于[X1,X2,…,Xn] = ndgrid(x,x,…,x)
2.2.2  查表命令
命令1  table1
功能  一维查表
格式  Y = table1(TAB,X0)   %返回用表格矩阵TAB中的行线性插值元素，对X0（TAB的第一列查找X0）进行线性插值得到的结果Y。矩阵TAB是第一列包含关键值，而其他列包含数据的矩阵。X0中的每一元素将相应地返回一线性插值行向量。矩阵TAB的第一列必须是单调的。
例2-38  
>>tab = [(1:4)' hilb(4)]
>>y = table1(tab,[1 2.3 3.6 4])
查表结果为：
tab =
      1.0000    1.0000    0.5000    0.3333    0.2500
      2.0000    0.5000    0.3333    0.2500    0.2000
      3.0000    0.3333    0.2500    0.2000    0.1667
      4.0000    0.2500    0.2000    0.1667    0.1429
Warning: TABLE1 is obsolete and will be removed in future versions.  Use INTERP1 or INTERP1Q instead.
> In D:\MATLABR12\toolbox\matlab\polyfun\table1.m at line 31
y =
    1.0000    0.5000    0.3333    0.2500
    0.4500    0.3083    0.2350    0.1900
    0.2833    0.2200    0.1800    0.1524
    0.2500    0.2000    0.1667    0.1429
由上面结果可知，table1是一将要废弃的命令。
命令2  table2
功能  二维查表
格式  Z = table1(TAB,X0,Y0)   %返回用表格矩阵TAB中的行与列交叉线性线性插值元素，对X0（TAB的第一列查找X0）进行线性插值，对Y0（TAB的第一行查找Y0）进行线性插值，对上述两个数值进行交叉线性插值，得到的结果为Z。矩阵TAB是第一列与第一行列都包含关键值，而其他的元素包含数据的矩阵。TAB(1,1)的关键值将被忽略。[X0,Y0]中的每点将相应地返回一线性插值。矩阵TAB的第一行与第一列必须是单调的。
例2-39
>>tab = [NaN 1:4; (1:4)' magic(4)]
>>y = table2(tab,[2 3 3.7],[1.3 2.3 4])
查表的结果为：
tab =
      NaN     1     2     3     4
        1    16     2     3    13
        2     5    11    10     8
        3     9     7     6    12
        4     4    14    15     1
 Warning: TABLE2 is obsolete and will be removed in future versions.  Use INTERP2 instead.
 > In D:\MATLABR12\toolbox\matlab\polyfun\table2.m at line 24
 Warning: TABLE1 is obsolete and will be removed in future versions.  Use INTERP1 or INTERP1Q instead.
 > In D:\MATLABR12\toolbox\matlab\polyfun\table1.m at line 31
 In D:\MATLABR12\toolbox\matlab\polyfun\table2.m at line 29
 Warning: TABLE1 is obsolete and will be removed in future versions.  Use INTERP1 or INTERP1Q instead.
 > In D:\MATLABR12\toolbox\matlab\polyfun\table1.m at line 31
 In D:\MATLABR12\toolbox\matlab\polyfun\table2.m at line 31
 y =
    6.8000   10.7000    8.0000
    8.4000    6.7000   12.0000
    7.4200   12.0200    4.3000
由上面的结果可知，table2是将要废弃的命令。
2.3  数值积分
2.3.1  一元函数的数值积分
函数1  quad、quadl、quad8
功能  数值定积分，自适应Simpleson积分法。
格式  q = quad(fun,a,b)    %近似地从a到b计算函数fun的数值积分，误差为10-6。若给fun输入向量x，应返回向量y，即fun是一单值函数。
q = quad(fun,a,b,tol)   %用指定的绝对误差tol代替缺省误差。tol越大，函数计算的次数越少，速度越快，但结果精度变小。
q = quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,…)    %将可选参数p1,p2,…等传递给函数fun(x,p1,p2,…)，再作数值积分。若tol=[]或trace=[]，则用缺省值进行计算。
[q,n] = quad(fun,a,b,…)  %同时返回函数计算的次数n
… = quadl(fun,a,b,…)   %用高精度进行计算，效率可能比quad更好。
… = quad8(fun,a,b,…)   %该命令是将废弃的命令，用quadl代替。
例2-40
>>fun = inline(‘’3*x.^2./(x.^3-2*x.^2+3)’);
>>Q1 = quad(fun,0,2)
>>Q2 = quadl(fun,0,2)
计算结果为：
Q1 =
    3.7224
Q2 =
    3.7224
函数2  trapz
功能  梯形法数值积分
格式  T = trapz(Y)       %用等距梯形法近似计算Y的积分。若Y是一向量，则trapz(Y)为Y的积分；若Y是一矩阵，则trapz(Y)为Y的每一列的积分；若Y是一多维阵列，则trapz(Y)沿着Y的第一个非单元集的方向进行计算。
T = trapz(X,Y)     %用梯形法计算Y在X点上的积分。若X为一列向量，Y为矩阵，且size(Y,1) = length(X)，则trapz(X,Y)通过Y的第一个非单元集方向进行计算。
T = trapz(…,dim)   %沿着dim指定的方向对Y进行积分。若参量中包含X，则应有length(X)=size(Y,dim)。
例2-41
>>X = -1:.1:1;
>>Y = 1./(1+25*X.^2);
>>T = trapz(X,Y)
计算结果为：
T =
    0.5492
函数3  rat,rats
功能  有理分式近似。虽然所有的浮点数值都是有理数，有时用简单的有理数字（分子与分母都是较小的整数）近似地表示它们是有必要的。函数rat将试图做到这一点。对于有连续出现的小数的数值，将会用有理式近似表示它们。函数rats调用函数rat，且返回字符串。
格式  [N,D] = rat(X)       %对于缺省的误差1.e-6*norm(X(:),1)，返回阵列N与D，使N./D近似为X。
[N,D] = rat(X,tol)    %在指定的误差tol范围内，返回阵列N与D，使N./D近似为X。
rat(X)、rat(X…)      %在没有输出参量时，简单地显示x的连续分数。
S = rats(X,strlen)     %返回一包含简单形式的、X中每一元素的有理近似字符串S，若对于分配的空间中不能显示某一元素，则用星号表示。该元素与X中其他元素进行比较而言较小，但并非是可以忽略。参量strlen为函数rats中返回的字符串元素的长度。缺省值为strlen=13，这允许在78个空格中有6个元素。
S = rats(X)         %返回与用MATLAB命令format rat显示 X相同的结果给S。
例2-42
>>s = 1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7
>>format rat
>>S1 = rats(s)
>>S2 = rat(s)
>>[n,d] = rat(s)
>>PI1 = rats(pi)
>>PI2 = rat(pi)
计算结果为：
s =
    0.7595
S1 =
    319/420   
S2 =
    1 + 1/(-4 + 1/(-6 + 1/(-3 + 1/(-5))))
n =
    319      
d =
    420      
PI1 =
    355/113   
PI2 =
3 + 1/(7 + 1/(16))
2.3.2  二元函数重积分的数值计算
函数1  dblquad
功能  矩形区域上的二重积分的数值计算
格式  q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)    %调用函数quad在区域[xmin,xmax, ymin,ymax]上计算二元函数z=f(x,y)的二重积分。输入向量x，标量y，则f(x,y)必须返回一用于积分的向量。
q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol)   %用指定的精度tol代替缺省精度10-6，再进行计算。
q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method)   %用指定的算法method代替缺省算法quad。method的取值有@quadl或用户指定的、与命令quad与quadl有相同调用次序的函数句柄。
q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method,p1,p2,…)   %将可选参数p1,p2,..等传递给函数fun(x,y,p1,p2,…)。若tol=[]，method=[]，则使用缺省精度和算法quad。
例2-43
>>fun = inline(’y./sin(x)+x.*exp(y)’);
>>Q = dblquad(fun,1,3,5,7)
计算结果为：
Q =
  3.8319e+003
函数2  quad2dggen
功能  任意区域上二元函数的数值积分
格式  q = quad2dggen(fun,xlower,xupper,ymin,ymax)  %在由[xlower,xupper, ymin,ymax]指定的区域上计算二元函数z=f(x,y)的二重积分。
q = dblquad(fun,xlower,xupper,ymin,ymax,tol)  %用指定的精度tol代替缺省精度10-6，再进行计算。
q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method)   %用指定的算法method代替缺省算法。method的取值有缺省算法或用户指定的、与缺省命令有相同调用次序的函数句柄。