chap6-3-1.htm.primary

加密与解密,软件加密保护技术与解决方案,看雪文档!

  m&nbsp;是任一质数,&nbsp;n&nbsp;是任一整数,&nbsp;则&nbsp;n^m&nbsp;==&nbsp;n&nbsp;mod&nbsp;m&nbsp;<br>
  (换另一句话说,&nbsp;如果&nbsp;n&nbsp;和&nbsp;m&nbsp;互质,&nbsp;则&nbsp;n^(m-1)&nbsp;==&nbsp;1&nbsp;mod&nbsp;m)&nbsp;<br>
  运用一些基本的群论的知识,&nbsp;就可以很容易地证出费马小定理的........&nbsp;<br>
  &nbsp;<br>
  &lt;证明&gt;&nbsp;<br>
  因为&nbsp;rm&nbsp;==&nbsp;1&nbsp;mod&nbsp;(p-1)(q-1),&nbsp;所以&nbsp;rm&nbsp;=&nbsp;k(p-1)(q-1)&nbsp;+&nbsp;1,&nbsp;其中&nbsp;k&nbsp;是整数&nbsp;<br>
  因为在&nbsp;modulo&nbsp;中是&nbsp;preserve&nbsp;乘法的&nbsp;<br>
  (x&nbsp;==&nbsp;y&nbsp;mod&nbsp;z&nbsp;&nbsp;and&nbsp;&nbsp;u&nbsp;==&nbsp;v&nbsp;mod&nbsp;z&nbsp;&nbsp;=&gt;&nbsp;&nbsp;xu&nbsp;==&nbsp;yv&nbsp;mod&nbsp;z),&nbsp;<br>
  所以,&nbsp;c&nbsp;==&nbsp;b^r&nbsp;==&nbsp;(a^m)^r&nbsp;==&nbsp;a^(rm)&nbsp;==&nbsp;a^(k(p-1)(q-1)+1)&nbsp;mod&nbsp;pq&nbsp;<br>
  &nbsp;<br>
  1.&nbsp;如果&nbsp;a&nbsp;不是&nbsp;p&nbsp;的倍数,&nbsp;也不是&nbsp;q&nbsp;的倍数时,&nbsp;<br>
  &nbsp;&nbsp;&nbsp;则&nbsp;a^(p-1)&nbsp;==&nbsp;1&nbsp;mod&nbsp;p&nbsp;(费马小定理)&nbsp;&nbsp;=&gt;&nbsp;&nbsp;a^(k(p-1)(q-1))&nbsp;==&nbsp;1&nbsp;mod&nbsp;p&nbsp;<br>
  &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;a^(q-1)&nbsp;==&nbsp;1&nbsp;mod&nbsp;q&nbsp;(费马小定理)&nbsp;&nbsp;=&gt;&nbsp;&nbsp;a^(k(p-1)(q-1))&nbsp;==&nbsp;1&nbsp;mod&nbsp;q&nbsp;<br>
  &nbsp;&nbsp;&nbsp;所以&nbsp;p,&nbsp;q&nbsp;均能整除&nbsp;a^(k(p-1)(q-1))&nbsp;-&nbsp;1&nbsp;&nbsp;=&gt;&nbsp;&nbsp;pq&nbsp;|&nbsp;a^(k(p-1)(q-1))&nbsp;-&nbsp;1&nbsp;<br>
  &nbsp;&nbsp;&nbsp;即&nbsp;a^(k(p-1)(q-1))&nbsp;==&nbsp;1&nbsp;mod&nbsp;pq&nbsp;<br>
  &nbsp;&nbsp;&nbsp;=&gt;&nbsp;&nbsp;c&nbsp;==&nbsp;a^(k(p-1)(q-1)+1)&nbsp;==&nbsp;a&nbsp;mod&nbsp;pq&nbsp;<br>
  &nbsp;<br>
  2.&nbsp;如果&nbsp;a&nbsp;是&nbsp;p&nbsp;的倍数,&nbsp;但不是&nbsp;q&nbsp;的倍数时,&nbsp;<br>
  &nbsp;&nbsp;&nbsp;则&nbsp;a^(q-1)&nbsp;==&nbsp;1&nbsp;mod&nbsp;q&nbsp;(费马小定理)&nbsp;<br>
  &nbsp;&nbsp;&nbsp;=&gt;&nbsp;&nbsp;a^(k(p-1)(q-1))&nbsp;==&nbsp;1&nbsp;mod&nbsp;q&nbsp;<br>
  &nbsp;&nbsp;&nbsp;=&gt;&nbsp;&nbsp;c&nbsp;==&nbsp;a^(k(p-1)(q-1)+1)&nbsp;==&nbsp;a&nbsp;mod&nbsp;q&nbsp;<br>
  &nbsp;&nbsp;&nbsp;=&gt;&nbsp;&nbsp;q&nbsp;|&nbsp;c&nbsp;-&nbsp;a&nbsp;<br>
  &nbsp;&nbsp;&nbsp;因&nbsp;p&nbsp;|&nbsp;a&nbsp;<br>
  &nbsp;&nbsp;&nbsp;=&gt;&nbsp;&nbsp;c&nbsp;==&nbsp;a^(k(p-1)(q-1)+1)&nbsp;==&nbsp;0&nbsp;mod&nbsp;p&nbsp;<br>
  &nbsp;&nbsp;&nbsp;=&gt;&nbsp;&nbsp;p&nbsp;|&nbsp;c&nbsp;-&nbsp;a&nbsp;<br>
  &nbsp;&nbsp;&nbsp;所以,&nbsp;pq&nbsp;|&nbsp;c&nbsp;-&nbsp;a&nbsp;&nbsp;=&gt;&nbsp;&nbsp;c&nbsp;==&nbsp;a&nbsp;mod&nbsp;pq&nbsp;<br>
  &nbsp;<br>
  3.&nbsp;如果&nbsp;a&nbsp;是&nbsp;q&nbsp;的倍数,&nbsp;但不是&nbsp;p&nbsp;的倍数时,&nbsp;证明同上&nbsp;<br>
  &nbsp;<br>
  4.&nbsp;如果&nbsp;a&nbsp;同时是&nbsp;p&nbsp;和&nbsp;q&nbsp;的倍数时,&nbsp;<br>
  &nbsp;&nbsp;&nbsp;则&nbsp;pq&nbsp;|&nbsp;a&nbsp;<br>
  &nbsp;&nbsp;&nbsp;=&gt;&nbsp;&nbsp;c&nbsp;==&nbsp;a^(k(p-1)(q-1)+1)&nbsp;==&nbsp;0&nbsp;mod&nbsp;pq&nbsp;<br>
  &nbsp;&nbsp;&nbsp;=&gt;&nbsp;&nbsp;pq&nbsp;|&nbsp;c&nbsp;-&nbsp;a&nbsp;<br>
  &nbsp;&nbsp;&nbsp;=&gt;&nbsp;&nbsp;c&nbsp;==&nbsp;a&nbsp;mod&nbsp;pq&nbsp;<br>
  &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Q.E.D.&nbsp;<br>
  &nbsp;<br>
  &nbsp;<br>
  这个定理说明&nbsp;a&nbsp;经过编码为&nbsp;b&nbsp;再经过解码为&nbsp;c&nbsp;时,&nbsp;a&nbsp;==&nbsp;c&nbsp;mod&nbsp;n&nbsp;&nbsp;(n&nbsp;=&nbsp;pq)....&nbsp;<br>
  但我们在做编码解码时,&nbsp;限制&nbsp;0&nbsp;&lt;=&nbsp;a&nbsp;&lt;&nbsp;n,&nbsp;0&nbsp;&lt;=&nbsp;c&nbsp;&lt;&nbsp;n,&nbsp;<br>
  所以这就是说&nbsp;a&nbsp;等於&nbsp;c,&nbsp;所以这个过程确实能做到编码解码的功能.....&nbsp;</font></p>
<p><font color=#24bf71><font color="#000000"><span class="p9">二、</span></font></font><span class="p9"><font color=#24bf71><font color="#000000">RSA 
  的安全性</font></font></span></p>
<p align="left" class="p9"><font color=#24bf71><font color="#000000">RSA的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，因为没有证明破解 
  RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法，那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前， RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分解。不管怎样，分解n是最显然的攻击方法。现在，人们已能分解多个十进制位的大素数。因此，模数n 
  必须选大一些，因具体适用情况而定。</font></font></p>
<p align="left" class="p9"><span class="p9">三、RSA的速度</span></p>
<p><span class="p9">由于进行的都是大数计算，使得RSA最快的情况也比DES慢上倍，无论是软件还是硬件实现。速度一直是RSA的缺陷。一般来说只用于少量数据加密。</span></p>
<p><span class="p9">四、RSA的选择密文攻击</span></p>
<p><span class="p9"> RSA在选择密文攻击面前很脆弱。一般攻击者是将某一信息作一下伪装( Blind)，让拥有私钥的实体签署。然后，经过计算就可得到它所想要的信息。实际上，攻击利用的都是同一个弱点，即存在这样一个事实：乘幂保留了输入的乘法结构： 
  <font color=#24bf71><font color="#000000"><br>
  <br>
  ( XM )^d = X^d *M^d mod n<br>
  <br>
  &nbsp; 前面已经提到，这个固有的问题来自于公钥密码系统的最有用的特征--每个人都能使用公钥。但从算法上无法解决这一问题，主要措施有两条：一条是采用好的公钥协议，保证工作过程中实体不对其他实体任意产生的信息解密，不对自己一无所知的信息签名；另一条是决不对陌生人送来的随机文档签名，签名时首先使用One-Way 
  HashFunction 对文档作HASH处理，或同时使用不同的签名算法。在中提到了几种不同类型的攻击方法。</font></font></span></p>
<p class="p9">五、RSA的公共模数攻击</p>
<p><span class="p9"><font color=#24bf71><font color="#000000">若系统中共有一个模数，只是不同的人拥有不同的e和d，系统将是危险的。最普遍的情况是同一信息用不同的公钥加密，这些公钥共模而且互质，那末该信息无需私钥就可得到恢复。设P为信息明文，两个加密密钥为e1和e2，公共模数是n，则：<br>
  <br>
  C1 = P^e1 mod n<br>
  <br>
  C2 = P^e2 mod n<br>
  <br>
  密码分析者知道n、e1、e2、C1和C2，就能得到P。<br>
  <br>
  因为e1和e2互质，故用Euclidean算法能找到r和s，满足：<br>
  <br>
  r * e1 + s * e2 = 1<br>
  <br>
  假设r为负数，需再用Euclidean算法计算C1^(-1)，则<br>
  <br>
  ( C1^(-1) )^(-r) * C2^s = P mod n<br>
  <br>
  &nbsp; 另外，还有其它几种利用公共模数攻击的方法。总之，如果知道给定模数的一对e和d，一是有利于攻击者分解模数，一是有利于攻击者计算出其它成对的e’和d’，而无需分解模数。解决办法只有一个，那就是不要共享模数n。<br>
  <br>
  &nbsp;&nbsp; RSA的小指数攻击。 有一种提高 RSA速度的建议是使公钥e取较小的值，这样会使加密变得易于实现，速度有<br>
  所提高。但这样作是不安全的，对付办法就是e和d都取较大的值。<br>
  <br>
  &nbsp;&nbsp; RSA算法是第一个能同时用于加密和数字签名的算法，也易于理解和操作。RSA是被研究得最广泛的公钥算法，从提出到现在已近二十年，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。即RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何，而且密码学界多数人士倾向于因子分解不是NPC问题。 
  RSA的缺点主要有：A)产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密。B)分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级；且随着大数分解技术的发展，这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。目前，SET( 
  Secure Electronic Transaction )协议中要求CA采用比特长的密钥，其他实体使用比特的密钥。</font></font></span></p>
<p align="center"><a href="../Catalog.htm"><img src="../image/navtoc.gif" width="84" height="23" border="0"></a><a href="Chap6-3.htm"><img src="../image/Navprev.gif" width="80" height="23" border="0"></a><a href="Chap6-3-2.htm"><img src="../image/navnext.gif" width="83" height="23" border="0"></a></p>
<hr width=735>
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</body>
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