曲线拟合2.txt

已知美国从1920-1970年的人口表如下： 年份 1920 1930 1940 1950 1960 1970 人口（千人） 105711 123203 131669 150697 17932

    已知美国从1920-1970年的人口表如下：

年份	1920     1930     1940     1950     1960     1970
人口（千人）	105711   123203   131669   150697   179323   203212
（1）用表中数据构造一个5次Lagrange插值多项式，并以此估计1965、2002年的人口。
（2）用Newton插值估算1965、2002年的人口数。

 插值的基本方法：根据一个给定的函数f(x)[f(x)是一个表达式很复杂，甚至写不出来的实函数]的函数值表，构造一个简单的函数g(x)，使得f(xk)=g(xk)
Langrange插值方法的基本思想：f(x)在[a,b]上具有n+1阶连续导数，有n＋1个插值节点满足a≤x0 ≤ x1 ≤…… ≤xn ≤b，Pn(x)是 f (x) 的n次 Lagrange插值多项式，已知y=f(x)的n+1个互异节点的值yi=f(xi) (i=0,1,2,…,n)，n次多项式pn(x) =a0+a1x+a2x2+…+anxn ,满足插值条件yi=pn(xi) 用构造基函数法，构造n+1个n次多项式（基函数）且连续函数p(x)能用基函数线性表出。
 Newton插值的基本方法：构造一个具有承袭性的newton插值公式：Nn(x)=c0+c1(x-x0)+c2(x-x0)(x-x1)+…+cn(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)并且要满足插值条件：Nn(x)=f(xi)可得到一个线性方程组，得出Newton插值公式：Nn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+…+f[x0,x1,…xn](x-x0)(x-x1)…(x-xn-1）
Newton插值多项式为：
Nn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+…+ f[x0,x1,…xn](x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)
最后利用Newton插值多项式估算未知点处的函数值。
  

（1）#include<iostream.h>
#include<iomanip.h>
#define MN 6
double X[]={1920,1930,1940,1950,1960,1970};
double Y[]={105711,123203,131669,150697,179323,203212};//观察值
double LB[MN],LT[MN],SUMLB=0,SUMLT=0;//f0存放基函数值 ,f1存放多项式各项的值LT[K]=Y[K]*LB[K]
double X0=1965;       //X0=2002;
void f0()             //计算基函数值
{
	cout<<"LB[K]"<<'\t';
	for(int i=0;i<MN;i++)
	{
		LB[i]=1;
		for(int j=0;j<MN;j++)
		{
			if(i==j)
				continue;
			LB[i]=LB[i]*(X0-X[j])/(X[i]-X[j]);
		}
		SUMLB+=LB[i];
		cout<<setw(15)<<LB[i];		
	}
	cout<<'\n';
}
void f1()
{
	cout<<"LT[K]"<<'\t';
	for(int i=0;i<MN;i++)
	{
		LT[i]=LB[i]*Y[i];
		SUMLT+=LT[i];
		cout<<setw(15)<<LT[i];
	}
	cout<<'\n';
}
void main()
{	
	cout.setf(ios::left);
	cout<<'\n'<<"Lagrange插值方法:"<<'\n';
	cout<<'k'<<'\t';
	for(int i=0;i<MN;i++)
		cout<<setw(15)<<i;
	cout<<'\n';
	for(i=0;i<MN;i++)
		cout<<setw(15)<<"---------------";
	cout<<'\n'<<"X[k]"<<'\t';
	for(i=0;i<MN;i++)
		cout<<setw(15)<<X[i];
	cout<<'\n'<<"Y[k]"<<'\t';
	for(i=0;i<MN;i++)
		cout<<setw(15)<<Y[i];
	cout<<'\n';
	f0();
	f1();
	for(i=0;i<MN;i++)
		cout<<setw(15)<<"---------------";	
	cout<<'\n'<<'\n'<<"  "<<"X0="<<X0;
	cout<<'\n'<<"  "<<"SUMLB="<<SUMLB<<'\n';
	cout<<"  "<<"SUMLT="<<SUMLT<<'\n';
	cout<<setw(15)<<"----------------"<<'\n';
}
（2）#include<iostream.h>
#include<iomanip.h>
#define MN 6
double X[]={1920,1930,1940,1950,1960,1970},Y[]={105711,123203,131669,150697,179323,203212};
double DQT[MN][MN],NT[MN],SUMNT=0;  //DQT保存差商 NT保存差值多项式各项的值
double X0=1965;       //X0=2002；
void f0()             //求差商函数
{
	double temp;
	for(int i=0;i<MN;i++)
	DQT[0][i]=Y[i];
	for(i=0;i<MN;i++)
	{
		for(int j=0;j<MN;j++)
		{
			if(j<=i)
			{
				DQT[i+1][j]=0;
				continue;
			}
			temp=DQT[i][j]-DQT[i][i];
			DQT[i+1][j]=temp/(X[j]-X[i]);
		}
		cout<<"Q["<<i<<"]"<<'\t';
		for(j=0;j<MN;j++)
		{
			cout<<setw(15)<<DQT[i][j];
		}
		cout<<'\n';
	}
}
void f1()           //牛顿插值函数
{	
	double temp;
	cout<<'\n'<<"NB[K]"<<'\t';
	for(int i=0;i<MN;i++)
	{
		temp=1;
		for(int j=0;j<i;j++)
			temp*=(X0-X[j]);   //计算基函数∏(x)
		cout<<setw(15)<<temp;
		NT[i]=DQT[i][i]*temp;	
		SUMNT+=NT[i];
	}
	cout<<'\n'<<"NT[K]"<<'\t';
	for(i=0;i<MN;i++)
		cout<<setw(15)<<NT[i];
	cout<<'\n';
}
void main()
{
	cout.setf(ios::left);
	cout<<"Newton插值方法:"<<'\n'<<"差商表:"<<'\n';
	for(int i=0;i<MN;i++)
	cout<<setw(15)<<"----------------";
	cout<<'\n'<<"K"<<'\t';
	for(i=0;i<MN;i++)
	cout<<setw(15)<<i;
	cout<<'\n';
	for(i=0;i<MN;i++)
	cout<<setw(15)<<"----------------";	
	cout<<'\n'<<"X[K]"<<'\t';
	for(i=0;i<MN;i++)
	cout<<setw(15)<<X[i];
	cout<<'\n';
	f0();
	for(i=0;i<MN;i++)
	cout<<setw(15)<<"----------------";
	cout<<'\n';	
	cout<<"X[K]"<<'\t';
	for(i=0;i<MN;i++)
	cout<<setw(15)<<X[i];
	cout<<'\n';	
	cout<<"Y[K]"<<'\t';
	for(i=0;i<MN;i++)
	cout<<setw(15)<<Y[i];
	cout<<'\n';	
	cout<<"F[K]"<<'\t';
	for(i=0;i<MN;i++)
	cout<<setw(15)<<DQT[i][i];
	f1();
	for(i=0;i<MN;i++)
	cout<<setw(15)<<"----------------";
	cout<<'\n';	
	cout<<'\n'<<"  X0="<<X0<<'\n';
	cout<<"  Y0="<<SUMNT<<'\n';
	cout<<setw(15)<<"----------------";
	cout<<'\n';	
}