exp2_1.m

使用matlab软件编制的计算程序

% exp2_1.m --- 学习非线性方程 f(x) = 0 数值求根命令fzero
% [调用]         X = fzero(FUN,X0), FUN 是函数,求 X0 附近的根
%           或   X = fzero(FUN,[a b]), 求 [a,b] 之间的根,这时 FUN(a) 与 FUN(b) 符号必须相反
% [注]  该命令集二分法, 割线法, 逆二次内插法于一体,
%       该命令只适用于奇重根,即在根的附近左右函数值反号

function study_fzero

% example1:求sin(x)在 3 附近的根  
X1 = fzero(@sin,3)             

% example2: 求 f1 在[0,1]之间的根, 其中 f1 是用内联方式定义的函数
f1 = inline('cos(x)-x'); 
X2 = fzero(f1,[0 1]) 

% example3: 求 f2 = x-exp(-x) = 0 的根
%           首先通过作图估计根的大致位置(近似值)

f2 = inline('x-exp(-x)');  % 定义函数
x = linspace(0,1,101);     % 采样: 把 [0,1] 100 等分,x 为 101 维的行向量
y = f2(x);                 % 计算 f2 的函数值,其维数同 x
plot(x,y,'r')              % 作图(就是把各个点连起来),颜色红色
grid on                    % 显示坐标刻度网格
title('f(x) = x - e^{-x} = 0 的根')              % 加标题
text(0.3,0,'根的大致位置\rightarrow')            % 加文字说明
                           % 通过作图知道在[0.5,0.6]之间有一个根

%           再调用 fzero 命令求更精确的近似值,参见 P23例6
X3 = fzero(f2,[0.5 0.6])




% ********  你的实验   ********

% ★【实验一】 割线法( 见P24 (2-13)式 )
% [方法]  设a,b为迭代初值,求两点(a,f(a)) 与 (b,f(b)) 的连线(割线)与 x 轴的交点记为 c
%         再把迭代初值换成 b,c,重复计算.
% [要求]  把下面程序复制为新的 M-文件,去掉开头的 % 
%         再把 '?' 部分改写正确就是一个完整的程序,找前面一个例子试算

% function mysecant
% f = inline('?');
% a = ?;  b = ?; 
% delta = ?; epsilon = ?; max1 = ?; 
% [c,err,iter,yc] = secant(f,a,b,delta,epsilon,max1)
%
% % ---------------------------------------------------------
% function [c,err,iter,yc] = secant(f,a,b,delta,epsilon,max1)
% % [c,err,iter,yc] = secant(f,a,b,delta,epsilon,max1)
% % 输入:  f 连续函数
% %        a,b 迭代初值
% %        delta,epsilon 容差
% %        max1 最大迭代次数
% % 输出:  c 近似根
% %        err 误差
% %        iter 迭代次数
% %        yc = f(c)
% 
% for k = 1:max1
%     ya = feval(f,a);            % ya = f(a)
%     yb = feval(f,b);
%     c = ?;                      % 割线与 x 轴交点的横坐标
%     
%     err = abs(c-b);             % 相邻两次迭代的误差
%     relerr = err/(abs(c)+eps);  % 相对误差,eps 是matlab常数(机器精度)约为1e-16
%                                 % 为什么分母要加上一个小常数?
%     
%     yc = feval(f,c); 
%     
%     if (err<delta) | (relerr<delta) | (abs(yc)<epsilon)  % '|'是'或'
%         break
%     end
%     
%     a = ?;
%     b = ?;
% end
% iter = ?;
% % -------------------------------------


% 【实验二】  绘制的隐函数的图像
% [方法]  众所周知,隐函数一般是不能用显式方式表示的, 故确定隐函数的大致图像是非常重要的.
%         对于方程 F(x,y) = 0 如果固定 x 就是一个关于 y 的非线性方程,我们可以通过求根的方法求出 y
%         因此只要对 x 离散化 x(k),k = 1,2,...,再求得 y(k) ,把点( (x(k),y(k)) )连起来
%         就能得到由方程 F(x,y) = 0 所确定的隐函数 y = f(x) 的大致图像
% [要求]  绘制由下面方程所确定的隐函数 y = f(x) 的图像
%                        y^3
%         F(x,y) = ———————— + x^2 - 4x = 0 ,     -5 <= x <= 5
%                   2 + 0.1sin(xy)
%         这里把 [-5,5] 用 linspace 命令100等分
%         第一次初值用 y0 = -4.6, 以后用 y(k) 作为下一次求 y(k+1) 的迭代初值(想一想有无道理?)
%         按照上面要求,请你把下面程序中的 '?' 部分填写正确了就是一个完整的程序
% [技巧]  由于 x(k) 变化, 每次函数 F[x(k),y] 也在变,你可以用一个全局变量解决此问题
% [注]    参考ezplot作图命令.


% % 隐函数作图
% function implicit_function
% global p                % 定义全局变量
% n = ?;
% x = linspace(?);
% y = zeros(1,n);         % 定义矩阵,初值是零,这是最常用的定义矩阵的方法
% y0 = -4.6;              % 第一次迭代初值
% for k = 1:n
%     p = ?;
%     y(k) = fzero(@fun,y0);
%     y0 = ?;
% end
% plot(?)                  % 作图
% title(?)                 % 加个标题
% %------------------------------
% function z = fun(y)      % 定义函数,这是最常用的定义函数的方式
% global p
% x = p;
% z = y^3/(2+0.1*sin(x*y))+x^2-4*x;