📄 ch5_3_2.htm
字号:
<! Made by Html Translation Ver 1.0><html><head><title> 特徵值与特徵向量 </title></head><body BACKGROUND="../img1/bg0000.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img/bg0000.gif"><script language="JAVASCRIPT"><!--if (navigator.onLine){document.write("<!-- Spidersoft WebZIP Ad Banner Insert -->");document.write("<TABLE width=100% border=0 cellpadding=0 cellspacing=0>");document.write("<TR>");document.write("<TD>");document.write("<ILAYER id=ad1 visibility=hidden height=60></ILAYER>");document.write("<NOLAYER>");document.write("<IFRAME SRC='http://www.spidersoft.com/ads/bwz468_60.htm' width=100% height=60 marginwidth=0 marginheight=0 hspace=0 vspace=0 frameborder=0 scrolling=no></IFRAME>");document.write("</NOLAYER>");document.write("</TD>");document.write("</TR>");document.write("</TABLE>");document.write("<!-- End of Spidersoft WebZIP Ad Banner Insert-->");} //--></script><!-- Spidersoft WebZIP Ad Banner Insert --><!-- End of Spidersoft WebZIP Ad Banner Insert--><font COLOR="#0000FF"><h1>5.3.2 特徵值与特徵向量</h1></font><hr><p>假设 <font FACE="Times New Roman">A</font>为一个 <img SRC="../img5/img00004.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img5/img00004.gif" WIDTH="38" HEIGHT="15"> 矩阵，而 <font FACE="Times New Roman">X </font>为一个有<i><font FACE="Times New Roman">n</font></i>列的栏向量，<img SRC="../img5/img00005.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img5/img00005.gif" WIDTH="16" HEIGHT="20">为一纯量。考虑以下的数学式 </p><p><img SRC="../img5/img00006.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img5/img00006.gif" WIDTH="70" HEIGHT="19"> </p><p>如果<font FACE="Times New Roman">X</font>由不为零的元素所组成，其中<img SRC="../img5/img00007.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img5/img00007.gif" WIDTH="16" HEIGHT="20">要满足上式称为矩阵<font FACE="Times New Roman">A</font>的特徵值<font FACE="Times New Roman">(eigenvalue)</font>，而<font FACE="Times New Roman">X</font>称为矩阵<font FACE="Times New Roman">A</font>的特徵向量 <font FACE="Times New Roman">(eigenvector)</font>。特徵向量代表一个正规正交<font FACE="Times New Roman">(orthonormal) </font>的向量组，所谓的正规正交向量，是指这向量与自身做 内积的值为一单位向量；在几何关系上是指二量相互垂直且此其内积值再做正规化<font FACE="Times New Roman">(normalization)</font>。<br></p><p>上式也可改写为 </p><p><img SRC="../img5/img00008.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img5/img00008.gif" WIDTH="98" HEIGHT="20"> </p><p>其中 <font FACE="Times New Roman">I </font>为<img SRC="../img5/img00009.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img5/img00009.gif" WIDTH="38" HEIGHT="15">单位矩阵。 <br></p><p><img SRC="../img5/img00010.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img5/img00010.gif" WIDTH="137" HEIGHT="49"> </p><p>则eigenvalue可以用特徵方程式计算 </p><p><img SRC="../img5/img00012.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img5/img00012.gif" WIDTH="330" HEIGHT="48"> </p><p>上述的二次方程式可求解二个根分别为<img SRC="../img5/img00013.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img5/img00013.gif" WIDTH="97" HEIGHT="22">，这二个值即为<font FACE="Times New Roman">A</font>的特徵值。而<font FACE="Times New Roman">A</font>的特徵向量求法如下 ，分别将任一特徵值代入<img SRC="../img5/img00014.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img5/img00014.gif" WIDTH="98" HEIGHT="20">。例如<img SRC="../img5/img00015.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img5/img00015.gif" WIDTH="62" HEIGHT="19"> </p><p><img SRC="../img5/img00016.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img5/img00016.gif" WIDTH="517" HEIGHT="51"> </p><p>另一个特徵值<img SRC="../img5/img00017.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img5/img00017.gif" WIDTH="62" HEIGHT="19">代入，可以得到另一个特徵向量为<img SRC="../img5/img00018.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img5/img00018.gif" WIDTH="52" HEIGHT="25">。我们可找到无限多个向量，满足上述的 特徵向量，例如 </p><p><img SRC="../img5/img00019.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img5/img00019.gif" WIDTH="364" HEIGHT="49"><br></p><p>因此要得到唯一的特徵向量，即是正交<font FACE="Times New Roman">(orthonormal)</font>特徵向量组<font FACE="Times New Roman">Q</font>，利用其特性<img SRC="../img5/img00020.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img5/img00020.gif" WIDTH="61" HEIGHT="26"> </p><p><img SRC="../img5/img00021.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img5/img00021.gif" WIDTH="414" HEIGHT="54"> </p><p>求解上式可得<img SRC="../img5/img00022.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img5/img00022.gif" WIDTH="112" HEIGHT="29">。所以对应的正交特徵向量组<font FACE="Times New Roman">Q</font>为 </p><p><img SRC="../img5/img00023.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img5/img00023.gif" WIDTH="122" HEIGHT="54"><br></p><p>在上述例子中，矩阵<font FACE="Times New Roman">A</font>很简单大小为<img SRC="../img5/img00024.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img5/img00024.gif" WIDTH="36" HEIGHT="19">，可以用手做演算。一但矩阵大小增加，以<font FACE="Times New Roman">MATLAB</font>内建函数做运 算，就很轻松。相关函数的语法为<font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">eig(A)</font>，得到一栏向量代表<font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">A</font>的特徵值；而<font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">[Q,d]=eig(A)</font>，其中<font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">Q</font>代表<font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">A</font>的特徵 向量，<font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">d</font>为一对角矩阵其元素代表<font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">A</font>的特徵值。 <br></p><p>在此示范上述例子 </p><p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> A = [0.5 0.25; 0.25 0.5];</font> </p><p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> [Q,d] = eig(A)</font> </p><p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">Q =</font> </p><p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">0.7071 0.7071</font> </p><p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">-0.7071 0.7071</font> </p><p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">d = % </font><font COLOR="#FF0000">注意在对角线上的值才是特徵值</font> </p><p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">0.2500 0</font> </p><p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">0 0.7500 <br></font></p><p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> Q*Q</font><font COLOR="#FF0000">' </font><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">% Q*Q</font><font COLOR="#FF0000">'</font><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">=I</font> </p><p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">ans=</font> </p><p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">1 0</font> </p><p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">0 1</font> </p><p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">>> A*Q(:,1); 0.25* Q(:,1) % </font><font COLOR="#FF0000">验证<img SRC="../img5/img00025.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img5/img00025.gif" WIDTH="64" HEIGHT="19">，注意</font><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">X=Q(:,1) </font><font COLOR="#FF0000">为第一个特徵向量</font> </p><p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">ans = % </font><font COLOR="#FF0000">为</font><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">A*X</font><font COLOR="#FF0000">的结果</font> </p><p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">0.1768</font> </p><p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">-0.1768</font> </p><p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">ans = % </font><font COLOR="#FF0000">为<img SRC="../img5/img00026.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img5/img00026.gif" WIDTH="26" HEIGHT="19">的结果</font> </p><p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">0.1768</font> </p><p><font COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman">-0.1768<br></font></p><hr><a HREF="ch5_3_1.htm" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/ch5_3_1.htm"><p><img SRC="../img1/lastpage.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img/lastpage.gif" BORDER="0" WIDTH="42" HEIGHT="42"></a> <a HREF="ch5_3_3.htm" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/ch5_3_3.htm"><img SRC="../img1/nextpage.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img/nextpage.gif" BORDER="0" HSPACE="10" WIDTH="42" HEIGHT="42"></a> <a HREF="../index.html" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/index.html"><img SRC="../img1/outline.gif" tppabs="http://webclass.ncu.edu.tw/~junwu/img/outline.gif" BORDER="0" HSPACE="6" WIDTH="42" HEIGHT="42"></a><br><font SIZE="2" COLOR="#AA55FF">上一页 下一页 讲义大纲 </font><layer src="http://www.spidersoft.com/ads/bwz468_60.htm" visibility="hidden" id="a1" width="600" onload="moveToAbsolute(ad1.pageX,ad1.pageY); a1.clip.height=60;visibility='show';"></layer> </p></body></html>⌨️ 快捷键说明
复制代码
Ctrl + C
搜索代码
Ctrl + F
全屏模式
F11
切换主题
Ctrl + Shift + D
显示快捷键
?
增大字号
Ctrl + =
减小字号
Ctrl + -