📄 exam8_2.m
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function exam8_2
% 本程序为第八章的第二个算例，采用平面梁单元计算两铰抛物线拱的在初始条件下
% 自由振动，并对时程曲线结果进行FFT变换，求得的频率可与exam8_1.m的结果进行
% 比较，以验证本程序的可靠性
% 输入参数： 无
% 输出结果： 位移，速度和加速度的时程曲线
% 定义全局变量
% gNode ------ 节点坐标
% gElement --- 单元定义
% gMaterial -- 材料性质
% gBC1 ------- 第一类约束条件
% gK --------- 整体刚度矩阵
% gDelta ----- 整体节点坐标
PlaneFrameModel ; % 定义有限元模型
SolveModel ; % 求解有限元模型
SaveResults('exam8_2.mat') ; % 保存计算结果
DisplayResults ; % 显示计算结果
return ;
function PlaneFrameModel
% 定义平面杆系的有限元模型
% 输入参数：
% 无
% 返回值：
% 无
% 说明：
% 该函数定义平面杆系的有限元模型数据：
% gNode -------- 节点定义
% gElement ----- 单元定义
% gMaterial ---- 材料定义，包括弹性模量，梁的截面积和梁的抗弯惯性矩
% gBC1 --------- 约束条件
% gDeltaT ------ 时间步长
% gTimeEnd ----- 计算结束时刻
% gDisp -------- 位移时程响应
% gVelo -------- 速度时程响应
% gAcce -------- 加速度时程响应
global gNode gElement gMaterial gBC1 gDeltaT gTimeEnd gDisp gVelo gAcce
% 给定抛物线拱的几何特征
L = 60 ; % 计算跨径(m)
f = 7.5 ; % 计算矢高(m)
n = 100 ; % 单元数目
x = -L/2:L/n:L/2 ; % 结点的x坐标
a = f/L^2*4 ;
y = - a * x.^2 ; % 结点的y坐标
% 节点坐标
gNode = [x' y'] ;
% 单元定义
gElement = zeros( n, 3 ) ;
for i=1:n
gElement( i, : ) = [ i, i+1, 1 ] ;
end
% 材料性质
% 弹性模量 抗弯惯性矩 截面积 密度
gMaterial = [2.06e11, 0.03622, 0.0815, 1435.2/0.0815]; % 材料 1
% 第一类约束条件
% 节点号 自由度号 约束值
gBC1 = [ 1, 1, 0.0
1, 2, 0.0
n+1, 1, 0.0
n+1, 2, 0.0] ;
gDeltaT = 0.01 ;
gTimeEnd = 4096*gDeltaT ; % 计算时间为载荷通过所需时间的两倍
timestep = floor(gTimeEnd/gDeltaT) ;
% 定义位移，速度和加速度
gDisp = zeros( (n+1)*3, timestep ) ;
gVelo = zeros( (n+1)*3, timestep ) ;
gAcce = zeros( (n+1)*3, timestep ) ;
% 初始条件
gDisp(:,1) = zeros( (n+1)*3, 1 ) ;
gVelo(:,1) = ones( (n+1)*3, 1 ) ;
return
function SolveModel
% 求解有限元模型
% 输入参数：
% 无
% 返回值：
% 无
% 说明：
% 该函数求解有限元模型，过程如下
% 1. 计算单元的刚度和质量矩阵，集成整体刚度和质量矩阵
% 2. 用Newmark法计算时程响应
global gNode gElement gMaterial gBC1 gK gM gDeltaT gTimeEnd gDisp gVelo gAcce
% step1. 定义整体刚度矩阵和节点力向量
[node_number,dummy] = size( gNode ) ;
gK = sparse( node_number * 3, node_number * 3 ) ;
gM = sparse( node_number * 3, node_number * 3 ) ;
% step2. 计算单元刚度和质量矩阵，并集成到整体刚度和质量矩阵中
[element_number,dummy] = size( gElement ) ;
for ie=1:1:element_number
k = StiffnessMatrix( ie ) ;
m = MassMatrix( ie ) ;
AssembleGlobalMatrix( ie, k, m ) ;
end
% step3. 计算时程响应(Newmark法)
% step3.1 初始计算
gama = 0.5 ;
beta = 0.25 ;
C = zeros( size( gK ) ) ;
[N,N] = size( gK ) ;
alpha0 = 1/beta/gDeltaT^2 ;
alpha1 = gama/beta/gDeltaT ;
alpha2 = 1/beta/gDeltaT ;
alpha3 = 1/2/beta - 1 ;
alpha4 = gama/beta - 1 ;
alpha5 = gDeltaT/2*(gama/beta-2) ;
alpha6 = gDeltaT*(1-gama) ;
alpha7 = gama*gDeltaT ;
K1 = gK + alpha0*gM + alpha1*C;
timestep = floor(gTimeEnd/gDeltaT) ;
% step3.2 对K1进行边界条件处理
[bc1_number,dummy] = size( gBC1 ) ;
K1im = zeros(N,bc1_number) ;
for ibc=1:1:bc1_number
n = gBC1(ibc, 1 ) ;
d = gBC1(ibc, 2 ) ;
m = (n-1)*3 + d ;
K1im(:,ibc) = K1(:,m) ;
K1(:,m) = zeros( node_number*3, 1 ) ;
K1(m,:) = zeros( 1, node_number*3 ) ;
K1(m,m) = 1.0 ;
end
[KL,KU] = lu(K1) ; % 进行三角分解，节省后面的求解时间
% step3.3 计算初始加速度
gAcce(:,1) = gM\(-gK*gDisp(:,1)-C*gVelo(:,1)) ;
% step3.4 对每一个时间步计算
for i=2:1:timestep
fprintf( '当前时间步：%d\n', i ) ;
f1 = gM*(alpha0*gDisp(:,i-1)+alpha2*gVelo(:,i-1)+alpha3*gAcce(:,i-1)) ...
+ C*(alpha1*gDisp(:,i-1)+alpha4*gVelo(:,i-1)+alpha5*gAcce(:,i-1)) ;
% 对f1进行边界条件处理
[bc1_number,dummy] = size( gBC1 ) ;
for ibc=1:1:bc1_number
n = gBC1(ibc, 1 ) ;
d = gBC1(ibc, 2 ) ;
m = (n-1)*3 + d ;
f1 = f1 - gBC1(ibc,3) * K1im(:,ibc) ;
f1(m) = gBC1(ibc,3) ;
end
y = KL\f1 ;
gDisp(:,i) = KU\y ;
gAcce(:,i) = alpha0*(gDisp(:,i)-gDisp(:,i-1)) - alpha2*gVelo(:,i-1) - alpha3*gAcce(:,i-1) ;
gVelo(:,i) = gVelo(:,i-1) + alpha6*gAcce(:,i-1) + alpha7*gAcce(:,i) ;
end
return
function k = StiffnessMatrix( ie )
% 计算单元刚度矩阵
% 输入参数:
% ie ------- 单元号
% 返回值:
% k ---- 整体坐标系下的刚度矩阵
global gNode gElement gMaterial
k = zeros( 6, 6 ) ;
E = gMaterial( gElement(ie, 3), 1 ) ;
I = gMaterial( gElement(ie, 3), 2 ) ;
A = gMaterial( gElement(ie, 3), 3 ) ;
xi = gNode( gElement( ie, 1 ), 1 ) ;
yi = gNode( gElement( ie, 1 ), 2 ) ;
xj = gNode( gElement( ie, 2 ), 1 ) ;
yj = gNode( gElement( ie, 2 ), 2 ) ;
L = ( (xj-xi)^2 + (yj-yi)^2 )^(1/2) ;
k = [ E*A/L 0 0 -E*A/L 0 0
0 12*E*I/L^3 6*E*I/L^2 0 -12*E*I/L^3 6*E*I/L^2
0 6*E*I/L^2 4*E*I/L 0 -6*E*I/L^2 2*E*I/L
-E*A/L 0 0 E*A/L 0 0
0 -12*E*I/L^3 -6*E*I/L^2 0 12*E*I/L^3 -6*E*I/L^2
0 6*E*I/L^2 2*E*I/L 0 -6*E*I/L^2 4*E*I/L] ;
T = TransformMatrix( ie ) ;
k = T*k*transpose(T) ;
return
function m = MassMatrix( ie )
% 计算单元质量矩阵
% 输入参数:
% ie ------- 单元号
% 返回值:
% m ---- 整体坐标系下的质量矩阵
global gNode gElement gMaterial
m = zeros( 6, 6 ) ;
E = gMaterial( gElement(ie, 3), 1 ) ;
A = gMaterial( gElement(ie, 3), 3 ) ;
ro = gMaterial( gElement(ie, 3 ), 4 ) ;
xi = gNode( gElement( ie, 1 ), 1 ) ;
yi = gNode( gElement( ie, 1 ), 2 ) ;
xj = gNode( gElement( ie, 2 ), 1 ) ;
yj = gNode( gElement( ie, 2 ), 2 ) ;
L = ( (xj-xi)^2 + (yj-yi)^2 )^(1/2) ;
m = ro*A*L/420*[140 0 0 70 0 0
0 156 22*L 0 54 -13*L
0 22*L 4*L^2 0 13*L -3*L^2
70 0 0 140 0 0
0 54 13*L 0 156 -22*L
0 -13*L -3*L 0 -22*L 4*L^2 ] ;
T = TransformMatrix( ie ) ;
m = T*m*transpose(T) ;
return
function AssembleGlobalMatrix( ie, ke, me )
% 把单元刚度和质量矩阵集成到整体刚度矩阵
% 输入参数:
% ie --- 单元号
% ke --- 单元刚度矩阵
% me --- 单元质量矩阵
% 返回值:
% 无
global gElement gK gM
for i=1:1:2
for j=1:1:2
for p=1:1:3
for q =1:1:3
m = (i-1)*3+p ;
n = (j-1)*3+q ;
M = (gElement(ie,i)-1)*3+p ;
N = (gElement(ie,j)-1)*3+q ;
gK(M,N) = gK(M,N) + ke(m,n) ;
gM(M,N) = gM(M,N) + me(m,n) ;
end
end
end
end
return
function T = TransformMatrix( ie )
% 计算单元的坐标转换矩阵( 局部坐标 -> 整体坐标 )
% 输入参数
% ie ----- 节点号
% 返回值
% T ------- 从局部坐标到整体坐标的坐标转换矩阵
global gElement gNode
xi = gNode( gElement( ie, 1 ), 1 ) ;
yi = gNode( gElement( ie, 1 ), 2 ) ;
xj = gNode( gElement( ie, 2 ), 1 ) ;
yj = gNode( gElement( ie, 2 ), 2 ) ;
L = sqrt( (xj-xi)^2 + (yj-yi)^2 ) ;
c = (xj-xi)/L ;
s = (yj-yi)/L ;
T=[ c -s 0 0 0 0
s c 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 c -s 0
0 0 0 s c 0
0 0 0 0 0 1] ;
return
function ft = NodeForce( t )
% 计算在时刻 t 的结点载荷列阵
% 输入参数
% t ------ 时刻
% 返回值
% ft ------ t时刻的结点载荷列阵
global gNode gElement gLoad gLoadVelo
Load = gLoad*sin(2*pi*50*t) ;
%Load = gLoad ;
node_number = size( gNode, 1 ) ;
ft = zeros( node_number*3, 1 ) ;
xt = gNode(1,1) + gLoadVelo * t ;
element_number = size( gElement, 1) ;
for ie=1:element_number
node = gElement( ie, 1:2 ) ;
x = gNode( node, 1 ) ;
y = gNode( node, 2 ) ;
L = sqrt( (x(2)-x(1))^2 + (y(2)-y(1))^2 ) ;
cosq = (x(2)-x(1))/L ;
sinq = (y(2)-y(1))/L ;
N = -Load*sinq ;
P = -Load*cosq ;
if x(1) <= xt & x(2) >=xt
N1 = (x(2)-xt)/(x(2)-x(1)) * N ;
N2 = (xt-x(1))/(x(2)-x(1)) * N ;
dx = (xt-x(1))/cosq ;
P1 = P*(1-3*(dx/L)^2+2*(dx/L)^3) ;
P2 = P*( +3*(dx/L)^2-2*(dx/L)^3) ;
M1 = P*dx*(1-2*dx/L+(dx/L)^2) ;
M2 = P*dx*( -dx/L + (dx/L)^2) ;
T = TransformMatrix( ie ) ;
fe = T * [N1;P1;M1;N2;P2;M2] ;
ft( node(1)*3-2:node(1)*3 ) = fe(1:3) ;
ft( node(2)*3-2:node(2)*3 ) = fe(4:6) ;
break ;
end
end
return
function SaveResults( file_out )
% 保存计算结果
% 输入参数：
% 无
% 返回值：
% 无
global gNode gElement gMaterial gBC1 gDeltaT gTimeEnd gLoad gLoadVelo gDisp gVelo gAcce
save( file_out, 'gNode', 'gElement', 'gMaterial', 'gBC1', ...
'gDeltaT', 'gTimeEnd', 'gLoad', 'gLoadVelo', 'gDisp', 'gVelo', 'gAcce' ) ;
return
function DisplayResults
% 显示计算结果
% 输入参数：
% 无
% 返回值：
% 无
global gNode gElement gMaterial gBC1 gDisp gVelo gAcce gDeltaT gTimeEnd
% 绘制时程曲线
[node_number,dummy] = size(gNode) ;
t = 0:gDeltaT:gTimeEnd-gDeltaT ;
d = gDisp((floor(node_number/4)*3)+2,:) ;
v = gVelo((floor(node_number/4)*3)+2,:) ;
a = gAcce((floor(node_number/4)*3)+2,:) ;
tt = 0:gDeltaT/10:gTimeEnd-gDeltaT ;
dd = spline(t,d,tt) ;
vv = spline(t,v,tt) ;
aa = spline(t,a,tt) ;
figure ;
plot( tt,dd, tt, vv, tt, aa ) ;
title( 'L/4处挠度时程曲线' ) ;
xlabel( '时间(s)') ;
ylabel( '幅度(m)' ) ;
% 对时程曲线进行FFT变换，获取频谱特性
fd = fft( d ) ;
figure ;
df = 1/gTimeEnd ;
f = (0:length(d)-1)*df ;
plot(f,abs(fd)) ;
set(gca,'xlim',[2,10]) ;
title( 'L/4处挠度的频谱图' ) ;
xlabel( '频率(Hz)') ;
ylabel( '幅度' ) ;
return
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