📄 exam8_1.m
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function exam8_1
% 本程序为第八章的第一个算例，采用平面梁单元计算两铰抛物线拱的自由振动特性
% 输入参数： 无
% 输出结果： 前3阶振动频率及其相应的振型
% 定义全局变量
% gNode ------ 节点坐标
% gElement --- 单元定义
% gMaterial -- 材料性质
% gBC1 ------- 第一类约束条件
% gK --------- 整体刚度矩阵
% gDelta ----- 整体节点坐标
PlaneFrameModel ; % 定义有限元模型
SolveModel ; % 求解有限元模型
DisplayResults ; % 显示计算结果
return ;
function PlaneFrameModel
% 定义平面杆系的有限元模型
% 输入参数：
% 无
% 返回值：
% 无
% 说明：
% 该函数定义平面杆系的有限元模型数据：
% gNode ------- 节点定义
% gElement ---- 单元定义
% gMaterial --- 材料定义，包括弹性模量，梁的截面积和梁的抗弯惯性矩
% gBC --------- 约束条件
global gNode gElement gMaterial gBC1
% 给定抛物线拱的几何特征
L = 60 ; % 计算跨径
f = 7.5 ; % 计算矢高
n = 100 ; % 单元数目
x = -L/2:L/n:L/2 ; % 结点的x坐标
a = f/L^2*4 ;
y = - a * x.^2 ; % 结点的y坐标
% 节点坐标
gNode = [x' y'] ;
% 单元定义
gElement = zeros( n, 3 ) ;
for i=1:n
gElement( i, : ) = [ i, i+1, 1 ] ;
end
% 材料性质
% 弹性模量 抗弯惯性矩 截面积 密度
gMaterial = [2.06e11, 0.03622, 0.0815, 1435.2/0.0815]; % 材料 1
% 第一类约束条件
% 节点号 自由度号 约束值
gBC1 = [ 1, 1, 0.0
1, 2, 0.0
n+1, 1, 0.0
n+1, 2, 0.0] ;
return
function SolveModel
% 求解有限元模型
% 输入参数：
% 无
% 返回值：
% 无
% 说明：
% 该函数求解有限元模型，过程如下
% 1. 计算单元的刚度和质量矩阵，集成整体刚度和质量矩阵
% 2. 处理约束条件，修改整体刚度矩阵
% 3. 求解特征值问题
global gNode gElement gMaterial gBC1 gK gM gEigValue gEigVector
% step1. 定义整体刚度矩阵和节点力向量
[node_number,dummy] = size( gNode ) ;
gK = sparse( node_number * 3, node_number * 3 ) ;
gM = sparse( node_number * 3, node_number * 3 ) ;
% step2. 计算单元刚度和质量矩阵，并集成到整体刚度和质量矩阵中
[element_number,dummy] = size( gElement ) ;
for ie=1:1:element_number
k = StiffnessMatrix( ie ) ;
m = MassMatrix( ie ) ;
AssembleGlobalMatrix( ie, k, m ) ;
end
% step3. 处理第一类约束条件，修改刚度矩阵和质量矩阵。（采用划行划列法）
[bc1_number,dummy] = size( gBC1 ) ;
w2max = max( diag(gK)./diag(gM) ) ;
for ibc=1:1:bc1_number
n = gBC1(ibc, 1 ) ;
d = gBC1(ibc, 2 ) ;
m = (n-1)*3 + d ;
gK(:,m) = zeros( node_number*3, 1 ) ;
gK(m,:) = zeros( 1, node_number*3 ) ;
gK(m,m) = 1;
gM(:,m) = zeros( node_number*3, 1 ) ;
gM(m,:) = zeros( 1, node_number*3 ) ;
gM(m,m) = gK(m,m)/w2max/1e10 ;
end
% step4. 求解特征值问题
% step4.1为了使刚度矩阵和质量矩阵对称（在计算时可能引入舍入误差）
for i=1:node_number*3
for j=i:node_number*3
gK(j,i) = gK(i,j) ;
gM(j,i) = gM(i,j) ;
end
end
% step4.2 计算前6阶特征值和特征向量
[gEigVector, gEigValue] = eigs(gK, gM, 3, 'SM' ) ;
% step4.3 修改特征向量中受约束的自由度
for ibc=1:1:bc1_number
n = gBC1(ibc, 1 ) ;
d = gBC1(ibc, 2 ) ;
m = (n-1)*3 + d ;
gEigVector(m,:) = gBC1(ibc,3) ;
end
return
function k = StiffnessMatrix( ie )
% 计算单元刚度矩阵
% 输入参数:
% ie ------- 单元号
% 返回值:
% k ---- 整体坐标系下的刚度矩阵
global gNode gElement gMaterial
k = zeros( 6, 6 ) ;
E = gMaterial( gElement(ie, 3), 1 ) ;
I = gMaterial( gElement(ie, 3), 2 ) ;
A = gMaterial( gElement(ie, 3), 3 ) ;
xi = gNode( gElement( ie, 1 ), 1 ) ;
yi = gNode( gElement( ie, 1 ), 2 ) ;
xj = gNode( gElement( ie, 2 ), 1 ) ;
yj = gNode( gElement( ie, 2 ), 2 ) ;
L = ( (xj-xi)^2 + (yj-yi)^2 )^(1/2) ;
k = [ E*A/L 0 0 -E*A/L 0 0
0 12*E*I/L^3 6*E*I/L^2 0 -12*E*I/L^3 6*E*I/L^2
0 6*E*I/L^2 4*E*I/L 0 -6*E*I/L^2 2*E*I/L
-E*A/L 0 0 E*A/L 0 0
0 -12*E*I/L^3 -6*E*I/L^2 0 12*E*I/L^3 -6*E*I/L^2
0 6*E*I/L^2 2*E*I/L 0 -6*E*I/L^2 4*E*I/L] ;
T = TransformMatrix( ie ) ;
k = T*k*transpose(T) ;
return
function m = MassMatrix( ie )
% 计算单元质量矩阵
% 输入参数:
% ie ------- 单元号
% 返回值:
% m ---- 整体坐标系下的质量矩阵
global gNode gElement gMaterial
m = zeros( 6, 6 ) ;
E = gMaterial( gElement(ie, 3), 1 ) ;
A = gMaterial( gElement(ie, 3), 3 ) ;
ro = gMaterial( gElement(ie, 3 ), 4 ) ;
xi = gNode( gElement( ie, 1 ), 1 ) ;
yi = gNode( gElement( ie, 1 ), 2 ) ;
xj = gNode( gElement( ie, 2 ), 1 ) ;
yj = gNode( gElement( ie, 2 ), 2 ) ;
L = ( (xj-xi)^2 + (yj-yi)^2 )^(1/2) ;
m = ro*A*L/420*[140 0 0 70 0 0
0 156 22*L 0 54 -13*L
0 22*L 4*L^2 0 13*L -3*L^2
70 0 0 140 0 0
0 54 13*L 0 156 -22*L
0 -13*L -3*L 0 -22*L 4*L^2 ] ;
T = TransformMatrix( ie ) ;
m = T*m*transpose(T) ;
return
function AssembleGlobalMatrix( ie, ke, me )
% 把单元刚度和质量矩阵集成到整体刚度矩阵
% 输入参数:
% ie --- 单元号
% ke --- 单元刚度矩阵
% me --- 单元质量矩阵
% 返回值:
% 无
global gElement gK gM
for i=1:1:2
for j=1:1:2
for p=1:1:3
for q =1:1:3
m = (i-1)*3+p ;
n = (j-1)*3+q ;
M = (gElement(ie,i)-1)*3+p ;
N = (gElement(ie,j)-1)*3+q ;
gK(M,N) = gK(M,N) + ke(m,n) ;
gM(M,N) = gM(M,N) + me(m,n) ;
end
end
end
end
return
function T = TransformMatrix( ie )
% 计算单元的坐标转换矩阵( 局部坐标 -> 整体坐标 )
% 输入参数
% ie ----- 节点号
% 返回值
% T ------- 从局部坐标到整体坐标的坐标转换矩阵
global gElement gNode
xi = gNode( gElement( ie, 1 ), 1 ) ;
yi = gNode( gElement( ie, 1 ), 2 ) ;
xj = gNode( gElement( ie, 2 ), 1 ) ;
yj = gNode( gElement( ie, 2 ), 2 ) ;
L = sqrt( (xj-xi)^2 + (yj-yi)^2 ) ;
c = (xj-xi)/L ;
s = (yj-yi)/L ;
T=[ c -s 0 0 0 0
s c 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 c -s 0
0 0 0 s c 0
0 0 0 0 0 1] ;
return
function DisplayResults
% 显示计算结果
% 输入参数：
% 无
% 返回值：
% 无
global gNode gElement gMaterial gBC1 gEigValue gEigVector
fre_number = length(diag(gEigValue)) ;
% 打印特征向量(振型)
fprintf( '\n\n 表一 特征向量(振型) \n' ) ;
for i=1:fre_number
fprintf( '----------------') ;
end
fprintf( '\n' ) ;
for i=1:fre_number
fprintf( ' %6d ', i ) ;
end
fprintf( '\n' ) ;
for i=1:fre_number
fprintf( '----------------') ;
end
fprintf( '\n' ) ;
[dof,dummy]=size(gEigVector) ;
for i=1:dof
for j=fre_number:-1:1
fprintf( '%15.7e ', gEigVector(i,j) ) ;
end
fprintf( '\n' ) ;
end
for i=1:fre_number
fprintf( '----------------') ;
end
fprintf( '\n' ) ;
% 打印特征值
fprintf( '\n\n\n\n 表二 特征值(频率)列表 \n' ) ;
fprintf( '----------------------------------------------------------\n') ;
fprintf( ' 阶数 特征值 频率(Hz) 圆频率(Hz) \n' ) ;
fprintf( '----------------------------------------------------------\n') ;
for i=fre_number:-1:1
fprintf( '%6d %15.7e %15.7e %15.7e\n', fre_number-i+1, ...
gEigValue(i,i), sqrt(gEigValue(i,i))/2/pi, sqrt(gEigValue(i,i)) ) ;
end
fprintf( '----------------------------------------------------------\n') ;
% 绘制振型图
for j=fre_number:-1:1
figure ;
x = gNode(:,1) ;
y = gNode(:,2) ;
dx = gEigVector(1:3:length(x)*3, j ) ;
dy = gEigVector(2:3:length(x)*3, j ) ;
factor = max( [max(abs(x))/max(abs(dx)), max(abs(y))/max(abs(dy))] )* 0.05;
plot(x,y,'-', x+factor*dx, y+factor*dy, ':') ;
title( sprintf( '第%d阶频率: %.3f Hz', fre_number-j+1, sqrt(gEigValue(j,j))/2/pi ) ) ;
axis equal;
axis off ;
end
return
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