📄 ch7_3_1.htm
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<HTML>
<HEAD>
<TITLE> 线性回归 </TITLE>
</HEAD>
<BODY BACKGROUND="bg0000.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img/bg0000.gif">
<FONT COLOR="#0000FF">
<H1>7.3.1 线性回归</H1>
</FONT>
<HR>
<P>
我们以一简单数据组来说明什么是线性回归。假设有一组数据型态为<FONT FACE="Times New Roman">
<I>y=y(x)</I></FONT>，其中
<P>
<I><FONT FACE="Times New Roman">x</FONT></I><FONT FACE="Times New Roman">={0,
1, 2, 3, 4, 5}, <I>y</I>={0, 20, 60, 68, 77, 110}</FONT>
<P>
如果我们要以一个最简单的方程式来近似这组数据，则非一阶的线性方程式莫属。先将这组数据绘图如下
<BR>
<BR>
<P>
图中的斜线是我们随意假设一阶线性方程式<FONT FACE="Times New Roman">
<I>y=20x</I></FONT>，用以代表这些数据的一个方程式。以下将上述绘图的<FONT FACE="Times New Roman">
MATLAB </FONT>指令列出，并计算这个线性方程式的<FONT FACE="Times New Roman">
y </FONT>值与原数据<FONT FACE="Times New Roman"> y </FONT>值间误差平方的总合。
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">>> x=[0 1 2 3
4 5];</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">>> y=[0 20 60
68 77 110];</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">>> y1=20*x;
% </FONT><FONT COLOR=#FF0000>一阶线性方程式的</FONT><FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">
y1 </FONT><FONT COLOR=#FF0000>值</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">>> sum_sq = sum(y-y1).^2);
% </FONT><FONT COLOR=#FF0000>误差平方总合为</FONT><FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">
573</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">>> axis([-1,6,-20,120])</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">>> plot(x,y1,x,y,'o'),
title('Linear estimate'), grid<BR>
</FONT>
<P>
如此任意的假设一个线性方程式并无根据，如果换成其它人来设定就可能采用不同的线性方程式；所以我们
须要有比较精确方式决定理想的线性方程式。我们可以要求误差平方的总合为最小，做为决定理想的线性方
程式的准则，这样的方法就称为最小平方误差(least squares error)或是线性回归。MATLAB的<FONT COLOR=#FF0000>polyfit</FONT>函数提供了
从一阶到高阶多项式的回归法，其语法为<FONT COLOR=#FF0000>polyfit(x,y,n)</FONT>，其中<FONT COLOR=#FF0000>x,y</FONT>为输入数据组<FONT COLOR=#FF0000>n</FONT>为多项式的阶数，n=1就是一阶
的线性回归法。<FONT COLOR=#FF0000>polyfit</FONT>函数所建立的多项式可以写成
<P>
<A NAME="work"><IMG SRC="img00009-2.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img7/img00009.gif"></A>
<P>
从<FONT COLOR=#FF0000>polyfit</FONT>函数得到的输出值就是上述的各项系数<IMG SRC="img00010-2.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img7/img00010.gif">，以一阶线性回归为例n=1，所以只有<IMG SRC="img00011-1.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img7/img00011.gif">
二个输出值。如果指令为<FONT COLOR=#FF0000>coef=polyfit(x,y,n)</FONT>，则coef(1)= <IMG SRC="img00012-2.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img7/img00012.gif">, coef(2)=<IMG SRC="img00013-2.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img7/img00013.gif">,...,coef(n+1)= <IMG SRC="img00014-2.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img7/img00014.gif">。注意上式对n 阶的多
项式会有 n+1 项的系数。我们来看以下的线性回归的示范：
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">>> x=[0 1 2 3
4 5];</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">>> y=[0 20 60
68 77 110];</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">>> coef=polyfit(x,y,1);
% coef </FONT><FONT COLOR=#FF0000>代表线性回归的二个输出值</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">>> a0=coef(1);
a1=coef(2);</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">>> ybest=a1*x+a0;
% </FONT><FONT COLOR=#FF0000>由线性回归产生的一阶方程式</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">>> sum_sq=sum(y-ybest).^2);
% </FONT><FONT COLOR=#FF0000>误差平方总合为</FONT><FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">
356.82</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">>> axis([-1,6,-20,120])</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000 FACE="Times New Roman">>> plot(x,ybest,x,y,'o'),
title('Linear regression estimate'), grid<BR>
</FONT><HR>
<A HREF="ch7_3.htm" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/ch7_3.htm"><IMG SRC="lastpage.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img/lastpage.gif" BORDER=0></A>
<A HREF="ch7_3_2.htm" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/ch7_3_2.htm"><IMG SRC="nextpage-1.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img/nextpage.gif" BORDER=0 HSPACE=10></A>
<A HREF="index.html" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/index.html"><IMG SRC="outline-1.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img/outline.gif" BORDER=0 HSPACE=6></A><BR>
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