📄 ch4_1_4.htm
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<HEAD>
<TITLE> 多项式函数 </TITLE>
<META NAME="GENERATOR" CONTENT="Internet Assistant for Microsoft Word 2.0z">
</HEAD>
<BODY BACKGROUND="bg0000.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img/bg0000.gif">
<H1><FONT SIZE=6 COLOR=#0000FF>4.1.4 多项式函数 </FONT></H1>
<HR>
<P>
在工程及科学分析上，多项式常被用来模拟一个物理现象的解析函数，我们在第九章所介绍的「曲线契合」
即是一个这方面的应用。之所以采用多项式，是因为它很容易计算。在这章中我们将说明如何做多项式的计
算及解多项式的根。 <BR>
<P>
令<I>p</I>(<I>x</I>) 代表一个多项式如下
<P>
<IMG SRC="img00008.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img4/img00008.gif">
<P>
MATLAB 以一最简便方式代表上述的多项式 <FONT COLOR=#FF0000>p=[1
4 -7 -10]</FONT>，其中的数值是多项式的各阶项（从高到低）的 各个系数，其实<FONT COLOR=#FF0000>p</FONT>
也是一个阵列不过是用以代表这个多项式。 <BR>
<P>
有了多项式的表示式后，我们即可来计算其函数值。假设要计算一组数据<FONT COLOR=#FF0000>x</FONT>对应的多项式值，依照一般的函数
计算须以下列式子计算：
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> p=x.^3+4*x.^2-7*x-10</FONT>
<P>
为了能直接运用多项式，可以用函数 <FONT COLOR=#FF0000>polyval</FONT>直接做运算，语法为
<FONT COLOR=#FF0000>polyval(p,x)</FONT>，其中<FONT COLOR=#FF0000>p</FONT>
即是代表多项式各阶系数 的阵列。因此
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> x=linspace(-1,3);</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> p=[1 4 7 -10];</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> v=polyval(p,x);<BR>
</FONT>
<P>
我们接著说明如何对二个多项式做加减乘除运算，以及对多项式微分。当二个多项式间要做加减乘除时，加
减运算可以直接进行。假设有二个多项式<IMG SRC="img00009.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img4/img00009.gif">
和 <IMG SRC="img00010.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img4/img00010.gif"> 定义如下：
<P>
<IMG SRC="img00011.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img4/img00011.gif">
<P>
如果多项式 <IMG SRC="img00012.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img4/img00012.gif"> 为上述二多项式相加，即
<IMG SRC="img00013.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img4/img00013.gif">，因此
<P>
<IMG SRC="img00014.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img4/img00014.gif">
<P>
如果是二多项式相减得到的多项式为 <IMG SRC="img00015.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img4/img00015.gif">
则
<P>
<IMG SRC="img00016.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img4/img00016.gif"><BR>
<P>
而将两个多项式相乘可以得到一新的多项式<IMG SRC="img00017.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img4/img00017.gif">：
<P>
<IMG SRC="img00018.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img4/img00018.gif">
<P>
如果是两个多项式相除，即<IMG SRC="img00019.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img4/img00019.gif">：
<P>
<IMG SRC="img00020.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img4/img00020.gif">
<P>
上述二个运算式不能直接运算，须要另外定义函数<FONT COLOR=#FF0000>conv</FONT>做乘法运算以及函数<FONT COLOR=#FF0000>deconv</FONT>做除法运算。当二多项式
相乘，在数学上等于二个阵列做旋积(convolution)运算（因为我们是以阵列来代表一个多项式的各阶系数），
因此可利用<FONT COLOR=#FF0000>conv</FONT>函数做乘法运算，其语法为<FONT COLOR=#FF0000>conv(a,b)</FONT>，其中<FONT COLOR=#FF0000>a</FONT>,<FONT COLOR=#FF0000>
b</FONT>代表二个多项式的阵列。而二多项式相除就相 当于反旋积(de-convolution)
运算，因此有 <TT>deconv</TT> 函数，其语法稍有不同 <FONT COLOR=#FF0000>[q,r]=deconv(a,b)</FONT>，其中<FONT COLOR=#FF0000>q</FONT>,<FONT COLOR=#FF0000>r</FONT>分别代表整
除多项式及余数多项式。<BR>
<P>
以下就介绍相关范例，来说明二个多项式的加减乘除运算：
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> a=[1 2 3 4]; b=[1 4 9 16];</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> c=a+b</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>c =</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>2 6 12 20</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> d=a-b</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>d =</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>0 -2 -6 -12</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> e=conv(a,b)</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>e =</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>1 6 20 50 75 84 64</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> g=e+[0 0 0 c]</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>g =</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>1 6 20 52 81 96 84</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> [f,r]=deconv(e,b)</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>f =</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>1 2 3 4</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>r =</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>0 0 0 0 0 0 0 % 因为是整除所以余数多项式的各系数皆为零</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> [h,r]=deconv(g,a)</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>f =</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>1 4 9 18</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>r =</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>0 0 0 0 2 6 12 % 余数多项式为 2*x^2 + 6*x
+ 12<BR>
</FONT>
<P>
一个多项式视其阶数而定，它的根可以有一个到数个，可能为实数也可能是复数。要求一高阶多项式的根
往往须借助数值方法，所幸MATLAB已将这些数值方法写成一函数<FONT COLOR=#FF0000>roots(p)</FONT>，我们只要输入多项式的各阶系
数（以<FONT COLOR=#FF0000>p</FONT>代表）即可求解到对应的根。
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> p=[1 3 2];</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> r=roots(p)</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>r =</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>-2</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>-1</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> p=[1 -12 0 25 116]; % 注意二阶项系数为零须要输入，否则多项式的阶数就不对</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> r=roots(p) % 有实数根及复数根</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>r =</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>11.7473</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>2.7028</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>-1.2251 + 1.4672i</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>-1.2251 - 1.4672i<BR>
</FONT>
<P>
与 <FONT COLOR=#FF0000>roots</FONT> 相关的函数尚有 <FONT COLOR=#FF0000>poly</FONT>,
<FONT COLOR=#FF0000>real</FONT>，这二个函数的用途是要验算求解的根展开能求得原多项式。
例如有一个二次方程式的根为 2, 1，则以下式计算原多项式
<P>
<IMG SRC="img00021.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img4/img00021.gif">
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>poly</FONT>函数就是在求出多项式的各阶系数，其语法为
<FONT COLOR=#FF0000>poly(r)</FONT>，其中 <FONT COLOR=#FF0000>r
</FONT>是代表根的阵列。而 <FONT COLOR=#FF0000>real</FONT>则是用来去除因计算时产生的假虚部系数，为何会有此种情形请参考以下的例子。
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> r=[-2 -1];</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> pp=poly(r) % pp=(x+2)(x+1)=x^2+3x+2</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>pp =</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>1 3 2</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> p=[1 -4 6 -4];</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> r=roots(p)</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>r =</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>2.0000 1.0000 + 1.0000i 1.0000 - 1.0000i </FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> pp=poly(r) % 这个多项式的系数与原多项式
p 相同</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>pp =</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>1 -4 6 -4</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> pp=[1 7 12 9]; % 再看另一个多项式</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> r=roots(pp)</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>r =</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>-4.9395 </FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>-1.0303 + 0.8721i</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>-1.0303 - 0.8721i</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> pp=poly(r) % 注意因计算的误差会有假虚部产生</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>pp =</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>1.0000 7.0000 12.0000 9.0000 + 0.0000i</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>>> pp=real(pp) % 可以real将假虚部去除，将原多项式还原</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>pp =</FONT>
<P>
<FONT COLOR=#FF0000>1.0000 7.0000 12.0000 9.0000<BR>
</FONT>
<HR>
<P>
<A HREF="ch4_1_3.htm" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/ch4_1_3.htm"><IMG SRC="lastpage.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img/lastpage.gif" BORDER=0></A>
<A HREF="ch4_2.htm" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/ch4_2.htm"><IMG SRC="nextpage-1.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img/nextpage.gif" BORDER=0 HSPACE=10></A>
<A HREF="index.html" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/index.html"><IMG SRC="outline-1.gif" tppabs="http://166.111.167.223/computer/cai/matlabjc/img/outline.gif" BORDER=0 HSPACE=6></A>
<BR>
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